Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

23.1: Розподіл на одиничні та неодиничні дроби

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    894

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Давайте шукати закономірності, коли ми ділимо на дріб.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Dividing by a Whole Number

    Робота з партнером. Одна людина вирішує проблеми з позначкою «Партнер А», а інша людина вирішує ті, що позначені «Партнер Б». Напишіть рівняння для кожного питання. Якщо ви застрягли, подумайте про складання схеми.

    1. Партнер А:

    Скільки 3s в 12?
    Рівняння поділу:

    clipboard_e8eb7052730f71ee2f4635d5b0605708a.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Скільки 4s в 12?
    Рівняння поділу:

    clipboard_ea48aeaa9d275e1a70686d1b5ccf861ae.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Скільки 6s в 12?
    Рівняння поділу:

    clipboard_e5c687734ac71ffdab66b2029fa33ce4f.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Партнер B:

    Що таке 12 груп\(\frac{1}{3}\)?
    Рівняння множення:

    clipboard_e470177ef0a5b8665f5d220cf06eb99d0.png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Що таке 12 груп\(\frac{1}{4}\)?
    Рівняння множення:

    clipboard_e616c3d1402db1ebbc09083de7a88dcef.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Що таке 12 груп\(\frac{1}{6}\)?
    Рівняння множення:

    clipboard_ee29b1fe75333625448c28b2f73e23bdf.png
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)
    1. Що ви помічаєте про діаграмах і рівняннях? Обговоріть зі своїм партнером.
    2. Доповніть це речення на основі того, що ви помітили:
      ділення на ціле число\(a\) дає той самий результат, що і множення на ________.

    Вправа\(\PageIndex{2}\): Dividing by Unit Fractions

    Щоб знайти значення\(6\div\frac{1}{2}\), Олена подумала: «Скільки\(\frac{1}{2}\) s в 6?» а потім намалювала цю стрічкову схему. На ній зображено 6 одиниць, причому кожен розділений на 2 рівні частини.

    \(6\div\frac{1}{2}\)

    clipboard_eedf67394fd9d1249e93de191e8963986.png
    Малюнок\(\PageIndex{7}\): Лінійна схема дробів. 12 рівних частин. 1 частина заштрихована і позначена однією половинкою і 1 особа. Всього маркуються 6 і невідомі групи кількості.
    1. Для кожного виразу поділу заповніть діаграму тим же методом, що і Олена. Потім знайдіть значення виразу.
    1. \(6\div\frac{1}{3}\)
    clipboard_ed9bad6ae0d34036ff38b653d60e1c0d8.png
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Значення виразу: ____________

    1. \(6\div\frac{1}{4}\)
    clipboard_ed9bad6ae0d34036ff38b653d60e1c0d8.png
    Малюнок\(\PageIndex{9}\)

    Значення виразу: ____________

    1. \(6\div\frac{1}{6}\)
    clipboard_ed9bad6ae0d34036ff38b653d60e1c0d8.png
    Малюнок\(\PageIndex{10}\)

    Значення виразу: ____________

    1. Вивчіть вирази і відповіді уважніше. Шукайте викрійку. Як ви могли знайти, скільки половинок, третин, четвертих чи шостих було в 6, не рахуючи їх усіх? Поясніть свої міркування.
    2. Скористайтеся шаблоном, який ви помітили, щоб знайти значення цих виразів. Якщо ви застрягли, подумайте про складання схеми.
      1. \(6\div\frac{1}{8}\)
      2. \(6\div\frac{1}{10}\)
      3. \(6\div\frac{1}{25}\)
      4. \(6\div\frac{1}{b}\)
    3. Знайдіть значення кожного виразу.
      1. \(8\div\frac{1}{4}\)
      2. \(12\div\frac{1}{5}\)
      3. \(a\div\frac{1}{2}\)
      4. \(a\div\frac{1}{b}\)

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Dividing by Non-unit Fractions

    1. Щоб знайти значення\(6\div\frac{2}{3}\), Олена почала з малювання схеми так само, як і для\(6\div\frac{1}{3}\).
    clipboard_eed3177b017018ab5f5763abfcc328804.png
    Малюнок\(\PageIndex{11}\): Лінійна діаграма дробів. 18 рівних частин. Кожна третя частина має суцільну лінію. Всі інші лінії штрихові. Перша частина маркується фракцією 1 над 3. Всього позначено 6.
    1. Заповніть діаграму, щоб показати, скільки\(\frac{2}{3}\) s в 6.
    2. Олена каже: «Щоб знайти\(6\div\frac{2}{3}\), я можу просто взяти значення\(6\div\frac{1}{3}\) і потім або помножити його на,\(\frac{1}{2}\) або розділити на 2». Чи згодні ви з нею? Поясніть свої міркування.
    1. Для кожного виразу поділу заповніть діаграму тим же методом, що і Олена. Потім знайдіть значення виразу. Подумайте, як ви могли б знайти це значення, не рахуючи всіх частин на вашій схемі.
    1. \(6\div\frac{3}{4}\)
    clipboard_efac686ad380ceaeea8d09b1d2b385743.png
    Малюнок\(\PageIndex{12}\): Лінійна діаграма дробів. 24 рівні частини. Кожна четверта частина має суцільну лінію. Всі інші лінії штрихові. Перша частина маркується фракцією 1 над 4. Всього позначено 6.

    Значення виразу: ___________

    1. \(6\div\frac{4}{3}\)
    clipboard_eaa6c7e0f43be07e3c493d3a313b5f742.png
    Малюнок\(\PageIndex{13}\): Лінійна діаграма дробів. 18 рівних частин. Кожна третя частина має суцільну лінію. Всі інші лінії штрихові. Перша частина маркується фракцією 1 над 3. Всього позначено 6.

    Значення виразу: ___________

    1. \(6\div\frac{4}{6}\)
    clipboard_e7db9e3917f959a2e963da5d96f76a74a.png
    Малюнок\(\PageIndex{14}\): Лінійна діаграма дробів. 36 рівних частин. Кожна шоста частина має суцільну лінію. Всі інші лінії штрихові. Перша частина маркується фракцією 1 над 6. Всього позначено 6.

    Значення виразу: ___________

    1. Олена оглянула свої схеми і помітила, що завжди робила ті ж два кроки, щоб показати поділ на дріб на діаграмі стрічки. Вона сказала:

    «Моїм першим кроком було розділити кожне ціле 1 на стільки частин, скільки число в знаменнику. Так що, якщо вираз\(6\div\frac{3}{4}\), я б розбити кожен 1 ціле на 4 частини. Тепер у мене в 4 рази більше деталей.

    Моїм другим кроком було покласти певну кількість цих частин в одну групу, і це число є чисельником дільника. Так що, якщо дріб\(\frac{3}{4}\), я б покласти 3 з\(\frac{1}{4}\) з в одну групу. Тоді я міг би сказати, скільки\(\frac{3}{4}\) s в 6».

    Який вираз представляє, скільки\(\frac{3}{4}\) з Олена мала б після цих двох кроків? Будьте готові пояснити свої міркування.

    • \(6\div 4\cdot 3\)
    • \(6\div 4\div 3\)
    • \(6\cdot 4\div 3\)
    • \(6\cdot 4\cdot 3\)
    1. Скористайтеся шаблоном, поміченим Оленою, щоб знайти значення цих виразів. Якщо ви застрягли, подумайте про складання схеми.
    1. \(6\div\frac{2}{7}\)
    2. \(6\div\frac{3}{10}\)
    3. \(6\div\frac{6}{25}\)

    Ви готові до більшого?

    Знайдіть відсутнє значення.

    clipboard_eaa052a0a60d39b588395225453b6a932.png
    Малюнок\(\PageIndex{15}\)

    Резюме

    Щоб відповісти на питання «Скільки\(\frac{1}{3}\) s в 4?» або «Що таке\(4\div\frac{1}{3}\)?» , ми можемо міркувати, що є 3 третини в 1, тому є\((4\cdot 3)\) третини в 4.

    Іншими словами, ділення 4 на\(\frac{1}{3}\) має такий же результат, як множення 4 на 3.

    clipboard_eb48cc731773eeb7ac49994b382783972.png
    Малюнок\(\PageIndex{16}\): Лінійна діаграма дробів. 12 рівних частин. Кожна частина маркується фракцією 1 над 3. Одна частина маркується 1 групою. Всього маркуються 4 і невідомі групи кількості.

    \(4\div\frac{1}{3}=4\cdot 3\)

    Загалом, ділення числа на одиничний дріб\(\frac{1}{b}\) - це те саме, що і множення числа на\(b\), яке є зворотним\(\frac{1}{b}\).

    Як ми можемо міркувати про\(4\div\frac{2}{3}\)?

    Ми вже знаємо, що існує\((4\cdot 3)\) або 12 груп\(\frac{1}{3}\) s в 4. Щоб знайти, скільки\(\frac{2}{3}\) s знаходяться в 4, нам потрібно зібрати кожен 2 з\(\frac{1}{3}\) s в групу. Це призводить до того, що в два рази менше груп, що становить 6 груп. Іншими словами:

    clipboard_e86c943e6574891a125f9d8758f318b5b.png
    Малюнок\(\PageIndex{17}\): Лінійна діаграма дробів. 12 рівних частин. Кожна частина маркується фракцією 1 над 3. Дві частини маркуються 1 групою. Всього маркуються 4 і невідомі групи кількості.

    \(4\div\frac{2}{3}=(4\cdot 3)\div 2\)

    або

    \(4\div\frac{2}{3}=(4\cdot 3)\cdot\frac{1}{2}\)

    Загалом, ділення числа на\(\frac{a}{b}\), це те саме, що і множення числа на,\(b\) а потім ділення на\(a\), або множення числа на,\(b\) а потім на\(\frac{1}{a}\).

    Записи глосарію

    Визначення: Взаємний

    Ділення 1 на число дає зворотне це число. Наприклад,\(12\) взаємне є\(\frac{1}{12}\), а\(\frac{2}{5}\) взаємне є\(\frac{5}{2}\).

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Прия ділиться 24 яблука порівну з деякими друзями. Вона використовує поділ, щоб визначити, скільки людей може мати частку, якщо кожна людина отримує певну кількість яблук. Наприклад,\(24\div 4=6\) означає, що якщо кожна людина отримує по 4 яблука, то яблука можуть їсти 6 чоловік. Ось деякі інші розрахунки:

    \(24\div 4=6\qquad 24\div 2=12\qquad 24\div 1=24\qquad 24\div\frac{1}{2}=?\)

    1. Прия думає «?» являє собою число менше 24. Ви згодні? Поясніть або покажіть свої міркування.
    2. У випадку з тим\(24\div\frac{1}{2}=?\), скільки людей може їсти яблука?

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Ось сантиметрова лінійка.

    1. Використовуйте лінійку, щоб знайти\(1\div\frac{1}{10}\) і\(4\div\frac{1}{10}\).
    2. Який розрахунок ви робили кожного разу?
    3. Використовуйте цей шаблон, щоб знайти\(18\div\frac{1}{10}\).
    4. Поясніть, як можна було знайти\(4\div\frac{2}{10}\) і\(4\div\frac{8}{10}\).
    clipboard_e1bc45971a3c2e6ba8f503e02424db3ee.png
    Малюнок\(\PageIndex{18}\): Частина лінійки з верхньою позначкою дюймів, а нижня частина лінійки позначена сантиметрами. У верхній частині лінійки вказані цифри 1 і 2. Між початком лінійки і 1 і між 1 і між 1 і 2 є 15 рівномірно розташованих галочок. У нижній частині лінійки вказані цифри від 1 до 5. Є 9 рівномірно розташованих галочок між початком лінійки і 1, 1 і 2, 2 і 3, 3 і 4, а також 4 і 5.

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Знайдіть кожен коефіцієнт.

    1. \(5\div\frac{1}{10}\)
    2. \(5\div\frac{3}{10}\)
    3. \(5\div\frac{9}{10}\)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Використовуйте те, що\(2\frac{1}{2}\div\frac{1}{8}=20\) для пошуку\(2\frac{1}{2}\div\frac{5}{8}\). Поясніть або покажіть свої міркування.

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Розглянемо проблему: потрібен тиждень, щоб бригада робітників проклала\(\frac{3}{5}\) кілометр дороги. При такому темпі, скільки часу знадобиться, щоб прокласти 1 кілометр?

    Напишіть рівняння множення та рівняння ділення, щоб представити питання. Потім знайдіть відповідь і покажіть свої міркування.

    (Від блоку 4.2.6)

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Коробка містить\(1\frac{3}{4}\) кілограми млинцевої суміші. Джада використовувала\(\frac{7}{8}\) фунт для рецепта. Яку частку млинцевої суміші в коробці вона використовувала? Поясніть або покажіть свої міркування. Намалюйте схему, якщо потрібно.

    (Від блоку 4.2.4)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Розрахуйте кожен відсоток подумки.

    1. \(25\)% від\(400\)
    2. \(50\)% від\(90\)
    3. \(75\)% від\(200\)
    4. \(10\)% від\(8,000\)
    5. \(5\)% від\(20\)

    (Від блоку 3.4.4)