6.1: Площа прямокутника і квадрата

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58881

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Вимірювання площі геометричних фігур - один з найвідоміших способів застосування математики в нашому повсякденному житті. Площа будівлі, стан картини, кількість паперу в рулоні паперових рушників - все це приклади предметів, які часто вимірюються з точки зору площі. У цьому розділі ми виведемо формули для площ геометричних об'єктів, які ми вивчили.

Площа вимірюється в квадратних дюймах, квадратних футах, квадратних сантиметрах і т.д. основною одиницею виміру є одиниця квадрат, квадрат, сторони якого мають довжину 1 (рис.$\PageIndex{1}$). Його площа - 1 квадратний дюйм, 1 квадратний фут, 1 квадратний сантиметр і т.д., в залежності від того, яке вимірювання Ilength вибирається. Площа будь-якої замкнутої фігури визначається як кількість одиничних квадратів, які вона містить.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Одиниця квадрата.

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть площу прямокутника довжиною 5 і шириною 3.

Рішення

Ми бачимо з діаграми, що площа$(5)(3)=15$

$clipboard_ecdf7dd578f9461aaf9b112b03337729a.png$

Відповідь: 15.

Це говорить про наступну теорему:

Теорема$\PageIndex{1}$

Площа прямокутника - це довжина, що перевищує його ширину.

$A = lw$

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть площу квадрата зі стороною 3.

Рішення

Площа =$(3)(3) = 3^2 = 9$.

$2020-11-24 1.30.31.png$

Відповідь: 9.

Формула для квадрата:re тепер сама собою зрозуміла:

Теорема$\PageIndex{2}$

Площа квадрата - це квадрат однієї з його сторін.

$A = s^2$

Периметр багатокутника - сума довжин його сторін. Наприклад, периметр прямокутника Прикладу$\PageIndex{1}$ буде 5 + 5 + 3 + 3 = 16.

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть площу і периметр прямокутника$ABCD$:

$2020-11-24 1.35.23.png$

Рішення

Спочатку ми використовуємо теорему Піфагора, щоб знайти$x$:

$\begin{array} {rcl} {AB^2 + BC^2} & = & {AC^2} \\ {(3x - 1)^2 + (2x)^2} & = & {(2x + 4)^2} \\ {9x^2 - 6 x + 1 + 4x^2} & = & {4x^2 + 16x + 16} \\ {9x^2 - 22x - 15} & = & {0} \\ {(9x + 5)(x - 3)} & = & {0} \end{array}$

$\begin{array} {rcl} {9x + 5} & = & {0} \\ {x} & = & {-\dfrac{5}{9}} \end{array}$$\begin{array} {rcl} {x - 3} & = & {0} \\ {x} & = & {3} \end{array}$

Ми відхиляємо відповідь,$x = -\dfrac{5}{9}$ тому що$BC = 2x = 2(-\dfrac{5}{9}) = -\dfrac{10}{9}$ матиме негативну довжину. Тому$x = 3$.

$AB = 3x - 1 = 3(3) - 1 = 9 - 1 = 8$. $BC = 2x = 2(3) = 6$.

$AC = 2x + 4 = 2(3) + 4 = 6 + 4 = 10$.

Перевірка:

$2020-11-24 1.40.35.png$

Площа =$lw = (8)(6) = 48.$ Периметр = 8 + 8 + 6 + 6 = 28.

Відповідь: Площа = 48, Периметр = 28.

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайти$x$:

$2020-11-24 1.44.26.png$

Рішення

$\begin{array} {rcl} {A} & = & {lw} \\ {40} & = & {(x + 3)(x)} \\ {40} & = & {x^2 + 3x} \\ {0} & = & {x^2 + 3x - 40} \\ {0} & = & {(x - 5)(x + 8)} \\ {x} & = & {5\ \ \ \ \ \ \ x = -8} \end{array}$

Ми відхиляємо$x = -8$, тому що сторона$BC = x$ прямокутника буде негативною.

Перевірка,$x = 5$:

$2020-11-24 пнг$

Відповідь:$x = 5$.

Приклад$\PageIndex{5}$

Г-подібне приміщення має розміри, зазначені на схемі, скільки потрібно плиток один на один фут, щоб облицювати підлогу?

$2020-11-24 1.48.11.PNG$

Рішення

Розділіть кімнату на два прямокутника, як показано на малюнку.

$\begin{array} {rcl} {\text{Area of room}} & = & {\text{Area of large rectangle}} \\ {} & + & {\text{Area of small rectangle}} \\ {} & = & {(14)(10) + (6)(4)} \\ {} & = & {140 + 24} \\ {} & = & {\text{164 square feet.}} \end{array}$

$2020-11-24 1.49.53.PNG$

Відповідь: 164

Історична записка

Необхідність виміру земельних ділянок була однією з давніх проблем, яка призвела до розвитку геометрії. І ранні єгиптяни, і вавилоняни мали формули для площ прямокутників, трикутників і трапецій, але деякі їх формули були не зовсім точними. Формули в цьому розділі були відомі грекам і знаходяться в стихіях Евкліда.