34.3: Більше стосунків

Last updated
Save as PDF

Page ID: 919

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Урок

Давайте використаємо графіки та рівняння, щоб показати зв'язки, що стосуються площі, об'єму та експоненти.

Вправа$\PageIndex{1}$: Which One Doesn't Belong: Graphs

Який з них не належить?

Малюнок$\PageIndex{1}$: Чотири координатні площини, позначені A, B, C та D, кожна з яких має позначення O. Для графіка A графіки дев'ять точок, а тенденція точок даних рухається лінійно вгору та вправо, де перша точка починається з початку. Для графіка B графіки 11 точок і тенденція точок даних рухається лінійно вниз і вправо, де перша точка починається на вертикальній осі, високо над початком. Для графіка С графіки 11 точок і тенденція точок даних рухається по кривій, яка рухається вгору і вправо, де перша точка починається на вертикальній осі, трохи вище початку. Для графіка D графіки 11 точок і тенденція точок даних рухається горизонтально і вправо, де перша точка починається на вертикальній осі і трохи вище початку.

Вправа$\PageIndex{2}$: Making a Banner

Mai створює прямокутний банер для реклами шкільної п'єси. Матеріал для банера продається квадратним футом. У Mai достатньо грошей, щоб купити 36 квадратних футів матеріалу. Вона намагається визначитися з довжиною і шириною банера.

Якщо довжина 6 футів, яка ширина?
Якщо довжина 4 фути, яка ширина?
Якщо довжина 9 футів, яка ширина?
Щоб знайти різні комбінації довжини і ширини, які дають площу 36 квадратних футів, Mai використовує рівняння$w=\frac{36}{l}$, де$w$ ширина і$l$ довжина. Порівняйте свою стратегію та метод Mai для пошуку ширини. Як вони були схожі або різні?
Використовуйте кілька комбінацій довжини та ширини, щоб створити графік, який показує взаємозв'язок між довжинами сторін різних прямокутників з площею 36 квадратних футів.
Поясніть, як графік описує зв'язок між довжиною і шириною для різних прямокутників з площею 36.
Припустимо, Mai використовував рівняння,$l=\frac{36}{w}$ щоб знайти довжину для різних значень ширини. Чи буде графік іншим, якби вона намалювала довжину на вертикальній осі та ширину на горизонтальній осі? Поясніть, як ви знаєте.

Вправа$\PageIndex{3}$: Cereal Boxes

Виробник зернових повинен спроектувати зернову коробку, яка має об'єм 225 кубічних дюймів і висоту, яка не більше 15 дюймів.

Дизайнери знають, що обсяг прямокутної призми можна обчислити, перемноживши площу її підстави і висоту. Доповніть таблицю парами значень, які зроблять обсяг 225 в ³.

Таблиця$\PageIndex{1}$
висота (дюйми)		$5$	$9$	$12$		$7\frac{1}{2}$
площа підстави (в$^{2}$)	$75$				$15$

Опишіть, як ви знайшли відсутні значення для таблиці.
Напишіть рівняння, яке показує, як на площу підстави$A$, впливають зміни висоти$h$, для різних прямокутних призм з об'ємом 225 в ³.
Побудуйте впорядковані пари з таблиці на графіку, щоб показати залежність між площею основи та висотою для різних ящиків коробки об'ємом 225 в ³.

Вправа$\PageIndex{4}$: Multiplying Mosquitoes

Дослідник, який вивчає популяції комарів, збирає наступні дані:

Таблиця$\PageIndex{2}$
день в дослідженні ($d$)	кількість комарів ($n$)
\ (d\)) ">$1$	\ (n\)) ">$2$
\ (d\)) ">$2$	\ (n\)) ">$4$
\ (d\)) ">$3$	\ (n\)) ">$8$
\ (d\)) ">$4$	\ (n\)) ">$16$
\ (d\)) ">$5$	\ (n\)) ">$32$

Дослідник сказав, що за ці п'ять днів кількість$n$ комарів можна знайти за допомогою рівняння,$n=2^{d}$ де$d$ день дослідження. Поясніть, чому це рівняння відповідає даним.
Використовуйте впорядковані пари в таблиці для графіка співвідношення між кількістю комарів і днем у дослідженні за ці п'ять днів.
Опишіть графік. Порівняйте, як дані, рівняння та графік ілюструють взаємозв'язок між днем у дослідженні та кількістю комарів.
Якщо візерунок продовжиться, скільки буде комарів на 6 день?

Резюме

Рівняння можуть представляти відносини між геометричними величинами. Наприклад:

Якщо$s$ довжина сторони квадрата, то площа$A$ пов'язана з$s$ по$A=s^{2}$.
Іноді відносини більш конкретні. Наприклад, периметр$P$ прямокутника з довжиною$l$ і шириною$w$ дорівнює$P=2l+2$. Якщо розглядати тільки прямокутники довжиною 10, то співвідношення між периметром і шириною дорівнює$P=20+2w$.

Ось ще один приклад рівняння з показником, що виражає зв'язок між величинами:

Супер м'яч скидається з 10 футів. На кожному наступному відскоку він йде лише так високо, як і на попередньому відскоку.

Це означає, що на першому відскоку м'яч буде відскакувати висотою 5 футів, а потім на другому відскоку він буде йти тільки$2\frac{1}{2}$ ногами висотою і так далі. Ми можемо представити цю ситуацію рівнянням, щоб знайти, наскільки високо супер м'яч буде відскакувати після будь-якої кількості відскоків.

Щоб знайти, наскільки високо супер м'яч відскакує на$n^{\text{th}}$ відскоку, ми повинні помножити 10 футів (початкова висота) на$\frac{1}{2}$ і помножити на$\frac{1}{2}$ знову для кожного відскоку після цього; нам потрібно зробити це$n$ раз. Таким чином, висота$h$, м'яча на$n^{\text{th}}$ відскоку буде$h=10\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$. У цьому рівнянні залежна змінна$h$,, впливає зміна незалежної змінної,$n$.

Рівняння та графіки можуть дати нам уявлення про різні види взаємозв'язків між величинами та допомогти нам відповідати на питання та вирішувати проблеми.

Записи глосарію

Визначення: Координатна площина

Координатна площина - це система, яка вказує, де знаходяться точки. Наприклад. Точка$R$ розташована$(3,2)$ на координатній площині, тому що це три одиниці вправо і дві одиниці вгору.

Визначення: Залежна змінна

Залежна змінна є результатом обчислення.

Наприклад, човен їде з постійною швидкістю 25 миль на годину. Рівняння$d=25t$ описує взаємозв'язок між відстанню човна і часом. Залежною змінною є пройдена відстань, тому що$d$ є результатом множення 25 на$t$.

Рисунок$\PageIndex{3}$: Графік з 10 точок, нанесений в координатній площині з початком координат з позначкою O. Горизонтальна вісь t позначається часом у годинами. Позначаються цифри від 0 до 10, з кроком 2, і між ними є вертикальні лінії сітки. Вертикальна вісь позначається відстань пройденого в милі. Позначаються цифри від 0 до 250, з кроком 25, і між ними розташовані горизонтальні лінії сітки. Дані такі: 1 кома 25. 2 кома 50. 3 кома 75. 4 кома 100. 5 кома 125. 6 кома 150. 7 кома 175. 8 кома 200. 9 кома 225. 10 кома 250.

Визначення: Незалежна змінна

Незалежна змінна використовується для обчислення значення іншої змінної.

Наприклад, човен їде з постійною швидкістю 25 миль на годину. Рівняння$d=25t$ описує взаємозв'язок між відстанню човна і часом. Незалежна змінна - це час, тому$t$ що множиться на 25, щоб отримати$d$.

Рисунок$\PageIndex{4}$: Графік з 10 точок, нанесений в координатній площині з початком координат з позначкою O. Горизонтальна вісь t позначається часом у годинами. Позначаються цифри від 0 до 10, з кроком 2, і між ними є вертикальні лінії сітки. Вертикальна вісь позначається відстань пройденого в милі. Позначаються цифри від 0 до 250, з кроком 25, і між ними розташовані горизонтальні лінії сітки. Дані такі: 1 кома 25. 2 кома 50. 3 кома 75. 4 кома 100. 5 кома 125. 6 кома 150. 7 кома 175. 8 кома 200. 9 кома 225. 10 кома 250.

Практика

Вправа$\PageIndex{5}$

Олена розробляє логотип у формі паралелограма. Вона хоче, щоб логотип мав площу 12 квадратних дюймів. Вона малює основи різної довжини і намагається обчислити висоту для кожного.

Написати рівняння Олена може використовувати, щоб знайти висоту$h$, для кожного значення підстави,$b$.
Використовуйте своє рівняння, щоб знайти висоту паралелограма з базовими$1.5$ дюймами.

Вправа$\PageIndex{6}$

Хан планує їздити на своєму велосипеді 24 милі.

Скільки часу займе, якщо він їде зі швидкістю:
3 милі на годину?
4 милі на годину?
6 миль на годину?
Напишіть рівняння, яке Хан може використовувати$t$, щоб знайти, час, який знадобиться, щоб проїхати 24 милі, якщо його швидкість в милі на годину представлена$r$.
На графічному папері намалюйте графік, який показує з$t$ точки зору$r$ для 24-мильної їзди.

Вправа$\PageIndex{7}$

Графік рівняння$V=10s^{3}$ містить точки$(2,80)$ і$(4, 640)$.

Створіть історію, яка представлена цим графіком.
Що означають точки в контексті вашої розповіді?

Вправа$\PageIndex{8}$

Ви знайдете латунну пляшку, яка виглядає дуже старою. Коли ви натираєте трохи бруду з пляшки, з'являється джин! Джин пропонує вам нагороду. Ви повинні вибрати один:

$50,000 або магічна монета $1.

Монета перетвориться в дві монети в перший день. Дві монети перетворяться в чотири монети на другий день. Чотири монети подвоїться до 8 монет на третій день. Джин пояснює, що подвоєння триватиме 28 днів.

Напишіть рівняння, яке показує кількість монет$n$, в перерахунку на день,$d$.
Створіть таблицю, яка показує кількість монет за кожен день протягом перших 15 днів.
Створіть графік для днів з 7 по 12, який показує, як кількість монет зростає з кожним днем.

Вправа$\PageIndex{9}$

На ринку 3,1 фунта персиків коштують 7,72 долара. Скільки коштували персики за фунт? Поясніть або покажіть свої міркування. Округлите відповідь до найближчого цента.

(Від блоку 5.4.5)

Вправа$\PageIndex{10}$

Андре встановив лимонадний стенд минулих вихідних. Це коштувало йому 0,15 долара, щоб зробити кожну чашку лимонаду, і він продавав кожну чашку за 0,35 долара.

Якщо Андре збирає $9,80, скільки кубків він продав?
Скільки грошей обійшлося Андре, щоб зробити таку кількість лимонаду?
Скільки грошей заробив Андре в прибутку?

(Від блоку 5.4.5)

висота (дюйми)		\(5\)	\(9\)	\(12\)		\(7\frac{1}{2}\)
площа підстави (в\(^{2}\))	\(75\)				\(15\)

день в дослідженні (\(d\))	кількість комарів (\(n\))
\ (d\)) ">\(1\)	\ (n\)) ">\(2\)
\ (d\)) ">\(2\)	\ (n\)) ">\(4\)
\ (d\)) ">\(3\)	\ (n\)) ">\(8\)
\ (d\)) ">\(4\)	\ (n\)) ">\(16\)
\ (d\)) ">\(5\)	\ (n\)) ">\(32\)