34.2: Дві пов'язані величини, частина 2

Last updated
Save as PDF

Page ID: 921

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте використаємо рівняння та графіки для опису історій з постійною швидкістю.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Walking to the Library

Лін і Джада кожна прогулянка з постійною швидкістю від школи до бібліотеки. Лін може пройти 13 миль за 5 годин, а Джада може пройти 25 миль за 10 годин. Кожен з них покидає школу о 3:00 і проходять\(3\frac{3}{4}\) милі до бібліотеки. О котрій годині вони прибувають?

Вправа\(\PageIndex{2}\): The Walk-a-thon

Дієго, Олена та Андре брали участь у прогулянці, щоб зібрати гроші на дослідження раку. Вони кожен йшов з постійною швидкістю, але їх ставки були різними.

Заповніть таблицю, щоб показати, як далеко кожен учасник йшов під час прогулянки.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
час в годинах	милі пройшли по Дієго	милі пройшли від Олени	милі пройшли Андре
\(1\)
\(2\)	\(6\)
	\(12\)	\(11\)
\(5\)			\(17.5\)

Як швидко кожен учасник йшов у милі на годину?
Скільки часу знадобилося кожному учаснику, щоб пройти одну милю?
Графік прогресу кожної людини в координатній площині. Використовуйте інший колір для кожного учасника.
Дієго каже, що\(d=3t\) представляє його\(d\) прогулянку, де відстань пройшла в милі і\(t\) час у годині.
1. Поясніть, чому\(d=3t\) пов'язує відстань, яку Дієго йшов до часу, який він знадобився.
2. Напишіть два рівняння, які пов'язують відстань і час: одне для Олени і одне для Андре.
Використовуйте рівняння, які ви написали, щоб передбачити, як далеко кожен учасник буде ходити, з однаковою швидкістю, за 8 годин.
Для рівняння Дієго та рівнянь, які ви написали, яка є залежною змінною, а яка є незалежною змінною?

Ви готові до більшого?

Два поїзда їдуть назустріч один одному, по паралельних коліях. Поїзд А рухається з постійною швидкістю 70 миль на годину. Поїзд В рухається з постійною швидкістю 50 миль на годину. Потяги спочатку знаходяться на відстані 320 миль один від одного. Скільки часу знадобиться їм, щоб зустрітися? Один із способів почати думати про цю проблему - зробити стіл. Додайте стільки рядків, скільки вам подобається.
Скільки часу займе поїзд, який подорожує зі швидкістю 120 миль на годину, щоб пройти 320 миль?
Поясніть зв'язок між цими двома проблемами.

Таблиця\(\PageIndex{2}\)
	поїзд А	поїзд B
вихідне положення	\(0\)миль	\(320\)миль
через 1 годину	\(70\)миль	\(270\)миль
через 2 години

Резюме

Рівняння дуже корисні для вирішення задач з постійними швидкостями. Ось приклад.

Човен їде з постійною швидкістю 25 миль на годину.

Як далеко може проїхати човен за 3.25 години?
Скільки часу потрібно, щоб човен проїхав 60 миль?

Ми можемо написати рівняння, щоб допомогти нам відповісти на подібні запитання.

Давайте використаємо\(t\) для представлення часу в годинами і\(d\) для представлення відстані в милі, що човен подорожує.

Коли ми знаємо час і хочемо знайти відстань, ми можемо написати:\(d=25t\) У цьому рівнянні, якщо\(t\) змінюється,\(d\) впливає зміна, тому ми\(t\) є незалежною змінною і\(d\) є залежною змінною.

Це рівняння може допомогти нам знайти,\(d\) коли ми маємо будь-яке значення\(t\). У\(3.25\) години човен може проїхати\(25(3.25)\) або\(81.25\) милі.

Коли ми знаємо відстань і хочемо знайти час, ми можемо написати:\(t=\frac{d}{25}\) У цьому рівнянні, якщо\(d\) змінюється,\(t\) впливає зміна, тому ми\(d\) є незалежною змінною і\(t\) є залежною змінною.

Це рівняння може допомогти нам знайти,\(t\) коли для будь-якого значення\(d\). Щоб проїхати 60 миль, знадобиться\(\frac{60}{25}\) або\(2\frac{2}{5}\) години.

Ці проблеми також можуть бути вирішені за допомогою важливих методів співвідношення, таких як таблиця еквівалентних коефіцієнтів. Рівняння особливо цінні в цьому випадку, оскільки відповіді не є круглими числами або їх легко швидко оцінити.

Ми також можемо скласти графік двох рівнянь, які ми написали, щоб отримати візуальну картину співвідношення між двома величинами:

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Графік з 10 точок, нанесений в координатній площині з початком координат з позначкою O. Горизонтальна вісь t позначається часом у годинами. Позначаються цифри від 0 до 10, з кроком 2, і між ними є вертикальні лінії сітки. Вертикальна вісь позначається відстань пройденого в милі. Позначаються цифри від 0 до 250, з кроком 25, і між ними розташовані горизонтальні лінії сітки. Дані такі: 1 кома 25. 2 кома 50. 3 кома 75. 4 кома 100. 5 кома 125. 6 кома 150. 7 кома 175. 8 кома 200. 9 кома 225. 10 кома 250.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Графік з 10 точок, нанесений на координатну площину, з початком позначенням O. Горизонтальна вісь d позначається відстанню пройденої в милі. Зазначені цифри від 0 до 250, з кроком 25, і між ними розташовані вертикальні лінії сітки. Вертикальна вісь t позначається час в годинами. Позначаються цифри від 0 до 10, з кроком 2, і між ними розташовані горизонтальні лінії сітки. Дані такі: 25 кома 1. 50 кома 2. 75 кома 3. 100 кома 4. 125 кома 5. 150 кома 6. 175 кома 7. 200 кома 8. 225 кома 9. 250 кома 10.

Записи глосарію

Визначення: Координатна площина

Координатна площина - це система, яка вказує, де знаходяться точки. Наприклад. Точка\(R\) розташована\((3,2)\) на координатній площині, тому що це три одиниці вправо і дві одиниці вгору.

Визначення: Залежна змінна

Залежна змінна є результатом обчислення.

Наприклад, човен їде з постійною швидкістю 25 миль на годину. Рівняння\(d=25t\) описує взаємозв'язок між відстанню човна і часом. Залежною змінною є пройдена відстань, тому що\(d\) є результатом множення 25 на\(t\).

Рисунок\(\PageIndex{4}\): Графік з 10 точок, нанесений в координатній площині з початком координат з позначкою O. Горизонтальна вісь t позначається часом у годинами. Позначаються цифри від 0 до 10, з кроком 2, і між ними є вертикальні лінії сітки. Вертикальна вісь позначається відстань пройденого в милі. Позначаються цифри від 0 до 250, з кроком 25, і між ними розташовані горизонтальні лінії сітки. Дані такі: 1 кома 25. 2 кома 50. 3 кома 75. 4 кома 100. 5 кома 125. 6 кома 150. 7 кома 175. 8 кома 200. 9 кома 225. 10 кома 250.

Визначення: Незалежна змінна

Незалежна змінна використовується для обчислення значення іншої змінної.

Наприклад, човен їде з постійною швидкістю 25 миль на годину. Рівняння\(d=25t\) описує взаємозв'язок між відстанню човна і часом. Незалежна змінна - це час, тому\(t\) що множиться на 25, щоб отримати\(d\).

Рисунок\(\PageIndex{5}\): Графік з 10 точок, нанесений в координатній площині з початком координат з позначкою O. Горизонтальна вісь t позначається часом у годинами. Позначаються цифри від 0 до 10, з кроком 2, і між ними є вертикальні лінії сітки. Вертикальна вісь позначається відстань пройденого в милі. Позначаються цифри від 0 до 250, з кроком 25, і між ними розташовані горизонтальні лінії сітки. Дані такі: 1 кома 25. 2 кома 50. 3 кома 75. 4 кома 100. 5 кома 125. 6 кома 150. 7 кома 175. 8 кома 200. 9 кома 225. 10 кома 250.

Практика

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Автомобіль їде по дорозі з постійною швидкістю 50 миль на годину.

Заповніть таблицю кількістю часу, який потрібен автомобілю для проїзду певних відстаней, або відстанями, пройденими за певну кількість часу.
Напишіть рівняння, яке представляє відстань, пройдену автомобілем\(d\), за певну кількість часу,\(t\).
У вашому рівнянні, яка є залежною змінною, а яка є незалежною змінною?

Таблиця\(\PageIndex{3}\)
час (годин)	відстань (милі)
\(2\)
\(1.5\)
\(t\)
	\(50\)
	\(300\)
	\(d\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Графік представляє кількість часу в годині, який потрібно кораблю для проходження різних відстаней у милі.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Графік з 10 точок, нанесений на координатну площину, з початком позначенням O. Горизонтальна вісь d позначається відстанню пройденої в милі. Зазначені цифри від 0 до 250, з кроком 25, і між ними розташовані вертикальні лінії сітки. Вертикальна вісь t позначається час в годинами. Позначаються цифри від 0 до 10, з кроком 2, і між ними розташовані горизонтальні лінії сітки. Дані такі: 25 кома 1. 50 кома 2. 75 кома 3. 100 кома 4. 125 кома 5. 150 кома 6. 175 кома 7. 200 кома 8. 225 кома 9. 250 кома 10.

Запишіть координати однієї з точок на графіку. Що являє собою сенс?
Яка швидкість корабля в милі на годину?
Напишіть рівняння\(t\), яке пов'язує час, потрібно пройти задану відстань,\(d\).

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Знайдіть рішення кожного рівняння в наступному списку (не всі числа будуть використані):

\(2^{x}=8\)
\(2^{x}=2\)
\(x^{2}=100\)
\(x^{2}=\frac{1}{100}\)
\(x^{1}=7\)
\(2^{x}\cdot 2^{3}=2^{7}\)
\(\frac{2^{x}}{2^{3}}=2^{5}\)

Список:

\(\frac{1}{10}\qquad\frac{1}{3}\qquad 1\qquad 2\qquad 3\qquad 4\qquad 5\qquad 7\qquad 8\qquad 10\qquad 16\)

(З блоку 6.3.4)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Виділіть усі вирази, еквівалентні\(5x+30x-15x\).

\(5(x+6x-3x)\)
\((5+30-15)\cdot x\)
\(x(5+30x-15x)\)
\(5x(1+6-3)\)
\(5(x+30x-15x)\)

(З блоку 6.2.6)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Оцінити кожен вираз,\(y\) якщо\(x\) дорівнює 1, дорівнює 2 і\(z\) дорівнює 3.

\(7x^{2}-z\)
\((x+4)^{3}-y\)
\(y(x+3^{3})\)
\((7-y+z)^{2}\)
\(0.241x+x^{3}\)

(З блоку 6.3.4)