8.2: Початкові та крайові функції Гріна
- Page ID
- 61635
Почнемо з конкретного розв'язку (8.13) нашого неоднорідного диференціального рівняння (8.3). Це можна об'єднати із загальним розв'язком однорідної задачі, щоб отримати загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння:
\[y(x)=c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)+y_{2}(x) \int_{x_{1}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi-y_{1}(x) \int_{x_{0}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \label{8.19} \]
Як видно в останньому розділі, відповідний вибір\(x_{0}\) і можна\(x_{1}\) було знайти так, що нам не потрібно явно виписувати рішення однорідної задачі,\(c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)\). Однак встановлення розчину в такому вигляді дозволить нам використовувати\(x_{0}\) і\(x_{1}\) визначати конкретні рішення, які задовольняють певним однорідним умовам.
Зараз ми розглянемо початкові значення і крайові задачі. Кожен тип проблеми призведе до вирішення форми
\[y(x)=c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)+\int_{a}^{b} G(x, \xi) f(\xi) d \xi, \label{8.20} \]
де функція\(G(x, \xi)\) буде визначена як функція Гріна, а межі інтеграції будуть знайдені на інтегралі. Визначивши функцію Гріна, ми розглянемо інші методи в останньому розділі визначення функції Гріна.
8.2.1 Функція Гріна початкового значення
Почнемо з розгляду рішення початкової задачі про значення.
\ [\ почати {масив} {r}
\ dfrac {d} {d x}\ ліворуч (p (x)\ dfrac {d y (x)} {d x}\ праворуч) +q (x) y (x) =f (x)\
y (0) =y_ {0},\ квадрад y^ {\ прайм} (0) =v_ {0}
\ кінець масиву}\ етикетка {8.21}\]
Звичайно, ми могли б вивчити початкову форму нашого диференціального рівняння, не записуючи його в самоспряженій формі. Однак ця форма корисна при вивченні крайових задач. До цього моменту ми повернемося пізніше.
Спочатку відзначимо, що цю початкову задачу ми можемо вирішити, вирішивши дві окремі задачі на початкове значення. Припустимо, що розв'язання однорідної задачі задовольняє початковим умовам:
\ [\ почати {вирівняний}
\ dfrac {d} {d x}\ ліворуч (p (x)\ dfrac {d y_ {h} (x)} {д х}\ вправо) +q (x) y_ {h} (x) &= 0\\
y_ {h} (0) =y_ {0},\ quad y_ {h} ^ {\ прайм} (0)) &=v_ {0}
\ кінець {вирівняний}\ мітка {8.22}\]
Тоді ми припускаємо, що конкретне рішення задовольняє проблему.
\ [\ почати {масив} {r}
\ dfrac {d} {d x}\ ліворуч (p (x)\ dfrac {d y_ {p} (x)} {д х}\ вправо) +q (x) y_ {p} (x) =f (x)\
y_ {p} (0) =0,\ quad y_ {p} ^ {прайм (0) =0
\ кінець {масив}\ мітка {8.23}\]
Так як диференціальне рівняння лінійне, то ми знаємо, що\(y(x)=y_{h}(x)+ y_{p}(x)\) це рішення неоднорідного рівняння. Однак таке рішення задовольняє початковим умовам:
\ почати {зібраний}
y (0) =y_ {h} (0) +y_ {p} (0) =y_ {0} +0=y_ {0}\
y^ {\ прайм} (0) =y_ {h} ^ {\ прайм} (0) +y_ {p} ^ {\ прайм} (0) =v_ {0}
\ кінець {зібраний}
Тому нам потрібно зосередитися лише на вирішенні конкретного рішення, яке задовольняє однорідним початковим умовам.
Згадайте рівняння (8.13) з останнього розділу,
\[y_{p}(x)=y_{2}(x) \int_{x_{1}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi-y_{1}(x) \int_{x_{0}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \label{8.24} \]
Тепер шукаємо значення для\(x_{0}\) і\(x_{1}\) яке задовольняє однорідним початковим умовам,\(y_{p}(0)=0\) і\(y_{p}^{\prime}(0)=0\).
Спочатку розглянемо\(y_{p}(0)=0\). У нас є
\[y_{p}(0)=y_{2}(0) \int_{x_{1}}^{0} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi-y_{1}(0) \int_{x_{0}}^{0} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \label{8.25} \]
Тут\(y_{1}(x)\) і\(y_{2}(x)\) приймаються будь-які розв'язки однорідного диференціального рівняння. Припустимо, що\(y_{1}(0)=0\) і\(y_{2} \neq(0)=0\). Тоді у нас є
\[y_{p}(0)=y_{2}(0) \int_{x_{1}}^{0} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \label{8.26} \]
Ми можемо змусити,\(y_{p}(0)=0\) якщо встановимо\(x_{1}=0\).
Тепер розглянемо\(y_{p}^{\prime}(0)=0\). Спочатку ми диференціюємо рішення і знаходимо, що
\[y_{p}^{\prime}(x)=y_{2}^{\prime}(x) \int_{0}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi-y_{1}^{\prime}(x) \int_{x_{0}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \label{8.27} \]
оскільки внески від диференціації інтегралів скасуються. Оцінюючи цей результат на\(x=0\), ми маємо
\[y_{p}^{\prime}(0)=-y_{1}^{\prime}(0) \int_{x_{0}}^{0} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \label{8.28} \]
Припускаючи\(y_{1}^{\prime}(0) \neq 0\), що, ми можемо встановити\(x_{0}=0\).
Таким чином, ми виявили, що
\ [\ почати {вирівняний}
y_ {p} (x) &=y_ {2} (x)\ int_ {0} ^ {x}\ dfrac {f (\ xi) y_ {1} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} д\ xi-y_ {1} (x)\ int_ {0} ^ {x}\ dfrac {f (\ xi) y_ {2} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} д\ xi\
&=\ int_ {0} ^ {x}\ лівий [\ dfrac {y_ {1} (\ xi) y_ {2} (x) {1} (x) y_ {2} (\ xi)} {p\ xi) W\ xi)}\ право] f (\ xi) д\ xi
\ end {вирівняний}\ мітка {8.29}\]
Цей результат у правильній формі, і ми можемо визначити тимчасову, або початкове значення, функцію Гріна. Отже, конкретне рішення дається як
\[y_{p}(x)=\int_{0}^{x} G(x, \xi) f(\xi) d \xi \label{8.30} \]
де початкове значення функції Гріна визначається як
\[G(x, \xi)=\dfrac{y_{1}(\xi) y_{2}(x)-y_{1}(x) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W \xi)} \nonumber \]
підсумовуємо
Розв'язок задачі на початкове значення (8.21) набуває вигляду
\[y(x)=y_{h}(x)+\int_{0}^{x} G(x, \xi) f(\xi) d \xi \label{8.31} \]
де
\[G(x, \xi)=\dfrac{y_{1}(\xi) y_{2}(x)-y_{1}(x) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W \xi)} \nonumber \]
і рішення однорідної задачі задовольняє початковим умовам,
\[y_{h}(0)=y_{0}, \quad y_{h}^{\prime}(0)=v_{0} . \nonumber \]
\[x^{\prime \prime}+x=2 \cos t, \quad x(0)=4, \quad x^{\prime}(0)=0 . \nonumber \]
Цю задачу було вирішено у главі 2 за допомогою теорії неоднорідних систем. Спочатку вирішимо однорідну задачу з неоднорідними початковими умовами:
\[x_{h}^{\prime \prime}+x_{h}=0, \quad x_{h}(0)=4, \quad x_{h}^{\prime}(0)=0 . \nonumber \]
Рішення легко видно, щоб бути\(x_{h}(t)=4 \cos t\).
Далі будуємо функцію Гріна. Нам потрібні два лінійно незалежних розв'язку\(y_{1}(x), y_{2}(x)\), щоб однорідне диференціальне рівняння\(y_{1}(0)=0\) задовольняло і\(y_{2}^{\prime}(0)=0\). Отже, підбираємо\(y_{1}(t)=\sin t\) і\(y_{2}(t)=\cos t\). Вронський зустрічається як
\[W(t)=y_{1}(t) y_{2}^{\prime}(t)-y_{1}^{\prime}(t) y_{2}(t)=-\sin ^{2} t-\cos ^{2} t=-1 . \nonumber \]
Так як\(p(t)=1\) в цій проблемі ми
\ [\ почати {вирівняний}
G (t,\ тау) &=\ dfrac {y_ {1} (\ тау) y_ {2} (t) -y_ {1} (t) y_ {2} (\ тау)} {p (\ тау) W\ tau)}\\
&=\ sin t\ cos\ tau\ sin\
t-\ tau)
\ кінець {вирівняний}\ мітка {8.32}\]
Зауважте, що функція Гріна залежить від\(t-\tau\). Хоча це корисно в деяких контекстах, ми будемо використовувати розгорнуту форму.
Тепер ми можемо визначити конкретний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння. У нас є
\ [\ почати {вирівняний}
x_ {p} (t) &=\ int_ {0} ^ {t} G (t,\ тау) f (\ тау) д\ тау\
&=\ int_ {0} ^ {t} (\ sin t\ cos\ tau\ t) (2\ cos\ tau) d\ tau\\
&=2\ sin t\ int_ {0} ^ {t}\ cos ^ {2}\ тау д\ тау-2\ cos t\ int_ {0} ^ {t}\ sin\ тау\ cos\ тау д\ тау\\
&=2\ sin t\ лівий [\ dfrac {\ тау} {2} +\ dfrac {1} {2}\ sin 2\ тау\ праворуч] _ {0} ^ {t} -2\ cos t\ left [\ dfrac {1} {2}\ sin ^ {2}\ тау\ праворуч] _ {0} ^ {t}\\
&t\ sin t
\ кінець вирівняні}\ мітка {8.33}\]
Тому конкретне рішення є\(x(t)=4 \cos t+t \sin t\). Це те саме рішення, яке ми знайшли раніше в розділі 2.
Як зазначалося в останньому розділі, нам зазвичай не дається диференціальне рівняння в самоспряженном вигляді. Як правило, він приймає форму
\[a_{2}(x) y^{\prime \prime}(x)+a_{1}(x) y^{\prime}(x)+a_{0}(x) y(x)=g(x) . \label{8.34} \]
Термін водіння стає
\[f(x)=\dfrac{1}{a_{2}(x)} p(x) g(x) \nonumber \]
Вставивши це в форму функції Гріна конкретного рішення, отримаємо наступне:
Розв'язок задачі початкового значення,
\[a_{2}(x) y^{\prime \prime}(x)+a_{1}(x) y^{\prime}(x)+a_{0}(x) y(x)=g(x) \nonumber \]
приймає форму
\[y(x)=c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)+\int_{0}^{t} G(x, \xi) g(\xi) d \xi \label{8.35} \]
де функція Гріна - це кусково визначена функція
\[G(x, \xi)=\dfrac{y_{1}(\xi) y_{2}(x)-y_{1}(x) y_{2}(\xi)}{a_{2}(\xi) W(\xi)} \label{8.36} \]
і\(y_{1}(x)\) і\(y_{2}(x)\) є розв'язками однорідного рівняння, що задовольняє
\[y_{1}(0)=0, y_{2}(0) \neq 0, y_{1}^{\prime}(0) \neq 0, y_{2}^{\prime}(0)=0 . \nonumber \]
8.2.2 Функція Гріна граничного значення
Тепер перейдемо до крайових задач. Ми зупинимося на проблемі
\ [\ почати {масив} {r}
\ dfrac {d} {d x}\ ліворуч (p (x)\ dfrac {d y (x)} {д х}\ вправо) +q (x) y (x) =f (x),\ квадрад a<x<b\
y (a) =0,\ квадрад y (b) =0
\ кінець {масив}\ мітка {8.0 37}\]
Однак загальна теорія працює для інших форм однорідних граничних умов.
Ще раз шукаємо\(x_{0}\) і\(x_{1}\) в формі
\[y(x)=y_{2}(x) \int_{x_{1}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi-y_{1}(x) \int_{x_{0}}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi \nonumber \]
так що розв'язок крайової задачі можна записати як єдиний інтеграл із функцією Гріна. Тут ми\(y_{h}(x)\) поглинаємо інтеграли з відповідним вибором нижніх меж на інтеграли.
Спочатку ми вибираємо розв'язки однорідного диференціального рівняння, що\(y_{1}(a)=0, y_{2}(b)=0\) і\(y_{1}(b) \neq 0, y_{2}(a) \neq 0\). Отже, у нас є
\ [\ почати {вирівняний}
y (a) &=y_ {2} (a)\ int_ {x_ {1}} ^ {a}\ dfrac {f (\ xi) y_ {1} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)}} д\ xi-y_ {1} (a)\ int_ {x_ {0}} ^ {a\ dfrac {f (\ xi) y_ {2} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} д\ xi\
&=y_ {2} (a)\ int_ {x_ {1}} ^ {a}\ dfrac {f (\ xi) y_ {1} (\ xi)} {p (\ xi) Ш (\ xi)\ d xi
\ end {вирівняні }\ етикетка {8.38}\]
Цей вираз дорівнює нулю if\(x_{1}=a\).
У\(x=b\) нас знаходимо, що
\ [\ почати {вирівняний}
y (b) &=y_ {2} (b)\ int_ {x_ {1}} ^ {b}\ dfrac {f (\ xi) y_ {1} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)}} д\ xi-y_ {1} (b)\ int_ {x_ {0}} ^ {b\ dfrac {f (\ xi) y_ {2} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi)} д\ xi\\
&=-y_ {1} (b)\ int_ {x_ {0}} ^ {b}\ dfrac {f (\ xi) y_ {2} (\ xi)} {p (\ xi) W (\ xi) Д\ xi
\ кінець { вирівняні}\ мітка {8.39}\]
Це зникає для\(x_{0}=b\).
Отже, ми виявили, що
\[y(x)=y_{2}(x) \int_{a}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi-y_{1}(x) \int_{b}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi . \label{8.40} \]
Ми шукаємо функцію Гріна, щоб рішення можна було записати як один інтеграл. Ми можемо перемістити функції\(x\) під інтеграл. Крім того, оскільки\(a<x<b\), ми можемо перевернути межі у другому інтегралі. Це дає
\[y(x)=\int_{a}^{x} \dfrac{f(\xi) y_{1}(\xi) y_{2}(x)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi+\int_{x}^{b} \dfrac{f(\xi) y_{1}(x) y_{2}(\xi)}{p(\xi) W(\xi)} d \xi . \label{8.41} \]
Цей результат можна записати в компактному вигляді:
Розв'язок крайової задачі набуває вигляду
\[y(x)=\int_{a}^{b} G(x, \xi) f(\xi) d \xi, \label{8.42} \]
де функція Гріна - це кусково визначена функція
\ [G (x,\ xi) =\ лівий\ {\ почати {масив} {л}
\ dfrac {y_ {1} (\ xi) y_ {2} (x)} {p W}, a\ leq\ xi\ leq x\
\ dfrac {y_ {1} (x) y_ {2} (\ xi)} {p W}, x\ leq\ xi\ leq b
\ end {масив}\ право. \ етикетка {8.43}\]
Функція Гріна задовольняє декільком властивостям, які ми розглянемо далі в наступному розділі. Наприклад, функція Гріна задовольняє граничним умовам при\(x=a\) і\(x=b\). Таким чином,
\ почати {вирівняний}
&G (a,\ xi) =\ dfrac {y_ {1} (a) y_ {2} (\ xi)} {p W} =0\
&G (b,\ xi) =\ dfrac {y_ {1} (\ xi) y_ {2} (b)} {p W} =0.
\ end {вирівняний}
Крім того, функція Гріна симетрична в своїх аргументах. Взаємообмін аргументами дає
\ [G (\ xi, x) =\ лівий\ {\ почати {масив} {л}
\ dfrac {y_ {1} (x) y_ {2} (\ xi)} {p W}, a\ leq x\ xi\
\ dfrac {y_ {1} (\ xi) y_ {2} (x)} {p W}\ xi\ leq x\ leq b
\ end {масив}. \ праворуч. \ етикетка {8.44}\]
Але уважний погляд на оригінальну форму показує, що
\[G(x, \xi)=G(\xi, x) . \nonumber \]
Ми будемо використовувати ці властивості в наступному розділі, щоб швидко визначити функції Гріна для інших крайових задач.
Спочатку вирішуємо однорідне рівняння,\(y^{\prime \prime}=0\). Після двох інтеграцій ми маємо\(y(x)=A x+B\), for\(A\) і\(B\) константи повинні бути визначені.
Нам потрібно одне рішення задовольняє\(y_{1}(0)=0\) Таким чином,\(0=y_{1}(0)=B\). Отже, ми можемо підібрати\(y_{1}(x)=x\), так як\(A\) довільно.
Інше рішення має задовольнити\(y_{2}(1)=0\). Отже,\(0=y_{2}(1)=A+B\). Це можна вирішити для\(B=-A\). Знову\(A\) ж таки, довільно і будемо вибирати\(A=-1\). Таким чином,\(y_{2}(x)=1-x\).
Для цієї проблеми\(p(x)=1\). Таким чином, для\(y_{1}(x)=x\) і\(y_{2}(x)=1-x\),
\[p(x) W(x)=y_{1}(x) y_{2}^{\prime}(x)-y_{1}^{\prime}(x) y_{2}(x)=x(-1)-1(1-x)=-1 . \nonumber \]
Зверніть увагу, що\(p(x) W(x)\) є постійною, як і належить.
Тепер ми будуємо функцію Гріна. У нас є
\ [G (x,\ xi) =\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
-\ xi (1-х), 0\ leq\ xi\ leq x\\
-x (1-\ xi), х\ leq\ xi\ leq 1
\ end {масив}\ право. \ етикетка {8.45}\]
Зверніть увагу на симетрію між двома гілками функції Гріна. Також функція Гріна задовольняє однорідні граничні умови:\(G(0, \xi)=0\), з нижньої гілки, і\(G(1, \xi)=0\), з верхньої гілки.
Нарешті, вставляємо функцію Гріна в інтегральну форму рішення:
\ [\ почати {вирівняний}
y (x) &=\ int_ {0} ^ {1} Г (x,\ xi) f (\ xi) д\ xi\
&=\ int_ {0} ^ {1} Г (x,\ xi)\ xi^ {2} d\ xi\\
&=-\ int_ {0} ^ {x}\ xi (1-х)\ xi {2} d\ xi\\ &=-\ int_ {0} ^ {x}\ xi (1-х)\ xi {2}} д\ xi-\ int_ {x} ^ {1} х (1-\ xi)\ xi^ {2} д\ xi\\
&=- (1-х)\ int_ {0} ^ {x}\ xi^ {3} d\ xi-x\ int_ {x} ^ {1}\ ліворуч (\ xi^ {2} -\ xi^ {3}\ праворуч) d\ xi\\
&=- (1-х)\ ліворуч [\ dfrac {\ xi^ {4}} {4}\ праворуч] _ {0} ^ {x} -х\ ліворуч [\ dfrac {\ xi^ {3}} {3}} -\ dfrac {\ xi^ {4}}\ праворуч] _ {x} ^ {1}\\
&=-\ dfrac {1} {4} (1-х) x^ {4} -\ dfrac {1} {12} x (4-3) +\ dfrac {1} {12} х\ ліворуч (4 x ^ {3} -3 x^ {4}\ праворуч)\\
&=\ dfrac {1} {1} 12 }\ ліворуч (x^ {4} -x\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}\ мітка {8.46}\]