5.4: Розмежування площі поверхні та об'єму

Last updated
Save as PDF

Page ID: 1019

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте контраст площі поверхні і об'єму.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Attributes and Their Measures

Для кожної кількості виберіть одну або кілька відповідних одиниць виміру.

Для останніх двох подумайте про величину, яку можна було б відповідним чином виміряти за допомогою заданих одиниць.

Кількості

Периметр паркінгу:
Обсяг напіввагона:
Площа поверхні холодильника:
Довжина вій:
Площа держави:
Обсяг океану:
________________________: милі
________________________: кубічні метри

Одиниці

міліметри (мм)
фути (фути)
метрів (м)
квадратні дюйми (sq in)
квадратні фути (sq ft)
квадратні милі (квадратні милі)
кубічні кілометри (cu km)
кубічні ярди (cu yd)

Вправа\(\PageIndex{2}\): Building with 8 Cubes

Цей аплет має 16 кубів у своєму прихованому стеку. Побудувати дві різні форми, використовуючи 8 кубів для кожного.

Для кожної фігури визначте наступну інформацію і запишіть її на липку записку.

Дайте ім'я або мітку (наприклад, Першу фігуру Мей або Кроки Еріка).
Визначте його обсяг.
Визначте його площу поверхні.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Comparing Prisms Without Building Them

Три прямокутні призми кожна мають висоту 1 см.

Призма А має підставу, яка становить 1 см на 11 см.
Призма В має підставу, яка становить 2 см на 7 см.
Призма С має підставу, яка становить 3 см на 5 см.

Знайдіть площу поверхні та об'єм кожної призми. За допомогою точкового паперу намалюйте призми, якщо це необхідно.

Проаналізуйте обсяги і площі поверхні призм. Що ви помічаєте? Напишіть про них 1 або 2 спостереження.

Ви готові до більшого?

Чи можете ви знайти більше прикладів призм, які мають однакові площі поверхні, але різні обсяги? Скільки можна знайти?

Резюме

Довжина - це одновимірний атрибут геометричної фігури. Ми вимірюємо довжини, використовуючи такі одиниці, як міліметри, сантиметри, метри, кілометри, дюйми, фути, ярди та милі.

Площа - двовимірний атрибут. Вимірюємо площу в квадратних одиницях. Наприклад, квадрат, який становить 1 сантиметр з кожного боку, має площу 1 квадратний сантиметр.

Обсяг - тривимірний атрибут. Вимірюємо обсяг в кубічних одиницях. Наприклад, куб, який становить 1 кілометр з кожного боку, має обсяг 1 кубічний кілометр.

Площа поверхні і обсяг є різними атрибутами тривимірних фігур. Площа поверхні - двовимірна міра, тоді як обсяг - тривимірна міра.

Дві фігури можуть мати однаковий обсяг, але різну площу поверхні. Наприклад:

Прямокутна призма з довжиною сторін 1 см, 2 см і 2 см має обсяг 4 куб.см і площу поверхні 16 кв см.
Прямокутна призма з довжиною сторін 1 см, 1 см і 4 см має такий же обсяг, але площа поверхні 18 кв см.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Зліва прямокутна призма з довжиною сторін 1 сантиметр, 2 сантиметри і 2 сантиметри має обсяг 4 кубічних сантиметри і площу поверхні 16 квадратних сантиметрів. Праворуч прямокутна призма з довжиною сторін 1 сантиметр, 1 сантиметр і 4 сантиметри має такий же обсяг, але площа поверхні 18 квадратних сантиметрів.

Так само дві фігури можуть мати однакову площу поверхні, але різні обсяги.

Прямокутна призма з довжиною сторін 1 см, 1 см і 5 см має площу поверхні 22 кв см і обсяг 5 куб. см.
Прямокутна призма з довжиною сторін 1 см, 2 см і 3 см має таку ж площу поверхні, але об'ємом 6 куб. см.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Зліва прямокутна призма з довжиною сторін 1 сантиметр, 1 сантиметр і 5 сантиметрів має площу поверхні 22 квадратних сантиметри і об'єм 5 кубічних сантиметрів. Праворуч прямокутна призма з довжиною сторін 1 сантиметр, 2 сантиметри та 3 сантиметри має таку ж площу поверхні, але об'ємом 6 кубічних сантиметрів.

Записи глосарію

Визначення: Основа (призми або піраміди)

Слово base може також ставитися до обличчя багатогранника.

Призма має два однакових підстави, які паралельні. Піраміда має одну основу.

Призма або піраміда названа за формою її підстави.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Ліворуч фігура позначена п'ятикутною призмою. Зверху і знизу є два однакових п'ятикутника. Кожна вершина п'ятикутника з'єднана вертикальним відрізком з відповідною вершиною інших п'ятикутників. П'ятикутники затінені, причому база слів вказує на кожен. На малюнку праворуч позначена шестикутна піраміда. На дні є шестикутник, затінений зеленим кольором. З точки над шестикутником відходять 6 відрізків, кожен з'єднаний з вершиною шестикутника.

Визначення: Обличчя

Кожна плоска сторона багатогранника називається гранню. Наприклад, куб має 6 граней, і всі вони є квадратами.

Визначення: Net

Сітка - це двомірна фігура, яку можна скласти, щоб вийшов багатогранник.

Ось сітка для куба.

Визначення: Багатогранник

Багатогранник являє собою замкнуту, об'ємну форму з плоскими сторонами. Коли у нас є більше одного багатогранника, ми називаємо їх багатогранниками.

Ось кілька креслень багатогранників.

Визначення: Призма

Призма - це тип багатогранника, який має дві основи, які є однаковими копіями один одного. Підстави з'єднуються прямокутниками або паралелограмами.

Ось деякі малюнки призм.

Визначення: Піраміда

Піраміда - це тип багатогранника, який має одну основу. Всі інші грані є трикутниками, і всі вони зустрічаються в одній вершині.

Ось деякі малюнки пірамід.

Визначення: Площа поверхні

Площа поверхні багатогранника - це кількість квадратних одиниць, що охоплює всі грані багатогранника, без будь-яких зазорів або перекриттів.

Наприклад, якщо грані куба кожна мають площу 9 см ², то площа поверхні куба дорівнює\(6\cdot 9\), або 54 см ².

Визначення: Обсяг

Обсяг - це кількість кубічних одиниць, які заповнюють тривимірну область, без будь-яких зазорів або перекриттів.

Наприклад, обсяг цієї прямокутної призми становить 60 одиниць ³, тому що вона складається з 3 шарів, які кожен 20 одиниць ³.

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Зіставте кожну кількість з відповідною одиницею виміру.

Площа поверхні тканинного ящика
Кількість ґрунту в ящику для сівалки
Площа паркінгу
Довжина футбольного поля
Обсяг акваріума

Квадратні метри
Двори
Кубічні дюйми
Кубічні фути
Квадратні сантиметри

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Ось фігура, побудована з оснащення кубиків.

Знайти обсяг фігури в кубічних одиницях.
Знайти площу поверхні фігури в квадратних одиницях.
True або false: Якщо подвоїти кількість кубиків, що складаються, об'єм і площа поверхні подвоїться. Поясніть або покажіть, як ви знаєте.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Лін сказав: «Дві фігури з однаковим об'ємом також мають однакову площу поверхні».

Які дві цифри говорять про те, що її твердження вірне?
Які дві цифри могли б показати, що її твердження не відповідає дійсності?

Малюнок\(\PageIndex{15}\): 5 фігур, що складаються з одиничних кубиків, маркованих A, B, C, D, E. A - форма Т, 3 кубики поперек, 3 кубики вниз. Б, 2 кубика укладаються зверху по 3 кубика, 1 додатковий куб попереду. C, 1 куб укладається зверху на 2 кубика, укладаються зверху 3 кубика. Д. 2 на 4 куба укладаємо рівно з 1 додатковим кубом, укладеним зверху. Е. 6 кубиків укладаються один на одного, 1 на 1 на 6.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Намалюйте п'ятикутник (п'ятигранний багатокутник), який має площу 32 квадратних одиниць. Позначте всі відповідні сторони або сегменти своїми вимірами та покажіть, що площа становить 32 квадратних одиниці.

(Від блоку 1.4.1)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Намалюйте сітку для цієї прямокутної призми.

Знайдіть площу поверхні прямокутної призми.

(Від одиниці 1.5.4)