3.2: Площа трикутників

Last updated
Save as PDF

Page ID: 1027

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте використаємо те, що ми знаємо про паралелограмах, щоб знайти площу трикутників.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Composing Parallelograms

Ось Трикутник М.

Хан зробив копію трикутника М і склав три різні паралелограми, використовуючи оригінальний M і копію, як показано тут.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): 3 різних паралелограма на сітці, що складається з трикутника M та копії. Перший паралелограм, Трикутник М і копія уздовж похилої сторони трикутника. Другий паралелограм, Трикутник М і копія уздовж горизонтальної сторони трикутника. Третій паралелограм, Трикутник М і копія вздовж вертикальної сторони трикутника.

Для кожного складеного паралелограма Хана визначте підставу і відповідну висоту, і запишіть виміри на кресленні.
Знайдіть площу кожного паралелограма, складеного Ханом. Покажіть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{2}\): More Triangles

Знайдіть області принаймні двох з цих трикутників. Покажіть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Decomposing a Parallelogram

Ваш учитель видасть вам дві копії паралелограма. Приклейте або скотчем одну копію вашого паралелограма тут і знайдіть його площу. Покажіть свої міркування.
Розкладіть другу копію вашого паралелограма, вирізавши по пунктирних лініях. Візьміть тільки маленький трикутник і трапецію, і переставте ці дві частини в різний паралелограм. Приклейте або скотчем щойно складений паралелограм на папері.
Знайдіть площу нового складеного вами паралелограма. Покажіть свої міркування.
Що ви помічаєте про зв'язок між площею цього нового паралелограма та вихідним?
Як ви думаєте, як площа великого трикутника порівнюється з площею нового паралелограма: вона більша, така ж чи менша? Чому це так?
Приклейте або скотчем залишився великий трикутник до вашої папері. Використовуйте будь-яку частину своєї роботи, щоб допомогти вам знайти її область. Покажіть свої міркування.

Ви готові до більшого?

Чи можете ви розкласти цей трикутник і переставити його частини, щоб сформувати прямокутник? Опишіть, як це можна було б зробити.

Резюме

Ми можемо міркувати про площу трикутника, використовуючи те, що ми знаємо про паралелограми. Ось три загальних способи зробити це:

Зробіть копію трикутника і з'єднайте оригінал і копію вздовж ребра, щоб створити паралелограм. Оскільки два трикутники мають однакову площу, одна копія трикутника має половину площі цього паралелограма.

Малюнок C - це ще один трикутник, а фігура D - той же трикутник, що і цифра С, з копією по краю оригіналу для створення паралелограма. Ліве підставу паралелограма маркується 4 одиниці, а висота маркується 6 одиниць.

Площа паралелограма B становить 16 квадратних одиниць, оскільки основа становить 8 одиниць, а висота 2 одиниці. Площа трикутника А становить половину того, що становить 8 квадратних одиниць. Площа паралелограма D становить 24 квадратних одиниць, тому що основа 4 одиниці, а висота 6 одиниць. Площа трикутника C становить половину того, що становить 12 квадратних одиниць.

Розкладіть трикутник на більш дрібні шматочки і складіть їх в паралелограм.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Два зображення трикутника. Зображення праворуч має пунктирну лінію, що відрізає верхню частину. Зображення зліва має відрізану частину переміщено поруч із нижньою частиною трикутника, щоб створити паралелограм. Стрілка, яка вказує на те, що відрізана частина від іншого зображення була переміщена.

У новому паралелограмі,,\(b=6\)\(h=2\), і\(6\cdot 2=12\), так його площа становить 12 квадратних одиниць. Оскільки початковий трикутник і паралелограм складаються з однакових частин, площа вихідного трикутника також становить 12 квадратних одиниць.

Намалюйте прямокутник навколо трикутника. Іноді трикутник має половину площі прямокутника.

Великий прямокутник можна розкласти на більш дрібні прямокутники. Той, що зліва має площу\(4\cdot 3\) або 12 квадратних одиниць; той, що праворуч має площу\(2\cdot 3\) або 6 квадратних одиниць. Великий трикутник також розкладається на два прямих трикутника. Кожен з правильних трикутників - це половина меншого прямокутника, тому їх площі складають 6 квадратних одиниць і 3 квадратних одиниць. Великий трикутник має площу 9 квадратних одиниць.

Іноді трикутник - це половина того, що залишилося від прямокутника після видалення двох копій менших правих трикутників.

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Три зображення одного трикутника. Перше зображення - це один трикутник. Другий - трикутник, оточений прямокутником. Третє зображення трикутника тепер з копією, складеною в паралелограм всередині прямокутника, зі стрілками малюють решту частин прямокутника в менший прямокутник.

Прямі трикутники, які видаляються, можуть бути складені в невеликий прямокутник з\((2\cdot 3)\) квадратними одиницями площі. Що залишилося - це паралелограм з площею\(5\cdot 3-2\cdot 3\), яка дорівнює\(15-6\) або\(9\) квадратні одиниці. Зверніть увагу, що ми можемо скласти той же паралелограм з двома копіями оригінального трикутника! Вихідний трикутник дорівнює половині паралелограма, тому його площа дорівнює\(\frac{1}{2}\cdot 9\) або\(4.5\) квадратним одиницям.

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Щоб знайти площу цього прямокутного трикутника, Дієго і Джада використовували різні стратегії. Дієго провів лінію через середні точки двох довших сторін, яка розкладає трикутник на трапецію і менший трикутник. Потім він переставив дві форми в паралелограм.

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Трикутник з однією стороною позначено 3 футами та іншою стороною з позначкою 8 футів. Друге зображення відображає той самий трикутник з пунктирною лінією, що перетинає трикутник, так що сторона, яка була позначена 8 футами, тепер дві частини, кожна з яких позначена 4 футами. Стрілка вказує на те, що отримана менша частина обертається для створення паралелограма з основою 3 фути і висотою 4 фути.

Джада зробив копію трикутника, повернув його і вирівняв його проти однієї сторони вихідного трикутника так, щоб два трикутника склали паралелограм.

Поясніть, як Дієго може використовувати свій паралелограм, щоб знайти площу трикутника.
Поясніть, як Джада може використовувати свій паралелограм, щоб знайти площу трикутника.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Знайдіть площу трикутника. Поясніть або покажіть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Який з трьох трикутників має найбільшу площу? Покажіть свої міркування. Якщо ви застрягли, спробуйте використовувати те, що вам відомо про площу паралелограмів.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Намалюйте однакову копію кожного трикутника таким чином, щоб дві копії разом утворювали паралелограм. Якщо ви застрягли, подумайте про використання кальки.

(Від блоку 1.3.1)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Паралелограм має підставу в 3,5 одиниці і відповідну висоту 2 одиниці. Яка його площа?
Паралелограм має основу в 3 одиниці і площу 1,8 квадратних одиниць. Яка відповідна висота для цієї основи?
Паралелограм має площу 20,4 квадратних одиниць. Якщо висота, яка відповідає основі, становить 4 одиниці, що таке основа?

(Від блоку 1.2.3)