5.2: Розв'язування правильних трикутників

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58804

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У попередньому розділі ми показали, що всі$30^{\circ}$ кути мають однакові тригонометричні значення. Якщо обчислити кожне з цих значень до чотирьох знаків після коми, ми отримаємо$\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2} = 0.5000$$\cos 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1.73205}{2} = 0.8660$,, і$\tan 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1.73205}{3} = 0.5774$. Ці цифри відображаються в таблиці тригонометричних значень на сторінці 356 в рядку, відповідному$30^{\circ}$.

Як бачите, ця таблиця містить тригонометричні значення кутів від$1^{\circ}$ до$90^{\circ}.$ Непрактично обчислювати більшість цих значень безпосередньо, тому ми будемо використовувати цю таблицю, коли вони нам знадобляться. Також може використовуватися кишеньковий калькулятор з тригонометричними функціями.

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайти$\sin 20^{\circ}$,$\cos 20^{\circ},$, і$\tan 20^{\circ}$.

Рішення

Шукайте$20^{\circ}$ в кутовій колонці таблиці на сторінці 356:

$clipboard_e15ef845c48ff0e4317c5a38b8699d216.png$

Якщо ви використовуєте кишеньковий калькулятор, спочатку переконайтеся, що він знаходиться в градусному режимі. Потім введіть 20, а потім гріх, cos або tan ключі.

Відповідь:$\sin 20^{\circ}=0.3420$,$\cos 20^{\circ}=0.9397$,$\tan 20^{\circ}=0.3640$

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть$x$ до найближчої десятої:

$2020-11-18 4.21.47.PNG$

Рішення

Ми хочемо знайти катет протилежний$20^{\circ}$ і ми знаємо гіпотенузу. Ми використовуємо синус, оскільки це єдина з трьох тригонометричних функцій, яка включає як протилежний катет, так і гіпотенузу.

$\begin{array} {rcl} {\sin 20^{\circ}} & = & {\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}} \\ {.3420} & = & {\dfrac{x}{10}} \\ {(10)(.3420)} & = & {\dfrac{x}{\cancel{10}} \cancel{(10)}} \\ {3.420} & = & {x} \end{array}$

Якщо ви використовуєте кишеньковий калькулятор, введіть

$clipboard_e8c7c988933f6316f100369934effc988.png$

Відповідь:$x = 3.4$

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть$x$ до найближчої десятої:

$clipboard_e33e120f4a9ea8f6c2788660395595705.png$

Рішення

Ми знаємо гіпотенузу і хочемо знайти катет поруч$\angle A$. Тому ми використовуємо косинус.

$\begin{array} {rcl} {\cos 20^{\circ}} & = & {\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}} \\ {0.9397} & = & {\dfrac{x}{10}} \\ {9.397} & = & {x} \end{array}$

Якщо ви використовуєте кишеньковий калькулятор, введіть

$clipboard_e7bbc8595af060777f6fca3b11b02a2ae.png$

Відповідь:$x = 9.4$

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть$x$ до найближчої десятої:

$clipboard_e5500ee632b70afbca36471b5f384f63f.png$

Рішення

Ми знаємо ногу навпроти$\angle A$ і бажаємо знайти ногу поруч$\angle A$. Тому ми використовуємо тангенс.

$\begin{array} {rcl} {\tan 20^{\circ}} & = & {\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}} \\ {.3640} & = & {\dfrac{10}{x}} \\ {(x)(0.3640)} & = & {(\dfrac{10}{\cancel{x}})\cancel{(x)}} \\ {0.3640x} & = & {10} \\ {\dfrac{0.3640 x}{0.3640}} & = & {\dfrac{10}{0.3640}} \\ {x} & = & {\dfrac{10}{0.3640} = \dfrac{10}{0.364} = 27.47} \end{array}$

27.47 виходить довгим діленням:

$clipboard_ed7fc1b239d893b3a59d88e0d52a0a541.png$

Якщо ви використовуєте кишеньковий калькулятор, введіть

$clipboard_efb9637ff47bfcbdefc3bd0af14d5d067.png$

Відповідь:$x = 27.5$

Існує простіший метод вирішення Приклад$\PageIndex{4}$. $\angle B = 90^{\circ}-20^{\circ} = 70^{\circ}$Нога протилежна$\angle B$ є,$x$ а нога, прилегла до$\angle B$, дорівнює 10.

$\begin{array} {rcl} {\tan 70^{\circ}} & = & {\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}} \\ {2.7475} & = & {\dfrac{x}{10}} \\ {(2.7475)(10)} & = & {x} \\ {27.475} & = & {x} \\ {27.5} & = & {x} \end{array}$

Цей метод простіший, оскільки передбачає множення, а не довге ділення.

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайдіть$x$ до найближчої десятої:

$clipboard_e03c4083b96b8a8deaecebc62bea4dc9b.png$

Рішення

$\begin{array} {rcl} {\sin 14^{\circ}} & = & {\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}} \\ {.2419} & = & {\dfrac{7}{x}} \\ {.2419 x} & = & {7} \\ {x} & = & {\dfrac{7}{.2419} = 28.9} \end{array}$

В цьому випадку немає можливості уникнути довгого поділу. (Можна уникнути довгого поділу шляхом введення таблиць для сікантної і косекансної функцій. Ми не будемо цього робити в цій книзі.)

Відповідь:$x = 28.9$

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайдіть$x$ до найближчого ступеня:

$clipboard_e03c4083b96b8a8deaecebc62bea4dc9b.png$

Рішення

$\begin{array} {rcl} {\sin 14^{\circ}} & = & {\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}} \\ {.2419} & = & {\dfrac{7}{x}} \\ {.2419 x} & = & {7} \\ {x} & = & {\dfrac{7}{.2419} = 28.9} \end{array}$

Відповідь:$x = 28.9$

Приклад$\PageIndex{6}$

Знайдіть$x$ до найближчого ступеня:

$clipboard_e9ca645fcdc07dbba8abf983a265313d1.png$

Рішення

$\begin{array} {rcl} {\sin x^{\circ}} & = & {\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}} \\ {\sin x^{\circ}} & = & {\dfrac{2}{3} = .6667} \end{array}$

У таблиці шукаємо в колонці синус значення, найближче до .6667:

Кут	Синус
.	.
.	.
$41^{\circ}$	.6561
$42^{\circ}$	.6691
.	.

.6667 є найближчим до .6691, тому що .6691 - .6667 = .0024 тоді як 0,6667 - .6561 = .0106. $x^{\circ} = 42^{\circ}$Тому в найближчій мірі.

Якщо ви використовуєте кишеньковий калькулятор, вам потрібно буде використовувати INV sin або 2nd F sin або SHIFT гріх або$sin^{-1}$ клавіші, залежно від моделі калькулятора. Введіть 2$\div$ 3 = INV гріх, потім округліть до найближчого ступеня.

Відповідь:$x = 42$

Приклад$\PageIndex{7}$

Знайдіть$x$ до найближчої десятої:

$clipboard_e295ff03eb3af9cc96a22748f415227dc.png$

Рішення

$\begin{array} {rcl} {\sin 40^{\circ}} & = & {\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}} \\ {.6428} & = & {\dfrac{x}{4}} \\ {(4)(.6428)} & = & {\dfrac{x}{\cancel{4}} (\cancel{4})} \\ {2.5712} & = & {x} \\ {2.6} & = & {x} \end{array}$

Відповідь:$x = 2.6$.

Приклад$\PageIndex{8}$

Знайдіть$x$ і$y$ до найближчої десятої:

$2020-11-23 5.31.04.png$

Рішення

$\begin{array} {rcl} {\sin 65^{\circ}} & = & {\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}} \\ {.9063} & = & {\dfrac{x}{8}} \\ {(8)(.9063)} & = & {\dfrac{x}{\cancel{8}} (\cancel{8})} \\ {7.2504} & = & {x} \\ {7.3} & = & {x} \end{array}$

Щоб знайти,$y$ ми спочатку знаходимо$AD$:

$\begin{array} {rcl} {\cos 65^{\circ}} & = & {\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}} \\ {.4226} & = & {\dfrac{AD}{8}} \\ {(8)(.4226)} & = & {\dfrac{AD}{8} (8)} \\ {3.3808} & = & {AD} \end{array}$

Так як у$AC = BC = 8$ нас є$\angle A = \angle B = 65^{\circ}$. Тому$BD = AD = 3.3808$. $y = AD + BD = 3.3808 + 3.3808 = 6.7616 = 6.8$.

Відповідь:$x = 7.3, y = 6.8$.

Історична записка

Перша таблиця тригонометричних значень була побудована грецьким астрономом Гіппархом (c. 180-125 рр. До н.е.). Гіппарх припустив, що вершина кожного кута$\angle AOB$ є центром кола, як показано в колі малюнка$\PageIndex{1}$. Залежно від кількості градусів в$\angle AOB$, його таблиця дасть довжину хорди$AB$ щодо радіуса кола. Сьогодні ми будемо вимірювати$\angle AOC$ замість$\angle AOB$ і використовувати половину акорду$AC$ замість$AB$. Співвідношення$\dfrac{AC}{AO}$ тоді просто синус$\angle AOC$.

2020-11-23 5.43.05.PNG — Малюнок$\PageIndex{1}$: Таблиця Гіппарха дала довжину хорди$AB$ щодо радіуса$AO$ для кожного кута$AOB$.

Деякі значення для своєї таблиці Гіппарх отримав з властивостей спеціальних геометричних фігур, таких як$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ трикутник і$45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$ трикутник. Решта значень були отримані з уже відомих за допомогою тригонометричних тотожностей та наближення. Ідентичності, які він використовував, були, по суті, напівкут і сума і різниця формули, з якими студенти стикаються в сучасних курсах TrigonometrJ.

Тригонометрія греків, а пізніше індусів і арабів була заснована в першу чергу на синусоїдальної функції. Індуси замінили таблицю акордів Гіппарха таблицею з половинних акордів. Термін синус походить від індуїстського слова, що означає «напівакорд».

Поступово прямокутний трикутник замінив акорди кіл як основу тригонометричних визначень. Косинус - це просто синус доповнення кута в прямокутному трикутнику, Наприклад доповнення$60^{\circ}$ є$30^{\circ}$ і$\cos 60^{\circ} = \sin 30^{\circ} = .5$.

Тангенс — це лінія, яка торкається кола лише в одній точці (див. Розділ 7). У тригонометрії це стосується саме тієї частини дотичної лінії, перехопленої кутом, щодо радіуса кола. На$\PageIndex{2}$ малюнку тангенс$\angle DOE$ - це відрізок,$DE$ розділений на радіус$OD$. Стародавні греки, ймовірно, знали про функцію дотичної, але перша відома таблиця значень була побудована арабами в 10 столітті. Термін «тангенс» був прийнятий в 16 столітті.

2020-11-23 5.48.09.png — Малюнок$\PageIndex{2}$: Тангенс$\angle DOE$ is$\dfrac{DE}{OD}$.

Сучасні тригонометричні таблиці побудовані з нескінченних рядів. Вперше вони були виявлені в 17 столітті Ньютоном, Лейбніцем та іншими. Наприклад, нескінченний ряд для синусоїдальної функції дорівнює

\[\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \dfrac{x^7}{5040} + \cdots\]

де$x$ знаходиться в радіанах, 1 радіан = 57,296 градусів. Гарне наближення синуса кута можна отримати з нескінченного ряду, підсумовуючи лише перші кілька десятків. Це також метод комп'ютерів і кишенькових калькуляторів, які використовують для пошуку тригонометричних значень. Виведення цих формул зустрічається в підручниках з числення.

Проблеми

1 - 10. Знайдіть кожну з наведених нижче дій за допомогою таблиці:

1. $\sin 10^{\circ}$

2. $\sin 30^{\circ}$

3. $\cos 80^{\circ}$

4. $\cos 60^{\circ}$

5. $\tan 45^{\circ}$

6. $\tan 60^{\circ}$

7. $\sin 18^{\circ}$

8. $\cos 72^{\circ}$

9. $\tan 50^{\circ}$

10. $\tan 80^{\circ}$

11 - 30. Знайдіть$x$ до найближчої десятої:

11.

$Знімок екрана 2020-11-23 в 5.58.20 PM.png$

12.

$Знімок екрана 2020-11-23 в 5.58.35 PM.png$

13.

$Знімок екрана 2020-11-23 в 5.58.53 PM.png$

14.

$Знімок екрана 2020-11-23 в 5.59.26 PM.png$

15.

$Знімок екрана 2020-11-23 в 5.59.43 PM.png$

16.

$Знімок екрана 2020-11-23 в 5.59.57 PM.png$

17.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.01.48 PM.png$

18.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.02.16 PM.png$

19.

$Знімок екрана 2020-11-23 в 6.03.03 PM.png$

20.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.03.27 PM.png$

21.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.03.50 PM.png$

22.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.04.05 PM.png$

23.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.04.23 PM.png$

24.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.04.38 PM.png$

25.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.06.25 PM.png$

26.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.08.16 PM.png$

27.

$Знімок екрана 2020-11-23 на 6.09.09 PM.png$

28.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.09.29 PM.png$

29.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.09.50 PM.png$

30.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.10.06 PM.png$

31 - 38. Знайдіть$x$ до найближчого ступеня:

31.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.10.45 PM.png$

32.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.11.03 PM.png$

33.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.11.25 PM.png$

34.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.11.43 PM.png$

35.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.12.03 PM.png$

36.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.12.33 PM.png$

37.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.12.48 PM.png$

38.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.13.05 PM.png$

39 - 46. Знайти$x$ або$x$ і$y$ до найближчої десятої:

39.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.14.00 PM.png$

40.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.14.47 PM.png$

41.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.15.03 PM.png$

42.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.15.28 PM.png$

43.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.15.48 PM.png$

44.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.16.01 PM.png$

45.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.16.14 PM.png$

46.

$Знімок екрана 2020-11-23 о 6.16.32 PM.png$

Кут	Синус
.	.
.	.
\(41^{\circ}\)	.6561
\(42^{\circ}\)	.6691
.	.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Історична записка

Проблеми