Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

33.4: Еквівалентні експоненціальні вирази

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    929

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Давайте досліджуємо вирази зі змінними та показниками.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Up or Down?

    Знайти значення\(3^{x}\) і\(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) для різних значень\(x\). Які закономірності ви помічаєте?

    \(x\) \(3^{x}\) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\)
    \ (x\) ">\(1\) \ (3^ {x}\) "> \ (\ ліворуч (\ frac {1} {3}\ праворуч) ^ {x}\) ">
    \ (x\) ">\(2\) \ (3^ {x}\) "> \ (\ ліворуч (\ frac {1} {3}\ праворуч) ^ {x}\) ">
    \ (x\) ">\(3\) \ (3^ {x}\) "> \ (\ ліворуч (\ frac {1} {3}\ праворуч) ^ {x}\) ">
    \ (x\) ">\(4\) \ (3^ {x}\) "> \ (\ ліворуч (\ frac {1} {3}\ праворуч) ^ {x}\) ">
    Таблиця\(\PageIndex{1}\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\): What's the Value?

    Оцініть кожен вираз для заданого значення\(x\).

    1. \(3x^{2}\)коли\(x\) є\(10\)
    2. \(3x^{2}\)коли\(x\) є\(\frac{1}{9}\)
    3. \(\frac{x^{3}}{4}\)коли\(x\) є\(4\)
    4. \(\frac{x^{3}}{4}\)коли\(x\) є\(\frac{1}{2}\)
    5. \(9+x^{7}\)коли\(x\) є\(1\)
    6. \(9+x^{7}\)коли\(x\) є\(\frac{1}{2}\)

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Exponent Experimentation

    Знайдіть рішення для кожного рівняння у списку. (Числа у списку можуть бути розв'язком декількох рівнянь, і не всі числа у списку будуть використані.)

    1. \(64=x^{2}\)
    2. \(64=x^{3}\)
    3. \(2^{x}=32\)
    4. \(x=\left(\frac{2}{5}\right)^{3}\)
    5. \(\frac{16}{9}=x^{2}\)
    6. \(2\cdot 2^{5}=2^{x}\)
    7. \(2x=2^{4}\)
    8. \(4^{3}=8^{x}\)

    Список:

    \(\frac{8}{125}\quad \frac{6}{15}\quad\frac{5}{8}\quad\frac{8}{9}\quad 1\frac{4}{3}\quad 2\quad 3\quad 4\quad 5\quad 6\quad 8\)

    Ви готові до більшого?

    Цей фрактал називається тетраедр Серпінського. Тетраедр - це багатогранник, який має чотири грані. (Множина тетраедра - тетраедра.)

    Маленькі тетраедри утворюють чотири середніх тетраедри: блакитну, червону, жовту та зелену. Тетраедри середнього розміру утворюють один великий тетраедр.

    clipboard_ecb6522725366da55e392c9aaf65e7ea0.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Великий тетраедр утворений чотирма середніми тетраедрами різного кольору: синім, червоним, жовтим, зеленим. Кожен тетраедр середнього розміру утворений чотирма невеликими тетраедрами.
    1. Скільки дрібних граней має цей фрактал? Обов'язково включіть обличчя, яких ви не бачите. Спробуйте знайти спосіб зрозуміти це так, щоб вам не довелося рахувати кожне обличчя.
    2. Скільки дрібних тетраедр знаходиться в нижньому шарі, торкаючись столу?
    3. Щоб зробити ще більшу версію цього фракталу, ви можете взяти чотири фрактали, як на фото, і скласти їх разом. Поясніть, де ви б прикріпили фрактали, щоб зробити більший тетраедр.
    4. Скільки малих облич мав би цей більший фрактал? Скільки маленьких тетраедр було б у нижньому шарі?
    5. Які ще візерунки можна знайти?

    Резюме

    У цьому уроці ми побачили вирази, які використовували букву\(x\) як змінну. Ми оцінювали ці вирази для різних значень\(x\).

    • Щоб оцінити вираз,\(2x^{3}\) коли\(x\) є\(5\), замінюємо букву на\(x\) to\(5\) get\(2\cdot 5^{3}\). Це дорівнює\(2\cdot 125\) або просто\(250\). Таким чином, значення\(2x^{3}\) є\(250\) коли\(x\) є\(5\).
    • Щоб оцінити,\(\frac{x^{2}}{8}\) коли\(x\) є\(4\), ми замінюємо\(x\) букву\(4\) на to get\(\frac{4^{2}}{8}=\frac{16}{8}\), яка дорівнює\(2\). Так\(\frac{x^{2}}{8}\) має значення\(2\) коли\(x\) є\(4\).

    Ми також побачили рівняння зі змінною\(x\) і повинні були вирішити, яке значення\(x\) зробить рівняння істинним.

    • Припустимо, у нас є рівняння\(10\cdot 3^{x}=90\) і список можливих рішень:\(1, 2, 3, 9, 11\). Єдине значення\(x\), що робить рівняння істинним є\(2\) тому\(10\cdot 3^{2}=10\cdot 3\cdot 3\), що, що дорівнює\(90\). Так\(2\) само і рішення рівняння.

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Оцінити кожен вираз, якщо\(x=3\).

    1. \(2^{x}\)
    2. \(x^{2}\)
    3. \(1^{x}\)
    4. \(x^{1}\)
    5. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\)

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Оцінити кожен вираз для заданого значення кожної змінної.

    1. \(2+x^{3}\),\(x\) є\(3\)
    2. \(x^{2}\),\(x\) є\(\frac{1}{2}\)
    3. \(3x^{2}+y\),\(x\)\(5\)\(y\) є\(3\)
    4. \(10y+x^{2}\),\(x\)\(6\)\(y\) є\(4\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Вирішіть, чи мають вирази однакове значення. Якщо ні, визначте, який вираз має більше значення.

    1. \(2^{3}\)і\(3^{2}\)
    2. \(1^{31}\)і\(31^{1}\)
    3. \(4^{2}\)і\(2^{4}\)
    4. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\)і\(\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Зіставте кожне рівняння з його розв'язком.

    1. \(7+x^{2}=16\)
    2. \(5-x^{2}=1\)
    3. \(2\cdot 2^{3}=2^{x}\)
    4. \(\frac{3^{4}}{3^{x}}=27\)
    1. \(x=1\)
    2. \(x=2\)
    3. \(x=3\)
    4. \(x=4\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Дорослий пропуск в парку розваг коштує в 1,6 рази дорожче, ніж дитячий.

    1. Скільки доларів коштує дорослий пропуск, якщо дитячий пропуск коштує:
      \($5\)?
      \($10\)?
      \(w\)доларів?
    2. Дитячий пропуск коштує 15 доларів. Скільки доларів коштує дорослий пропуск?

    (З блоку 6.2.1)

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Джада читає 5 сторінок кожні 20 хвилин. При такому темпі, скільки сторінок вона може прочитати за 1 годину?

    • Використовуйте подвійний числовий рядок, щоб знайти відповідь.
    clipboard_e9b81ffaadabf4c10339dfea9ac6c4601.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Подвійний числовий рядок, 4 рівномірно розташовані галочки. Верхній рядок, сторінки прочитані. Починаючи з першої галочки, мітки: 0, 5, коробка, коробка. Підсумок, час хвилин. Починається спочатку галочка, позначена 0, 20, 40, 60.
    • Використовуйте таблицю, щоб знайти відповідь.
    сторінки прочитані час в хвилинах
    \(5\) \(20\)
    Таблиця\(\PageIndex{2}\)

    Яка стратегія, на вашу думку, краща і чому?

    (Від блоку 2.4.4)