2.1: Паралелограми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 1004

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Розберемо особливості та площі паралелограм.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Features of a Parallelogram

Цифри A, B і C - паралелограми. Цифри D, E і F не є паралелограмами.

Вивчіть приклади і не-приклади. Що ви помічаєте про:

кількість сторін, які має паралелограм?
протилежні сторони паралелограма?
протилежні кути паралелограма?

Вправа\(\PageIndex{2}\): Area of a Parallelogram

Знайдіть площу паралелограма і поясніть свої міркування.
Змініть паралелограм, перетягуючи зелені точки на його вершині. Знайдіть його область і поясніть свої міркування.
Якщо ви використовували багатокутники збоку, чим вони були корисні? Якщо ви цього не зробили, чи не могли б ви використати один або кілька багатокутників, щоб показати інший спосіб знайти площу паралелограма?

Вправа\(\PageIndex{3}\): Lots of Parallelograms

Знайдіть площу кожного паралелограма. Покажіть свої міркування.

Резюме

Паралелограм - це чотирикутник (він має чотири сторони). Протилежні сторони паралелограма паралельні. Вірно і те, що протилежні сторони паралелограма мають рівну довжину, а протилежні кути паралелограма мають рівну міру.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Два паралелограма з кутами та довжиною сторін. Зліва верхня і нижня сторони = 5 одиниць. Ліва і права сторони = 4,24 одиниці. Верхній лівий і нижній правий кути = 135 градусів. Верхній правий і нижній лівий кути = 45 градусів. Справа верхня і нижня сторони = 9,34 одиниці. Ліва і права сторони = 4 одиниці. Верхній лівий і нижній правий кути = 27,2 градуса. Верхній правий і нижній лівий кути = 152,8 градуса.

Існує кілька стратегій знаходження площі паралелограма.

Ми можемо розкласти і переставити паралелограм, щоб сформувати прямокутник. Ось три способи:

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Три однакових паралелограма на окремих сітках, кожна має основу з чотирьох одиниць і висоту три одиниці. Спочатку паралелограм, вертикальний пунктирний відрізок, що проходить від нижньої лівої вершини до протилежної сторони, утворюючи трикутник. Стрілка простягається від трикутника до протилежної сторони паралелограма, щоб створити прямокутник 4 одиниці шириною і 3 одиниці у висоту. Другий паралелограм, вертикальний пунктирний відрізок, що проходить від верхньої правої вершини до протилежної сторони, утворюючи трикутник. Стрілка простягається від трикутника до протилежної сторони паралелограма, щоб створити прямокутник 4 одиниці шириною і 3 одиниці у висоту. Третій паралелограм, вертикальний пунктирний відрізок через середину паралелограма. Стрілка простягається від отриманої форми до протилежної сторони паралелограма, щоб створити прямокутник 4 одиниці шириною і 3 одиниці у висоту.

Ми можемо докласти паралелограм, а потім відняти площу двох трикутників у кутку.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Два креслення паралелограмів на сітках. Зліва трикутник у нижньому лівому та верхньому правому куті білого кольору, а центр пофарбований у синій колір. Справа зображення зліва повторюється, але трикутники в кутах пофарбовані в жовтий колір. Стрілки малюються від трикутників вправо. Трикутники два трикутника з'єднуються праворуч, утворюючи прямокутник.

Обидва ці способи будуть працювати для будь-якого паралелограма. Однак для деяких паралелограм процес розкладання і перестановки вимагає набагато більше кроків, ніж якщо ми обкладемо паралелограм прямокутником і віднімаємо об'єднану площу двох трикутників в кутах.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Затінений паралелограм на сітці. База з трьох одиниць. Похилі сторони, які зменшують 6 вертикальних одиниць понад 9 горизонтальних одиниць. Паралелограм розкладається пунктирними відрізками на шість рівних прямих трикутників. Кожен трикутник має вертикальну сторону 2 одиниці і горизонтальну сторону 3 одиниці. Стрілки тягнуться вліво від кожного з нижніх 5 трикутників. Отримана форма являє собою прямокутник, який має 6 одиниць заввишки на 3 одиниці ширини.

Записи глосарію

Визначення: Паралелограм

Паралелограм - це тип чотирикутника, який має дві пари паралельних сторін.

Ось два приклади паралелограм.

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Два паралелограма з кутами та довжиною сторін. Зліва верхня і нижня сторони = 5 одиниць. Ліва і права сторони = 4,24 одиниці. Верхній лівий і нижній правий кути = 135 градусів. Верхній правий і нижній лівий кути = 45 градусів. Справа верхня і нижня сторони = 9,34 одиниці. Ліва і права сторони = 4 одиниці. Верхній лівий і нижній правий кути = 27,2 градуса. Верхній правий і нижній лівий кути = 152,8 градуса.

Визначення: Чотирикутник

Чотирикутник - це тип багатокутника, який має 4 сторони. Прямокутник - приклад чотирикутника. П'ятикутник - це не чотирикутник, тому що він має 5 сторін.