7.1: Матриці, детермінанти та проблема власних значень

Переглянути лекцію про додавання і множення матриць на YouTube

Переглянути лекцію про детермінанти на YouTube

Почнемо з розгляду деякої базової матричної алгебри. Матриця з\(n\) рядками і\(m\) стовпцями називається\(n\) -by-\(m\) матрицею. Тут нам потрібно лише розглянути простий випадок матриць два на два.

Матриця A два на два, з двома рядками і двома стовпцями, може бути записана як\[A=\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right).\nonumber\]

Перший ряд має елементи\(a\) і\(b\), другий ряд має елементи\(c\) і\(d\). Перший стовпець має елементи\(a\) і\(c\); другий стовпець має елементи\(b\) і\(d\).

Матриці можна додавати і множити. Матриці можуть бути додані, якщо вони мають однакову розмірність, а додавання відбувається елемент за елементом, наступний\[\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}e&f\\g&h\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+e & b+f \\ c+g & d+h\end{array}\right).\nonumber\]

Матриці можна множити, якщо кількість стовпців лівої матриці дорівнює числу рядків правої матриці. Конкретний елемент в отриманій матриці добутку, скажімо в рядку\(k\) і стовпці\(l\), отримують шляхом множення і підсумовування елементів в рядку\(k\) лівої матриці з елементами в стовпці\(l\) правої матриці. Наприклад, матриця два на два може множити вектор стовпця два на один наступним чином\[\left(\begin{array}{rl}a&b \\ c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ax+by \\ cx+dy\end{array}\right).\nonumber\]

Перший рядок лівої матриці множиться на і підсумовується з першим (і єдиним) стовпцем правої матриці для отримання елемента в першому рядку і першому стовпці матриці добутку, і так далі для елемента у другому рядку і першому стовпці. Добуток двох матриць два на два задається\[\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}e&f \\ g&h\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ae+bg &af+bh \\ ce+dg&cf+dh\end{array}\right).\nonumber\]

Система лінійних алгебраїчних рівнянь легко представлена в матричному вигляді. Наприклад, з\(a_{ij}\) і\(b_i\) заданими числами, і\(x_i\) невідомими, система рівнянь (два на два)\[\begin{aligned}a_{11}x_1+a_{12}x_2&=b_1, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2&=b_2,\end{aligned}\] може бути записана в матричному вигляді, \[\label{eq:1}\mathbf{Ax}=\mathbf{b},\]де \[\label{eq:2}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{array}\right),\quad\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2\end{array}\right),\quad\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\end{array}\right).\]

Коли\(\mathbf{b} = 0\), ми говоримо, що система рівнянь, задана,\(\eqref{eq:1}\) однорідна. Тепер ми задаємо наступне питання: Коли існує нетривіальне (не однаково нульове) рішення,\(\mathbf{x}\) коли лінійна система однорідна? Для найпростішого випадку матриці два на два ми можемо спробувати вирішити безпосередньо однорідну лінійну систему рівнянь, задану \[\label{eq:3}\begin{array}{l}ax_1+bx_2=0, \\ cx_1+dx_2=0.\end{array}\]

Множення першого рівняння на,\(d\) а друге на\(b\), і віднімання другого рівняння з першого, призводить до\[(ad-bc)x_1=0.\nonumber\]

Аналогічно, множення першого рівняння на,\(c\) а друге на\(a\), і віднімання першого рівняння з другого, призводить до\[(ad-bc)x_2=0.\nonumber\]

Тому нетривіальне рішення\(\eqref{eq:3}\) для матриці два на два існує тільки в тому випадку, якщо\(ad − bc = 0\). Якщо визначити детермінанту\(2\times 2\) \[\label{eq:4}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)\]матриці бути\(\det \mathbf{A} = ad − bc\), то скажемо, що нетривіальне рішення для\(\eqref{eq:3}\) існує забезпечено\(\det \mathbf{A} = 0\).

Те ж саме обчислення можна повторити для\(3\times 3\) матриці. Якщо\[\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i\end{array}\right),\quad\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right),\nonumber\] тоді існує нетривіальне рішення для\(\mathbf{Ax} = 0\) надання\(\det \mathbf{A} = 0\), де\(\det \mathbf{A} = a(ei − f h) − b(di − f g) + c(dh − eg)\). Визначення детермінанти може бути додатково узагальнено до будь-якої\(n\times n\) матриці, і зазвичай викладається в першому курсі з лінійної алгебри.

Розглянемо тепер задачу про власні значення. Для\(\mathbf{A}\)\(n\times n\) матриці та\(\mathbf{v}\) вектора\(n\times 1\) стовпців задача на власні значення вирішує рівняння \[\label{eq:5}\mathbf{Av}=\lambda\mathbf{v}\]для власних значень\(\lambda_i\) та відповідних власних векторів\(\mathbf{v}_i\). Ми перепишемо рівняння власних значень так,\(\eqref{eq:5}\) як \[\label{eq:6}(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{v}=0,\]де\(\mathbf{I}\) знаходиться матриця\(n\times n\) ідентичності, тобто матриця з одиницями по діагоналі і нулями всюди. Надано нетривіальне рішення\(\eqref{eq:6}\) існуючих \[\label{eq:7}\det (\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})=0.\]

Рівняння\(\eqref{eq:7}\) є поліномом\(n\) -го порядку рівняння в\(\lambda\), і називається характеристичним рівнянням\(\mathbf{A}\). Характеристичне рівняння може бути вирішено для власних значень, а для кожного власне значення можна визначити відповідний власний вектор безпосередньо з\(\eqref{eq:5}\).

Ми можемо продемонструвати, як знайти власні значення та власні вектори\(2\times 2\) матриці, заданої\(\eqref{eq:4}\). У нас є\[\begin{aligned}0&=\det (\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}) \\ &=\left|\begin{array}{cc}a-\lambda &b \\ c&d-\lambda\end{array}\right| \\ &=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc \\ &=\lambda^2-(a+d)\lambda +(ad-bc).\end{aligned}\]

Це характеристичне рівняння можна більш\(\text{Tr }\mathbf{A}\) загально записати як \[\label{eq:8}\lambda^2-\text{Tr }\mathbf{A}\lambda +\det\mathbf{A}=0,\]де слід, або сума діагональних елементів матриці\(\mathbf{A}\). Якщо\(\lambda\) є власним значенням\(\mathbf{A}\), то відповідний власний вектор\(\mathbf{v}\) можна знайти шляхом вирішення,\[\left(\begin{array}{cc}a-\lambda&b \\ c&d-\lambda\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}v_1 \\ v_2\end{array}\right)=0,\nonumber\] де рівняння другого рядка завжди буде кратним рівнянню першого рядка. Origenvector\(\mathbf{v}\) має довільну нормалізацію, і ми завжди можемо вибрати для зручності\(v_1 = 1\). Рівняння з першого ряду є\[(a-\lambda)v_1+bv_2=0,\nonumber\] і з\(v_1=1\), знаходимо\(v_2=(\lambda -a)/b\).

У наступному розділі ми побачимо кілька прикладів власноговекторного аналізу.