32.3: Рівні та еквівалентні

Last updated
Save as PDF

Page ID: 913

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте скористаємося діаграмами, щоб з'ясувати, які вирази еквівалентні, а які просто іноді рівні.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Algebra Talk: Solving Equations by Seeing Structure

Знайдіть розв'язання кожного рівняння подумки.

\(3+x=8\)

\(10=12-x\)

\(x^{2}=49\)

\(\frac{1}{3}x=6\)

Вправа\(\PageIndex{2}\): Using Diagrams to Show That Expressions are Equivalent

Ось схема\(x+2\) і\(3x\) коли\(x\) є\(4\). Зверніть увагу, що дві діаграми вишикувалися на лівій стороні.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Дві стрічкові схеми на сітці. Верхня схема 2 частини, х, 2. Частина, позначена x, складається з чотирьох одиничних квадратів. Частина з маркуванням 2 складається з двох одиничних квадратів. Нижня схема 3 частини x, x, x, кожна частина складається з чотирьох одиниць квадратів.

На кожному з ваших малюнків нижче вибудовуйте схеми з одного боку.

Намалюйте схему\(x+2\), і окрему схему того\(3x\), коли\(x\) є\(3\).

Намалюйте схему\(x+2\), і окрему схему того\(3x\), коли\(x\) є\(2\).

Намалюйте схему\(x+2\), і окрему схему того\(3x\), коли\(x\) є\(1\).

Намалюйте схему\(x+2\), і окрему схему того\(3x\), коли\(x\) є\(0\).

Коли є\(x+2\) і\(3x\) рівні? Коли вони не рівні? Використовуйте свої діаграми, щоб пояснити.
Намалюйте схему\(x+3\), і окрему схему\(3+x\).
Коли є\(x+3\) і\(3+x\) рівні? Коли вони не рівні? Використовуйте свої діаграми, щоб пояснити.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Identifying Equivalent Expressions

Ось список виразів. Знайдіть будь-які пари виразів, які є еквівалентними. Якщо ви застрягли, спробуйте міркувати з діаграмами.

\(\begin{array}{lllllllll}{a+3}&{\qquad}&{a\div\frac{1}{3}}&{\qquad}&{\frac{1}{3}a}&{\qquad}&{\frac{a}{3}}&{\qquad}&{a}\\{a+a+a}&{\qquad}&{a\cdot 3}&{\qquad}&{3a}&{\qquad}&{1a}&{\qquad}&{3+a}\end{array}\)

Ви готові до більшого?

Нижче наведено чотири питання про еквівалентні вирази. Для кожного з них:

Вирішіть, чи вважаєте ви вирази рівнозначними.
Перевірте свою здогадку, вибравши цифри для\(x\) (і\(y\), якщо потрібно).

Є\(\frac{x\cdot x\cdot x\cdot x}{x}\) і\(x\cdot x\cdot x\) еквівалентні вирази?
Є\(\frac{x+x+x+x}{x}\) і\(x+x+x\) еквівалентні вирази?
Є\(2(x+y)\) і\(2x+2y\) еквівалентні вирази?
Є\(2xy\) і\(2x\cdot 2y\) еквівалентні вирази?

Резюме

Ми можемо використовувати діаграми, що показують довжини прямокутників, щоб побачити, коли вирази рівні. Наприклад, вирази\(x+9\) і\(4x\) рівні коли\(x\) є\(3\), але не рівні для інших значень\(x\).

Малюнок\(\PageIndex{6}\): 8 стрічкових діаграм на сітці з відповідними виразами. Перша діаграма складається з 1 квадратної одиниці, позначеної x та 9 квадратних одиниць, об'єднаних, які є порожніми, збігаються з x+9, коли x = 1. Друга діаграма складається з 4 квадратних одиниць, кожна з яких позначена x, збігається з 4x, коли x = 1. Третя діаграма складається з 2 комбінованих квадратних одиниць, позначені x і 9 комбінованих квадратних одиниць порожніми, збігаються з x+9, коли x = 2. Четверта діаграма, що складається з 2 комбінованих квадратних одиниць, позначених x, створених 4 загальних разів, узгоджених з 4x, коли x = 2. П'ята діаграма складається з 3 комбінованих квадратних одиниць з позначкою x та 9 комбінованих квадратних одиниць порожніх, збігаються з x+9, коли x = 3. Шоста діаграма складається з 3 комбінованих квадратних одиниць з позначкою x, створених загальним часом 4, збігаються з 4x, коли x = 3. Сьома діаграма складається з 4 комбінованих квадратних одиниць з позначкою x та 9 комбінованих квадратних одиниць порожніх, узгоджених з x+9, коли x = 4. Восьма діаграма складається з 4 комбінованих квадратних одиниць, позначених x, створених 4 загальних разів, узгоджених з 4x, коли x = 4.

Іноді два вирази дорівнюють лише одному конкретному значенню їх змінної. В інших випадках вони здаються рівними незалежно від того, яке значення змінної.

Вирази, які завжди рівні для одного і того ж значення їх змінної, називаються еквівалентними виразами. Однак було б неможливо перевірити всі можливі значення змінної. Як ми можемо точно знати, що вирази еквівалентні? Ми використовуємо значення операцій та властивості операцій, щоб знати, що вирази еквівалентні. Ось кілька прикладів:

\(x+3\)еквівалентний\(3+x\) через комутативного властивості додавання.
\(4\cdot y\)еквівалентний\(y\cdot 4\) через комутативного властивості множення.
\(a+a+a+a+a\)еквівалентно\(5\cdot a\) тому, що додавання 5 копій чогось таке ж, як множення його на 5.
\(b\div 3\)еквівалентно\(b\cdot\frac{1}{3}\) тому, що ділення на число таке ж, як множення на його взаємне.

На наступних уроках ми побачимо, як інша властивість, розподільна властивість, може показати, що вирази еквівалентні.

Записи глосарію

Визначення: Еквівалентні вирази

Еквівалентні вирази завжди рівні один одному. Якщо вирази мають змінні, вони рівні кожного разу, коли для змінної використовується одне і те саме значення у кожному виразі.

Наприклад,\(3x+4x\) еквівалентний\(5x+2x\). Незалежно від того\(x\), для якого значення ми використовуємо, ці вирази завжди рівні. Коли\(x\) дорівнює 3, обидва вирази дорівнюють 21. Коли\(x\) дорівнює 10, обидва вирази дорівнюють 70.

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Намалюйте схему\(x+3\) і схему того,\(2x\) коли\(x\) є\(1\).

Намалюйте схему\(x+3\) і\(2x\) коли\(x\) є\(2\).

Намалюйте схему\(x+3\) і\(2x\) коли\(x\) є\(3\).

Намалюйте схему\(x+3\) і\(2x\) коли\(x\) є\(4\).

Коли є\(x+3\) і\(2x\) рівні? Коли вони не рівні? Використовуйте свої діаграми, щоб пояснити.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

\(4x\)Роблять і\(15+x\) мають однакове значення, коли\(x\) є\(5\)?
Є\(4x\) і\(15+x\) еквівалентні вирази? Поясніть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

\(2b+b\)Переконайтеся, що і\(3b\) мають однакове значення, коли\(b\) це 1, 2 і 3.
Чи\(2b+b\)\(3b\) мають однакове значення для всіх значень\(b\)? Поясніть свої міркування.
Є\(2b+b\) і\(3b\) еквівалентні вирази?

Вправа\(\PageIndex{7}\)

80% від\(x\) дорівнює 100.

Напишіть рівняння, яке показує співвідношення 80%\(x\), і 100.
Використовуйте своє рівняння, щоб знайти\(x\).

(З блоку 6.2.2)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Для кожної сюжетної задачі напишіть рівняння для представлення задачі, а потім розв'яжіть рівняння. Обов'язково поясніть значення будь-яких змінних, які ви використовуєте.

Собака Джади була висотою в\(5\frac{1}{2}\) дюйми, коли це був щеня. Зараз її собака на\(14\frac{1}{2}\) дюйми вище, ніж це. Наскільки висока зараз собака Джади?
Лін зібрав\(9\frac{3}{4}\) кілограми яблук, що було в 3 рази більше ваги яблук, які зібрав Андре. Скільки кілограмів яблук зібрав Андре?

(Від блоку 6.1.5)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Знайдіть ці продукти.

\((2.3)\cdot (1.4)\)
\((1.72)\cdot (2.6)\)
\((18.2)\cdot (0.2)\)
\(15\cdot (1.2)\)

(Від блоку 5.3.4)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Розрахуйте,\(141.75\div 2.5\) використовуючи метод за вашим вибором. Покажіть або поясніть свої міркування.

(Від блоку 5.4.5)