3.3: Формула площі трикутника

Last updated
Save as PDF

Page ID: 1025

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте напишемо і скористаємося формулою, щоб знайти площу трикутника.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Bases and Heights of a Triangle

Вивчіть приклади і неприклади підстав і висот у трикутнику.

Приклади: Ці пунктирні відрізки представляють висоту трикутника.

Non-examples: Ці пунктирні сегменти не відображають висоти трикутника.

Виділіть усі твердження, які відповідають дійсності щодо основ і висот у трикутнику.

Підставою може бути будь-яка сторона трикутника.
Існує тільки одна можлива висота.
Висота - це завжди одна зі сторін трикутника.
Висоту, яка відповідає основі, повинна бути намальована під гострим кутом до основи.
Висоту, яка відповідає основі, повинна бути намальована під прямим кутом до основи.
Після того, як ми виберемо основу, є лише один сегмент, який представляє відповідну висоту.
Відрізок, що представляє висоту, повинен пройти через вершину.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Finding a Formula for Area of a Triangle

Для кожного трикутника:

Визначте підставу і відповідну висоту, і запишіть їх довжини в таблицю.
Знайдіть площу трикутника і запишіть її в останній стовпець таблиці.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
трикутник	база (одиниці)	висота (одиниці)
А
Б
C
D
будь-який трикутник	\(b\)	\(h\)

В останньому рядку напишіть вираз для площі будь-якого трикутника, використовуючи\(b\) і\(h\).

Вправа\(\PageIndex{3}\): Applying the Formula for Area of Triangles

Для кожного трикутника обведіть базове вимірювання, яке можна використовувати, щоб знайти площу трикутника. Потім знайдіть площу будь-яких трьох трикутників. Покажіть свої міркування.

Резюме

Ми можемо вибрати будь-яку з трьох сторін трикутника, щоб назвати основою. Термін «база» позначає як сторону, так і її довжину (вимір).
Відповідна висота - довжина перпендикулярного відрізка від основи до протилежної йому вершини. Протилежна вершина - це вершина, яка не є кінцевою точкою підстави.

Ось три пари основ і висот для одного трикутника. Пунктирні сегменти на діаграмах відображають висоту.

Відрізок, що показує висоту, повинен бути намальований під прямим кутом до основи, але його можна намалювати більш ніж в одному місці. Він не повинен проходити через протилежну вершину, якщо вона з'єднує підставу і лінію, яка паралельна підставі і проходить через протилежну вершину, як показано тут.

Пари основа-висота в трикутнику тісно пов'язані з парами в паралелограмі. Нагадаємо, що дві копії трикутника можуть складатися в один або кілька паралелограмів. Кожен паралелограм поділяє принаймні одну основу з трикутником.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Два однакових трикутника, кожен з яких має копію, що складається трикутник на два різних паралелограма. У кожному паралелограмі є нижня сторона позначена основою і пунктирними лініями під прямим кутом до основи, що позначають висоту паралелограма.

Для будь-якої основи, яку вони поділяють, відповідна висота також є спільною, як показано пунктирними сегментами.

Ми можемо використовувати вимірювання базової висоти та наші знання паралелограм, щоб знайти площу будь-якого трикутника.

Формула площі паралелограма з підставою\(b\) і висотою\(h\) є\(b\cdot h\).
Трикутник займає половину площі паралелограма з однаковою основою і висотою. Тому ми можемо виразити\(A\) площу трикутника як:\(A=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h\)

Площа трикутника А становить 15 квадратних одиниць тому що\(\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6=15\).
Площа трикутника B становить 4.5 квадратних одиниць тому що\(\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3=4.5\).
Площа трикутника C становить 24 квадратних одиниць тому що\(\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 4=24\).

У кожному випадку одна сторона трикутника є основою, але жодна з інших сторін не є висотою. Це пояснюється тим, що кут між ними не є прямим кутом.

Однак у правильних трикутниках дві сторони, які перпендикулярні, можуть бути основою та висотою.

Площа цього трикутника становить 18 квадратних одиниць, незалежно від того, використовуємо ми 4 одиниці або 9 одиниць для основи.

Записи глосарію

Визначення: Протилежна вершина

Для кожної сторони трикутника є одна вершина, яка знаходиться не на тій стороні. Це протилежна вершина.

Наприклад, точка\(A\) - протилежна вершина в сторону\(BC\).

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Виберіть всі креслення, на яких правильно визначена\(h\) відповідна висота для даного\(b\) підстави.

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Шість зображень одного і того ж трикутника, позначені A, B, C, D, E та F. Трикутник A, верхня сторона позначена, b, а пунктирна лінія, позначена, h, простягається прямо вниз від правої вершини. Трикутник B, верхня сторона позначається b і пунктирною лінією з позначкою, h, простягається від центру верхньої сторони до протилежної вершини. Трикутник С, права сторона позначена, b, а пунктирна лінія проходить від лівої верхньої вершини прямо вниз до рівня нижньої вершини з маркуванням, h. трикутник D ліва сторона позначена, b, а перпендикулярна лінія з маркуванням, h, тягнеться до протилежної вершини. Трикутник E, ліва сторона позначена, b, а пунктирна лінія з позначкою, h, простягається від нижньої вершини під прямим кутом до правого боку. Трикутник F, права сторона позначена, b, а перпендикулярна пунктирна лінія з маркуванням, h, тягнеться від сторони з маркуванням, b, до протилежної вершини.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Для кожного трикутника маркується основа і відповідна йому висота.

Малюнок\(\PageIndex{12}\): 3 трикутника на сітці з маркуванням A, B, C. A, основа = 4, висота = 6. B, основа = 8, висота = 4. C, основа = 6, висота = 4.

Знайдіть площу кожного трикутника.
Як пов'язана площа з підставою і відповідною йому висотою?

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Ось прямокутний трикутник. Назвіть відповідну висоту для кожної основи.

Сторона\(d\)
Сторона\(e\)
Сторона\(f\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Знайдіть площу затіненого трикутника. Покажіть свої міркування.

Малюнок\(\PageIndex{14}\): Квадрат із затіненим трикутником, що міститься всередині нього. Ліва і нижня сторони квадрата позначені 6, а права сторона позначена 2 над точкою, де вершина затіненого трикутника зустрічається зі стороною, і 4 нижче точки, де вершина зустрічається зі стороною.

(Від блоку 1.3.2)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Андре провів лінію, що з'єднує два протилежних кута паралелограма. Виділіть усі правдиві твердження щодо трикутників, створених лінією, намальованою Андре.

Кожен трикутник має дві сторони, які мають довжину 3 одиниці.
Кожен трикутник має сторону, яка має таку ж довжину, як і діагональна лінія.
Кожен трикутник має одну сторону, яка становить 3 одиниці довжини.
Коли один трикутник розміщений поверх іншого і їх сторони вирівняні, ми побачимо, що один трикутник більший за інший.
Два трикутника мають однакову площу, що і один з одним.

(Від блоку 1.3.1)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Ось восьмикутник. (Примітка: Діагональні сторони восьмикутника не мають довжину 4 дюйми.)

Оцінюючи площу восьмикутника, Лін міркував, що вона повинна бути менше 100 квадратних дюймів. Ви згодні? Поясніть свої міркування.
Знайдіть точну площу восьмикутника. Покажіть свої міркування.

(З блоку 1.1.3)