5.3: Більше сіток, більше площі поверхні

Last updated
Save as PDF

Page ID: 1022

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте намалюємо сітки і знайдемо площу поверхні багатогранників.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Notice and Wonder: Wrapping Paper

Кіран обертає цю коробку спортивних карток в подарунок для друга.

Що ви помічаєте? Що вам цікаво?

Вправа\(\PageIndex{2}\): Building Prisms and Pyramids

Ваш учитель дасть вам малюнок багатогранника. Ви намалюєте його сітку і обчислите її площу поверхні.

Який багатогранник у вас є?
Вивчіть свій багатогранник. Потім намалюйте його сітку на графічному папері. Використовуйте довжину сторони квадрата сітки як одиницю.
Позначте кожен багатокутник у мережі іменем або номером.
Знайдіть площу поверхні вашого багатогранника. Покажіть своє мислення організовано, щоб за ним могли слідувати інші.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Comparing Boxes

Ось сітки з трьох картонних коробок, які представляють собою всі прямокутні призми. Коробки будуть упаковані 1-сантиметровими кубиками. Всі довжини вказані в сантиметрах.

Порівняйте площі поверхні ящиків. У якій коробці буде використовуватися найменше картону? Покажіть свої міркування.
Тепер порівняйте обсяги цих ящиків в кубічних сантиметрах. Яка коробка вмістить найбільше 1-сантиметрових кубиків? Покажіть свої міркування.

Ви готові до більшого?

На малюнку C показана сітка куба. Намалюйте іншу сітку куба. Намалюйте ще одну. А потім ще один. Скільки різних сіток можна намалювати і зібрати в куб?

Резюме

Площа поверхні багатогранника - це сума площ всіх граней. Оскільки сітка показує нам усі грані багатогранника одночасно, це може допомогти нам знайти площу поверхні. Ми можемо знайти області всіх полігонів у мережі та додати їх.

Квадратна піраміда має квадрат і чотири трикутника для своїх граней. Площа його поверхні являє собою суму площ квадратного підстави і чотирьох трикутних граней:

\((6\cdot 6)+4\cdot (\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6)=96\)

Площа поверхні цієї квадратної піраміди становить 96 квадратних одиниць.

Записи глосарію

Визначення: Основа (призми або піраміди)

Слово base може також ставитися до обличчя багатогранника.

Призма має два однакових підстави, які паралельні. Піраміда має одну основу.

Призма або піраміда названа за формою її підстави.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Ліворуч фігура позначена п'ятикутною призмою. Зверху і знизу є два однакових п'ятикутника. Кожна вершина п'ятикутника з'єднана вертикальним відрізком з відповідною вершиною інших п'ятикутників. П'ятикутники затінені, причому база слів вказує на кожен. На малюнку праворуч позначена шестикутна піраміда. На дні є шестикутник, затінений зеленим кольором. З точки над шестикутником відходять 6 відрізків, кожен з'єднаний з вершиною шестикутника.

Визначення: Обличчя

Кожна плоска сторона багатогранника називається гранню. Наприклад, куб має 6 граней, і всі вони є квадратами.

Визначення: Net

Сітка - це двомірна фігура, яку можна скласти, щоб вийшов багатогранник.

Ось сітка для куба.

Визначення: Багатогранник

Багатогранник являє собою замкнуту, об'ємну форму з плоскими сторонами. Коли у нас є більше одного багатогранника, ми називаємо їх багатогранниками.

Ось кілька креслень багатогранників.

Визначення: Призма

Призма - це тип багатогранника, який має дві основи, які є однаковими копіями один одного. Підстави з'єднуються прямокутниками або паралелограмами.

Ось деякі малюнки призм.

Визначення: Піраміда

Піраміда - це тип багатогранника, який має одну основу. Всі інші грані є трикутниками, і всі вони зустрічаються в одній вершині.

Ось деякі малюнки пірамід.

Визначення: Площа поверхні

Площа поверхні багатогранника - це кількість квадратних одиниць, що охоплює всі грані багатогранника, без будь-яких зазорів або перекриттів.

Наприклад, якщо грані куба кожна мають площу 9 см ², то площа поверхні куба дорівнює\(6\cdot 9\), або 54 см ².

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Джада намалював сітку для багатогранника і розрахував його площу поверхні.

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Трикутна призма, Обличчя: 5 на 4 прямокутника, площа 20 квадратних сантиметрів. 4 на 4 квадратних, площа 16 квадратних сантиметрів, 2 трикутника, основи 5, висота 3, площі 12 квадратних сантиметрів кожен і 3 на 4 прямокутника, площа = 12 квадратних сантиметрів.

Який багатогранник можна зібрати з цієї сітки?
Джада допустила деякі помилки в розрахунку площі. Які були помилки?
Знайдіть площу поверхні багатогранника. Покажіть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Зернова коробка становить 8 дюймів на 2 дюйми на 12 дюймів. Яка його площа поверхні? Покажіть свої міркування. Якщо ви застрягли, подумайте про нанесення ескізу коробки або її сітки і маркування країв своїми вимірами.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Дванадцять кубиків укладають, щоб вийшла ця фігура.

Яка його площа поверхні?
Як зміниться площа поверхні, якщо видалити два верхніх куба?

(Від одиниці 1.5.1)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Ось два багатогранника і їх сітки. Позначте всі краї в сітці правильною довжиною.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Яку об'ємну фігуру можна зібрати з сітки?

Яка площа поверхні фігури? (Один квадрат сітки становить 1 квадратна одиниця.)

(Від одиниці 1.5.3)