2.3: Площа паралелограмів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 1008

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте потренуємося знаходити площу паралелограмів.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Missing Dots

Скільки точок на зображенні?

Як ви їх бачите?

Вправа\(\PageIndex{2}\): More Areas of Parallelograms

1. Обчислити площу заданої фігури в аплеті. Потім перевірте правильність обчислення площі, натиснувши прапорець Показати область.
2. Зніміть прапорець «Площа». Перемістіть одну з вершин паралелограма, щоб створити новий паралелограм. Коли ви отримаєте паралелограм, який вам подобається, накидайте його і обчисліть площу. Потім перевірте, чи правильний розрахунок, скориставшись кнопкою Показати область ще раз.
3. Повторіть цей процес ще два рази. Намалюйте і позначте кожен паралелограм з його вимірами і площею, яку ви обчислили.
Ось Паралелограм Б. Яка відповідна висота для основи довжиною 10 см? Поясніть або покажіть свої міркування.

Ось два різних паралелограма з однаковою площею.
1. Поясніть, чому їх площі рівні.
2. Перетягніть точки, щоб створити два нових паралелограма, які не є однаковими копіями один одного, але мають однакову площу, що і один з одним. Намалюйте свої паралелограми і поясніть або покажіть, як ви знаєте, що їх площі рівні. Потім натисніть кнопку Перевірити, щоб побачити, чи дві області дійсно рівні.

Ви готові до більшого?

Ось паралелограм, що складається з менших паралелограмів. Затінена область складається з чотирьох однакових паралелограмів. Всі довжини в дюймах.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Паралелограм складається з менших паралелограмів. Затінена область складається з чотирьох однакових паралелограмів, для кожного підстави = 5, висота = 2 і 4 десятих, довжина нахилу = 3.

Яка площа незаштрихованого паралелограма посередині? Поясніть або покажіть свої міркування.

Резюме

Будь-яка пара основи та відповідна висота можуть допомогти нам знайти площу паралелограма, але деякі пари базової висоти легше ідентифікувати, ніж інші.

Коли паралелограм намальований на сітці і має горизонтальні сторони, ми можемо використовувати горизонтальну сторону як основу. Коли він має вертикальні сторони, ми можемо використовувати вертикальну сторону як основу. Сітка може допомогти нам знайти (або оцінити) довжини основи та відповідної висоти.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Два паралелограма намальовані на двох сітках. Перший паралелограм, 2 горизонтальні сторони кожна 8 одиниць довжини, 2 похилі сторони, які піднімаються 2 вертикальні одиниці над 4 горизонтальних одиниць. Знизу горизонтальна сторона маркується, б. 2-одиничний перпендикулярний відрізок з маркуванням, h, з'єднує горизонтальні сторони. Другий паралелограм, 2 вертикальні сторони кожна 6 одиниць довжини, 2 похилі сторони, які піднімаються 4 вертикальні одиниці на 4 горизонтальних одиниць. Ліва вертикальна сторона маркується, б. 4-одиничний перпендикулярний відрізок з маркуванням, h, з'єднує одну вершину вертикальної сторони з точкою на іншій вертикальній стороні.

Коли паралелограм не намальований на сітці, ми все ще можемо знайти його площу, якщо відома основа та відповідна висота.

У цьому паралелограмі не задана відповідна висота для сторони, яка дорівнює 10 одиницям довжини, але задана висота для сторони, яка дорівнює 8 одиницям довжини. Ця пара базово-висота може допомогти нам знайти площу.

Незалежно від їх форми паралелограми, які мають однакову основу і однакову висоту, матимуть однакову площу; твір підстави і висоти будуть рівні. Ось кілька паралелограмів з однаковою парою вимірювань базової висоти.

Записи глосарію

Визначення: основа (паралелограма або трикутника)

Ми можемо вибрати будь-яку сторону паралелограма або трикутника, щоб бути основою фігури. Іноді ми використовуємо слово base для позначення довжини цієї сторони.

Визначення: висота (паралелограма або трикутника)

Висота - це найкоротша відстань від основи фігури до протилежної сторони (для паралелограма) або протилежної вершини (для трикутника).

Ми можемо показати висоту в більш ніж одному місці, але вона завжди буде перпендикулярна обраній основі.

Визначення: Паралелограм

Паралелограм - це тип чотирикутника, який має дві пари паралельних сторін.

Ось два приклади паралелограм.

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Два паралелограма із заданими кутами та довжиною сторін. Зліва верхня і нижня сторони = 5 одиниць. Ліва і права сторони = 4,24 одиниці. Верхній лівий і нижній правий кути = 135 градусів. Верхній правий і нижній лівий кути = 45 градусів. Справа верхня і нижня сторони = 9,34 одиниці. Ліва і права сторони = 4 одиниці. Верхній лівий і нижній правий кути = 27,2 градуса. Верхній правий і нижній лівий кути = 152,8 градуса.

Визначення: Чотирикутник

Чотирикутник - це тип багатокутника, який має 4 сторони. Прямокутник - приклад чотирикутника. П'ятикутник - це не чотирикутник, тому що він має 5 сторін.

Практика

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Які три з цих паралелограмів мають однакову площу один з одним?

Малюнок D, ліва і права сторони кожного 3 одиниці, а верхня і нижня сторони опускаються 1 одиниці, коли вони рухаються вправо 5 одиниць.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Яка пара основи та висоти виробляє найбільшу площу? Всі виміри вказані в сантиметрах.

\(b=4, h=3.5\)
\(b=0.8, h=20\)
\(b=6, h=2.25\)
\(b=10, h=1.4\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Ось площі трьох паралелограм. Використовуйте їх, щоб знайти відсутню довжину (позначену «?») на кожному паралелограмі.

10 квадратних одиниць
21 квадратних одиниць
25 квадратних одиниць

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Три паралелограма, позначені A, B, C. Паралелограм А, права сторона = 5 одиниць, висота = знак питання. Паралелограм B, нижня сторона = знак питання. Прямокутний трикутник намальований зовні паралелограма, основа = 1 одиниця, висота = 7 одиниць. Паралелограм C, нижня сторона = знак питання. Прямокутний трикутник, намальований зовні паралелограма, основа = 2,5 одиниці, висота = 5 одиниць.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Будівля Dockland в Гамбурзі, Німеччина, має форму паралелограма.

Малюнок\(\PageIndex{12}\): Архітектура Порт Ельба Гамбург Будівля, Max Pixel. Громадське надбання. freegreatpicture.com. Джерело.

Якщо довжина будівлі становить 86 метрів, а його висота - 55 метрів, яка площа цієї грані будівлі?

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Виділіть усі сегменти, які можуть представляти відповідну висоту, якщо сторона\(m\) є основою.

(Від блоку 1.2.2)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Знайдіть площу затіненої області. Всі виміри вказані в сантиметрах. Покажіть свої міркування.

(З блоку 1.1.3)