Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1: Вступ та огляд

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    61597

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Це примітки для другого курсу диференціальних рівнянь спочатку викладав у весняному семестрі 2005 року в Університеті Північної Кароліни Вілмінгтон до вищого рівня і першого курсу аспірантів, а пізніше оновлено восени 2007 і восени 2008. Передбачається, що ви пройшли вступний курс з диференціальних рівнянь. Однак ми почнемо цю главу з огляду деяких матеріалів з вашого першого курсу з диференціальних рівнянь, а потім дамо огляд матеріалу, який ми збираємося покрити.

    Зазвичай вступний курс з диференціальних рівнянь знайомить студентів з аналітичними розв'язками диференціальних рівнянь першого порядку, які є роздільними, лінійними диференціальними рівняннями першого порядку, а іноді і з деякими іншими спеціальними типами рівнянь. Потім студенти вивчають теорію диференціальних рівнянь другого порядку загалом обмежили вивчення точних розв'язків постійних коефіцієнтів лінійних диференціальних рівнянь або навіть рівнянь типу Коші-Ейлера. Пізніше за ними слід вивчення спеціальних прийомів, таких як методи силових рядів або методи перетворення Лапласа. Якщо дозволяє час, досліджують кілька спеціальних функцій, таких як поліноми Лежандра та функції Бесселя, вивчаючи методи степеневих рядів для розв'язання диференціальних рівнянь.

    Зовсім недавно варіації цього інвентарю тем були введені за рахунок раннього впровадження систем диференціальних рівнянь, якісних досліджень цих систем і більш інтенсивного використання технології розуміння поведінки розв'язків диференціальних рівнянь. Зазвичай це робиться за рахунок того, що не охоплюють методи силових рядів, спеціальні функції або перетворення Лапласа. У будь-якому випадку типи розв'язуваних задач - це завдання на початкове значення, в яких розв'язуване диференціальне рівняння супроводжується сукупністю початкових умов.

    У цьому курсі ми припустимо деяку схильність до перекриття цих двох підходів. Спочатку ми дамо швидкий огляд розв'язку роздільних і лінійних рівнянь першого порядку. Потім ми розглянемо лінійні диференціальні рівняння другого порядку та рівняння Коші-Ейлера. Після цього буде проведено огляд деяких з розглянутих тем. Як і в будь-якому курсі диференціальних рівнянь, ми підкреслимо аналітичні, графічні та (іноді) наближені розв'язки диференціальних рівнянь. Протягом усього часу ми представимо додатки з фізики, хімії та біології.