Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.1: Еквівалентні паралельні постулати

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58465

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Кожен з наступних є еквівалентним евклідовим постулатом.

    Еквівалентні евклідові постулати:

    • (Playfair) З огляду на лінію і точку не на цій лінії, існує рівно одна лінія через цю точку паралельно заданій лінії.
    • (Рівновіддалені) Лінії, які паралельні, скрізь рівновіддалені.
    • (Евклід) З огляду на дві лінії і поперечний цих ліній, якщо сума кутів на одній стороні поперечного менше двох прямих кутів, то лінії зустрічаються на цій стороні.

    3.1.1 Підготовка

    Ці теореми не вимагають паралельного постулату.

    Теорема: Альтернативні внутрішні кути

    Якщо чергові внутрішні кути, утворені попереком двох ліній, рівні, то лінії паралельні.

    Теорема: Відстань від точки до лінії

    (Найкоротша) відстань між точкою і лінією - від точки до підніжжя перпендикуляра.

    Теорема: Зручна паралельна аксіома Евкліда

    Якщо сума кутів на одній стороні поперечної лінії дорівнює двом прямим кутам, то лінії паралельні.

    3.1.2 Еквівалентність

    Наступна теорема виробляє більш простий у використанні варіант постулату Евкліда.

    Теорема

    Постулат Евкліда і теорема Зручна Евкліда Паралельна аксіома еквівалентні наступним. «Сума кутів на одній стороні поперечного двох ліній дорівнює сумі двох прямих кутів тоді і тільки тоді, коли лінії паралельні».

    Теорема

    Постулат Евкліда передбачає аксіому Playfair.

    Теорема

    Аксіома Playfair передбачає альтернативну теорему про зворотний кут внутрішнього кута.

    Альтернативна внутрішня кутова зворотна теорема стану Враховуючи паралельні лінії та поперечні ці лінії, альтернативні внутрішні кути, утворені поперечним, є конгруентними».

    Теорема

    Playfair та поперемінна теорема внутрішнього кута мають на увазі рівновіддаленість паралельних ліній.

    Теорема

    Рівновіддаленість паралельних ліній має на увазі постулат Евкліда.

    Теорема

    Доведіть, що три постулати є рівнозначними.