5.1: Багатогранники

Last updated
Save as PDF

Page ID: 1021

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте досліджуємо багатогранники.

Вправа\(\PageIndex{1}\): What are Polyhedra?

Ось картинки, які представляють багатогранники:

Ось картинки, які не представляють багатогранників:

Ваш вчитель дасть вам деякі фігури або предмети. Розсортуйте їх на багатогранники і небагатогранники.
Які особливості допомогли відрізнити багатогранники від інших фігур?

Вправа\(\PageIndex{2}\): Prisms and Pyramids

Ось кілька багатогранників, які називаються призмами.

Ось кілька багатогранників, які називаються пірамідами.

Подивіться на призми. Які їх характеристики або особливості?
Подивіться на піраміди. Які їх характеристики або особливості?

Яку з цих сіток можна скласти в Pyramid P? Виберіть все, що застосовується.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Три цифри, позначені сіткою 1, нетто 2 та нетто 3. Net 1 має чотири маленькі трикутники розташовані горизонтально для створення паралелограма, чистий два має чотири маленькі трикутники, розташовані, щоб зробити більший трикутник, а сітка 3 має два чотири маленьких трикутника, які всі зустрічаються у своїх вершині.

Ваш вчитель дасть вашій групі набір багатокутників і призначить багатогранник.
1. Визначте, які багатокутники потрібні для складання призначеного багатогранника. Перерахуйте полігони і скільки з них потрібно.
2. Розташуйте вирізи в сітку, яку, якщо наклеїти і скласти, можна зібрати в багатогранник. Намалюйте сітку. Якщо можливо, знайдіть більше одного способу розташування багатокутників (покажіть іншу мережу для того ж багатогранника).

Ви готові до більшого?

Яку найменшу кількість граней може мати багатогранник? Поясніть, як ви знаєте.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Assembling Polyhedra

Ваш учитель дасть вам сітку багатогранника. Виріжте сітку, і складіть її по краях, щоб зібрати багатогранник. Стрічкою або приклейте стулки так, щоб не було нестиканих країв.
Скільки вершин, ребер та граней у вашому багатограннику?

Резюме

Багатогранник - це об'ємна фігура, складена з граней. Кожна грань є заповненим багатокутником і зустрічає лише одну іншу грань уздовж повного краю. Кінці ребер зустрічаються в точках, які називаються вершинами.

Багатогранник завжди охоплює тривимірну область.

Множина багатогранника є багатогранниками. Ось кілька креслень багатогранників:

Призма - це тип багатогранника з двома однаковими гранями, паралельними один одному і які називаються основами. Підстави з'єднуються набором прямокутників (а іноді і паралелограм).

Призма названа за формою її підстав. Наприклад, якщо підстава - п'ятикутник, то його називають «п'ятикутною призмою».

Піраміда - це тип багатогранника, який має одну особливу грань, яку називають основою. Всі інші грані - це трикутники, які всі зустрічаються в одній вершині.

Піраміда названа за формою її підстави. Наприклад, якщо підставою виступає п'ятикутник, то його називають «п'ятикутної пірамідою».

Сітка - це двовимірне зображення багатогранника. Він складається з багатокутників, які утворюють грані багатогранника.

Куб має 6 квадратних граней, тому його сітка складається з шести квадратів, як показано тут.

Сітку можна вирізати і скласти, щоб вийшла модель багатогранника.

У кубі кожна грань ділиться своїми краями з 4 іншими квадратами. У сітці куба не всі краї квадратів з'єднуються іншим краєм. Однак, коли сітка буде складена, кожен з цих відкритих країв буде стикуватися з іншим краєм.

Потрібна практика, щоб візуалізувати кінцевий багатогранник, просто дивлячись на мережу.

Записи глосарію

Визначення: Основа (призми або піраміди)

Слово base може також ставитися до обличчя багатогранника.

Призма має два однакових підстави, які паралельні. Піраміда має одну основу.

Призма або піраміда названа за формою її підстави.

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Ліворуч фігура позначена п'ятикутною призмою. Зверху і знизу є два однакових п'ятикутника. Кожна вершина п'ятикутника з'єднана вертикальним відрізком з відповідною вершиною інших п'ятикутників. П'ятикутники затінені, причому база слів вказує на кожен. На малюнку праворуч позначена шестикутна піраміда. На дні є шестикутник, затінений зеленим кольором. З точки над шестикутником відходять 6 відрізків, кожен з'єднаний з вершиною шестикутника.

Визначення: Обличчя

Кожна рівна сторона багатогранника називається гранню. Наприклад, куб має 6 граней, і всі вони є квадратами.

Визначення: Net

Сітка - це двомірна фігура, яку можна скласти, щоб вийшов багатогранник.

Ось сітка для куба.

Визначення: Багатогранник

Багатогранник являє собою замкнуту, об'ємну форму з плоскими сторонами. Коли у нас є більше одного багатогранника, ми називаємо їх багатогранниками.

Ось кілька креслень багатогранників.

Визначення: Призма

Призма - це тип багатогранника, який має дві основи, які є однаковими копіями один одного. Підстави з'єднуються прямокутниками або паралелограмами.

Ось деякі малюнки призм.

Визначення: Піраміда

Піраміда - це тип багатогранника, який має одну основу. Всі інші грані є трикутниками, і всі вони зустрічаються в одній вершині.

Ось деякі малюнки пірамід.

Визначення: Площа поверхні

Площа поверхні багатогранника - це кількість квадратних одиниць, що охоплює всі грані багатогранника, без будь-яких зазорів або перекриттів.

Наприклад, якщо грані куба кожна мають площу 9 см ², то площа поверхні куба дорівнює\(6\cdot 9\), або 54 см ².

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Виділіть всі багатогранники.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Цей багатогранник - це призма, піраміда чи ні? Поясніть, як ви знаєте.

Скільки граней, ребер і вершин у нього?

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Тайлер сказав, що ця сітка не може бути сіткою для квадратної призми, оскільки не всі грані є квадратами.

Чи згодні ви з Тайлером? Поясніть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Поясніть, чому кожен з цих трикутників має площу 9 квадратних одиниць.

(Від блоку 1.3.2)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Паралелограм має підставу 12 метрів і висоту 1,5 метра. Яка його площа?
Трикутник має основу 16 дюймів і висоту\(\frac{1}{8}\) дюймів. Яка його площа?
Паралелограм має площу 28 квадратних футів і висоту 4 футів. Яка його база?
Трикутник має площу 32 квадратних міліметра і підставу 8 міліметрів. Яка її висота?

(Від блоку 1.3.3)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Знайдіть область затіненої області. Покажіть або поясніть свої міркування.

Малюнок\(\PageIndex{20}\): 2 конгруентні прямі трикутники, що торкаються висоти до висоти. На кожному підставу = 7 сантиметрів, висота = 5 сантиметрів. квадрат з довжиною сторони = 2 сантиметри, вирізаний з центру фігурки. площа навколо квадрата розтушовують.

(З блоку 1.1.3)