8: Функції Гріна

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61613

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У цьому розділі ми досліджуємо розв'язання неоднорідних диференціальних рівнянь з використанням функцій Гріна. Наша мета - розв'язати неоднорідне диференціальне рівняння

\[L[u]=f, \nonumber \]

де\(L\) - диференціальний оператор. Рішення формально дано

\[u=L^{-1}[f] \nonumber \]

Обернене диференціального оператора є інтегральним оператором, який ми прагнемо записати у вигляді

\[u=\int G(x, \xi) f(\xi) d \xi \nonumber \]

Функція\(G(x, \xi)\) називається ядром інтегрального оператора і називається функцією Гріна.

Історія функції Гріна бере свій початок з 1828 року, коли Джордж Грін опублікував роботу, в якій шукав розв'язки рівняння\(\nabla^{2} u=f\) Пуассона для електричного потенціалу,\(u\) визначеного всередині обмеженого об'єму з заданими граничними умовами на поверхні об'єму. Він ввів функцію, яку тепер ідентифікують як те, що пізніше Ріман придумав «функцію Гріна».

Ми обмежимося нашим обговоренням функціями Гріна для звичайних диференціальних рівнянь. Розширення рівнянь з частинними похідними, як правило, є одним із предметів курсу PDE. Розпочнемо дослідження з вивчення розв'язків неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь другого порядку за допомогою методу варіації параметрів, який зазвичай розглядається в першому курсі з диференціальних рівнянь. Ми будемо ідентифікувати функцію Гріна як для початкових, так і для крайових задач. Потім ми зосередимося на граничних функціях Гріна та їх властивостях. Визначення функцій Гріна можливо також за допомогою теорії Штурма-Ліувілля. Це призводить до послідовного представлення функцій Гріна, які ми вивчимо в останньому розділі цієї глави.