Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.2: Основи та висоти паралелограмів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    1003

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Давайте досліджуємо площу паралелограмів ще трохи.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): A Parallelogram and Its Rectangles

    Олена і Тайлер знаходили площу цього паралелограма:

    clipboard_e17996e4974611685649172847386534f.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Пересуньте повзунок, щоб побачити, як це зробив Тайлер:

    Пересуньте повзунок, щоб побачити, як це зробила Олена:

    Як дві стратегії знаходження площі паралелограма однакові? Чим вони відрізняються?

    Вправа\(\PageIndex{2}\): The Right Height?

    Вивчіть приклади і неприклади основ і висот паралелограмів.

    • Приклади: пунктирні сегменти на цих кресленнях представляють відповідну висоту для даної основи.
    clipboard_eb91f661d8bde928d0bc5ac705c31cb39.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)
    • Non-examples: пунктирні сегменти на цих кресленнях не відображають відповідної висоти для даної основи.
    clipboard_e1948a291f86f7dbef9bc6aeefe01ccf5.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)
    1. Виділіть усі твердження, які відповідають дійсності щодо основ і висот в паралелограмі.
      1. Підставою може бути тільки горизонтальна сторона паралелограма.
      2. Будь-яка сторона паралелограма може бути основою.
      3. Висоту можна накреслити під будь-яким кутом до сторони, обраної в якості основи.
      4. Підстава і відповідна йому висота повинні бути перпендикулярні один одному.
      5. Висоту можна намалювати тільки всередині паралелограма.
      6. Висоту можна намалювати поза паралелограмом, якщо вона намальована під кутом 90 градусів до основи.
      7. Підстава не може бути розширена, щоб відповідати висоті.
    2. П'ять учнів позначили основу\(b\) і відповідну висоту\(h\) для кожного з цих паралелограмів. Чи правильно позначені всі малюнки? Поясніть, як ви знаєте.
    clipboard_e4c81c386d04712188b90db26b4028f27.png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Ви готові до більшого?

    В аплеті паралелограм складається з суцільних відрізків лінії, а висота і опорні лінії - з пунктирних відрізків лінії. Маркуються основа b і відповідна висота h.

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Finding the Formula for Area of Parallelograms

    Для кожного паралелограма:

    • Визначте підставу і відповідну висоту, і запишіть їх довжини в таблицю.
    • Знайдіть площу паралелограма і запишіть її в останній стовпець таблиці.
    clipboard_e83733ef1932b8b0dc168ab655b5e1298.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)
    паралелограм база (одиниці) висота (одиниці) площа (кв. од.)
    А
    Б
    C
    D
    будь-який паралелограм \(b\) \(h\)
    Таблиця\(\PageIndex{1}\)

    В останньому рядку напишіть вираз для площі будь-якого паралелограма, використовуючи\(b\) і\(h\).

    Ви готові до більшого?

    1. Що відбувається з площею паралелограма, якщо висота подвоюється, але основа незмінна? Якщо висота втричі? Якщо висота в 100 разів перевищує оригінал?
    2. Що відбувається з площею, якщо і основа, і висота подвоюються? Обидва потрійні? Обидва в 100 разів їх початкова довжина?

    Резюме

    • Ми можемо вибрати будь-яку з чотирьох сторін паралелограма в якості основи. І сторона (відрізок), і його довжина (вимір) називаються основою.
    • Якщо ми проведемо будь-який перпендикулярний відрізок від точки на підставі до протилежної сторони паралелограма, цей відрізок завжди матиме однакову довжину. Ми називаємо це значення висотою. Існує нескінченно багато сегментів, які можуть представляти висоту!
    clipboard_e1c905a1dcb247e046367e4fe2248af30.png
    Малюнок\(\PageIndex{6}\): 2 копії одного і того ж паралелограма. Зліва база = 6 одиниць. Відповідна висота = 4 одиниці. Праворуч підстава = 5 одиниць. Відповідна висота = 4,8 одиниці. Для обох показані 3 різні сегменти, які представляють висоту.

    Ось дві копії одного і того ж паралелограма. Зліва сторона, яка є основою, має довжину 6 одиниць. Відповідна його висота - 4 одиниці. Справа сторона, яка є основою, має довжину 5 одиниць. Відповідна його висота - 4,8 одиниці. Для обох показані три різні сегменти, які представляють висоту. Ми могли б залучити ще багато!

    Незалежно від того, яка сторона обрана в якості основи, площа паралелограма є добутком цієї основи та відповідної йому висоти. Ми можемо перевірити це:

    \(4\times 6=24\qquad\text{ and }\qquad 4.8\times 5=24\)

    Ми можемо зрозуміти, чому це правда, розклавши та переставляючи паралелограми на прямокутники.

    clipboard_e36acc640c30c1e5b285f58c2411c6429.png
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)

    Зверніть увагу, що довжини сторін кожного прямокутника є основою і висотою паралелограма. Незважаючи на те, що два прямокутника мають різну довжину сторін, вироби довжини сторін рівні, тому вони мають однакову площу! І обидва прямокутника мають таку ж площу, як і паралелограм.

    Ми часто використовуємо букви для чисел. Якщо\(b\) є основою паралелограма (в одиницях), і\(h\) є відповідною висотою (в одиницях), то площа паралелограма (в квадратних одиницях) є добутком цих двох чисел. \(b\cdot h\)

    Зверніть увагу, що ми пишемо символ множення з маленькою крапкою замість\(\times\) символу. Це для того, щоб ми не заплуталися про те, чи\(\times\) означає множити, або буква\(x\) стоїть в для числа.

    У середній школі ви зможете довести, що перпендикулярний відрізок від точки на одній стороні паралелограма до протилежної сторони завжди буде мати однакову довжину.

    clipboard_ebfbac56f8d2c98d38540e5e682d348f9.png
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Ви можете побачити це найлегше, коли ви малюєте паралелограм на графічному папері. Наразі ми просто будемо використовувати це як факт.

    Записи глосарію

    Визначення: основа (паралелограма або трикутника)

    Ми можемо вибрати будь-яку сторону паралелограма або трикутника, щоб бути основою фігури. Іноді ми використовуємо слово base для позначення довжини цієї сторони.

    clipboard_efdc2d1802033a1596e2069df32cf5ce3.png
    Малюнок\(\PageIndex{9}\)

    Визначення: висота (паралелограма або трикутника)

    Висота - це найкоротша відстань від основи фігури до протилежної сторони (для паралелограма) або протилежної вершини (для трикутника).

    Ми можемо показати висоту в більш ніж одному місці, але вона завжди буде перпендикулярна обраній основі.

    clipboard_e96534d8024d2edc81ecf56bfbbda66ab.png
    Малюнок\(\PageIndex{10}\)

    Визначення: Паралелограм

    Паралелограм - це тип чотирикутника, який має дві пари паралельних сторін.

    Ось два приклади паралелограм.

    clipboard_e63643e0f76082a51a15180251ba0759c.png
    Малюнок\(\PageIndex{11}\): Два паралелограма з кутами та довжиною сторін. Зліва верхня і нижня сторони = 5 одиниць. Ліва і права сторони = 4,24 одиниці. Верхній лівий і нижній правий кути = 135 градусів. Верхній правий і нижній лівий кути = 45 градусів. Справа верхня і нижня сторони = 9,34 одиниці. Ліва і права сторони = 4 одиниці. Верхній лівий і нижній правий кути = 27,2 градуса. Верхній правий і нижній лівий кути = 152,8 градуса.

    Визначення: Чотирикутник

    Чотирикутник - це тип багатокутника, який має 4 сторони. Прямокутник - приклад чотирикутника. П'ятикутник - це не чотирикутник, тому що він має 5 сторін.

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Виділіть всі паралелограми, які мають правильну висоту, позначену для даної основи.

    clipboard_eb8c6991761f5003e811d3d3db6e462a4.png
    Малюнок\(\PageIndex{12}\): 4 паралелограма на сітці, позначені A, B, C, D. Паралелограм А, основа = 3 одиниці, висота = 2 одиниці. Паралелограм B, основа = 3 одиниці, висота = 2 одиниці. Паралелограм С, основа = 3 одиниці, висота = 2 одиниці. Паралелограм D, основа = діагональ через дві одиниці квадратів, висота = 3 одиниці.
    1. A
    2. Б
    3. C
    4. D

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    В якості основи для цього паралелограма\(b\) була обрана сторона, позначена.

    clipboard_ec6b78439e35a6ca802bb7dcb93d54e8c.png
    Малюнок\(\PageIndex{13}\)

    Намалюйте відрізок, що показує висоту, відповідну цій основі.

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Знайдіть площу кожного паралелограма.

    clipboard_ebe3f5252f2a0bdb89e2ff12adc7f7dba.png
    Малюнок\(\PageIndex{14}\): 3 паралелограма на сітці, позначені A, B, C. Паралелограм А, основа = 4 одиниці, висота = 2 одиниці. Паралелограм B, основа = 5 одиниць, висота = 2 одиниці. Паралелограм С, основа = 2 одиниці, висота = 4 одиниці.

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Якщо сторона довжиною 6 одиниць є основою цього паралелограма, яка його відповідна висота?

    clipboard_e6413dd3388180cf393bfd55d6d12790a.png
    Малюнок\(\PageIndex{15}\): Паралелограм з нижньою та верхньою сторонами позначені 6 та правою стороною позначені 5. Пунктирною лінією, перпендикулярною правій стороні, маркується 4.8, а пунктирною лінією, перпендикулярною нижній стороні, маркується 4.
    1. 6 одиниць
    2. 4.8 одиниць
    3. 4 одиниці
    4. 5 одиниць

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Знайдіть площу кожного паралелограма.

    clipboard_ebba59d6e44cee1ce3c1958e6c0b93f98.png
    Малюнок\(\PageIndex{16}\): 3 паралелограма з маркуванням A, B, C. Паралелограм А, основа = 9 сантиметрів, висота = 4 сантиметри. Паралелограм B, основа = 5 сантиметрів, висота = 4 сантиметри. Паралелограм С, основа = b, висота = h.

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Чи згодні ви з кожним з цих тверджень? Поясніть свої міркування.

    1. Паралелограм має шість сторін.
    2. Протилежні сторони паралелограма паралельні.
    3. Паралелограм може мати одну пару або дві пари паралельних сторін.
    4. Всі сторони паралелограма мають однакову довжину.
    5. Всі кути паралелограма мають однакову міру.

    (Від блоку 1.2.1)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Квадрат площею 1 квадратний метр розкладається на 9 однакових невеликих квадратів. Кожен маленький квадрат розкладіть на два однакових трикутника.

    1. Яка площа, в квадратних метрах, з 6 трикутників? Якщо ви застрягли, подумайте про складання схеми.
    2. Скільки потрібно трикутників, щоб скласти область, яка є\(1\frac{1}{2}\) квадратними метрами?

    (Від одиниці 1.1.2)