Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

33.3: Оцінка виразів з показниками

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    934

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Знайдемо значення виразів з показниками.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Revisiting the Cube

    Виходячи з наданої інформації, які ще виміри квадрата і куба ми могли б знайти?

    Вправа\(\PageIndex{2}\): Calculating Surface Area

    Куб має довжину сторони 10 дюймів. Джада каже, що площа поверхні куба становить 600 в 2, а Ной каже, що площа поверхні куба становить 3600 в 2. Ось як аргументував кожен з них:

    Метод Джади:

    \(\begin{array}{l}{6\cdot 10^{2}}\\{6\cdot 100}\\{600}\end{array}\)

    Метод Ноя:

    \(\begin{array}{l}{6\cdot 10^{2}}\\{60^{2}}\\{3,600}\end{array}\)

    Чи згодні ви з будь-яким з них? Поясніть свої міркування.

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Row Game: Expression Explosion

    Оцінити вирази в одному зі стовпців. Ваш партнер буде працювати над іншою колонкою. Зверніться до свого партнера після того, як закінчите кожен ряд. Ваші відповіді в кожному ряду повинні бути однаковими. Якщо ваші відповіді не однакові, працюйте разом, щоб знайти помилку.

    колонка А колонка B
    \(5^{2}+4\) \(2^{2}+25\)
    \(2^{4}\cdot 5\) \(2^{3}\cdot 10\)
    \(3\cdot r^{2}\) \(12\cdot 2^{2}\)
    \(20+2^{3}\) \(1+3^{3}\)
    \(9\cdot 2^{1}\) \(3\cdot 6^{1}\)
    \(\frac{1}{9}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\) \(\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\)
    Таблиця\(\PageIndex{1}\)

    Ви готові до більшого?

    1. Розглянемо це рівняння:clipboard_e3aeff9b55b0d7d35c33b045029506d54.png. Прикладом 3 різних цілих чисел, які могли б піти в коробках, є 3, 4 і 5, так як\(3^{2}+4^{2}=5^{2}\). (Тобто,\(9+16=25\).)
      Чи можете ви знайти інший набір цілих чисел 3, які роблять рівняння істинним?
    2. Скільки наборів з 3 різних цілих чисел ви можете знайти?
    3. Чи можете ви знайти набір з 3 різних цілих чисел, які роблять це рівняння істинним? clipboard_efd81329735c241f727f05b5336c85803.png
    4. Як щодо цього? clipboard_eedeef842eb57fb8f2eeab7520ca1ce29.png

    Після того, як ви трохи попрацювали над цим, ви можете зрозуміти проблему, яка відома в історії математики. (На жаль, цей простір занадто малий, щоб його утримувати.) Якщо ви зацікавлені, подумайте про подальші дослідження останньої теореми Ферма.

    Резюме

    Експоненти дають нам новий спосіб опису операцій з числами, тому нам потрібно зрозуміти, як експоненти поєднуються з іншими відомими нами операціями.

    Коли ми пишемо\(6\cdot 4^{2}\), ми хочемо переконатися, що всі згодні про те, як це оцінити. В іншому випадку деякі люди можуть спочатку помножити, а інші спочатку обчислити показник, і різні люди отримають різні значення для одного і того ж виразу!

    Раніше ми бачили ситуації, в яких\(6\cdot 4^{2}\) представляли площу поверхні куба з довжиною сторін 4 одиниці. При обчисленні площі поверхні\(4^{2}\) спочатку оцінюємо (або знаходимо спочатку площу однієї грані куба), а потім множимо результат на 6. У багатьох інших виразах, які використовують експоненти, частина з експонентою призначена для обчислення першою.

    Щоб всі домовилися про значення таких виразів\(6\cdot 4^{2}\), як, угода полягає в тому, щоб спочатку оцінити частину виразу з показником. Ось кілька прикладів:

    \(\begin{array}{cccc}{6\cdot 4^{2}}&{\qquad}&{\qquad}&{45+5^{2}}\\{6\cdot 16}&{\qquad}&{\qquad}&{45+25}\\ {96}&{\qquad}&{\qquad}&{70}\end{array}\)

    Якщо ми хочемо повідомити, що 6 і 4 повинні бути помножені спочатку, а потім квадрат, то ми можемо використовувати дужки, щоб згрупувати частини разом:

    \(\begin{array}{cccc}{(6\cdot 4)^{2}}&{\qquad}&{\qquad}&{(45+5)^{2}}\\{24^{2}}&{\qquad}&{\qquad}&{50^{2}}\\{576}&{\qquad}&{\qquad}&{2,500}\end{array}\)

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Лін каже: «Я взяв число 8, а потім помножив його на квадрат 3». Виділіть усі вирази, які дорівнюють відповіді Ліна.

    1. \(8\cdot 3^{2}\)
    2. \((8\cdot 3)^{2}\)
    3. \(8\cdot 2^{3}\)
    4. \(3^{2}\cdot 8\)
    5. \(24^{2}\)
    6. \(72\)

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Оцініть кожен вираз.

    1. \(7+2^{3}\)
    2. \(9\cdot 3^{1}\)
    3. \(20-2^{4}\)
    4. \(2\cdot 6^{2}\)
    5. \(8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
    6. \(\frac{1}{3}\cdot 3^{3}\)
    7. \(\left(\frac{1}{5}\cdot 5\right)^{5}\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Андре каже: «Я помножив 4 на 5, потім кубик результату». Виділіть всі вирази, які дорівнюють відповіді Андре.

    1. \(4\cdot 5^{3}\)
    2. \((4\cdot 5)^{3}\)
    3. \((4\cdot 5)^{2}\)
    4. \(5^{3}\cdot 4\)
    5. \(20^{3}\)
    6. \(500\)
    7. \(8,000\)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Хан має 10 кубиків, кожен 5 дюймів на стороні.

    1. Знайдіть загальний обсяг кубів Хана. Висловіть свою відповідь як вираз за допомогою показника.
    2. Знайдіть загальну площу поверхні кубів Хана. Висловіть свою відповідь як вираз за допомогою показника.

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Про це говорить Прия\(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\). Чи згодні ви з Priya? Поясніть або покажіть свої міркування.

    (З блоку 6.3.2)

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Відповідайте на кожне питання. Покажіть свої міркування.

    1. \(125\)% від\(e\) є\(30\). Що таке\(e\)?
    2. \(35\)% від\(f\) є\(14\). Що таке\(f\)?

    (З блоку 6.2.2)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Які вирази є розв'язками рівняння\(2.4y=13.75\)? Виберіть все, що застосовується.

    1. \(13.75-1.4\)
    2. \(13.75\cdot 2.4\)
    3. \(13.75\div 2.4\)
    4. \(\frac{13.75}{2.4}\)
    5. \(2.4\div 13.75\)

    (Від блоку 6.1.5)

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Джада пояснює, як вона знаходить\(15\cdot 23\):

    «Я знаю, що десять 23s це 230, тому п'ять 23s буде половина з 230, що 115.
    15 це 10 плюс 5, так\(15\cdot 23\) це 230 плюс 115, що 345».

    1. Чи згодні ви з Jada? Поясніть.
    2. Намалюйте прямокутник 15 на 23. Розділіть прямокутник на два прямокутники та позначте їх, щоб показати міркування Джади.

    (З блоку 5.3.3)