6.4: Аерофольг Йоуковського

Йоуковський карта

Відомим прикладом конформної функції є карта Йоуковського

\ (\ begin {екнаррай}\ мітка {джоук}
w= z+ 1/z.
\ end {еканаррей}\)

Вперше він був використаний при дослідженні обтікання крил літака новаторським російським дослідником аеро- і гідродинаміки Миколою Жуковським (Йоуковський).

Так як

\(\frac{d}{dz}w=1-\frac{1}{z^2}=0\quad \text{if and only if}\quad z=\pm 1,\)

функція (1) є конформною, за винятком критичних точок, а\(z=±1\) також сингулярності\(z=0\), де вона не визначена.

Якщо\(z = e^{i\theta}\) лежить на одиничному колі, то

\(w =e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos \theta,\)

лежить на реальній осі, с\(-2\leq w\leq  2\). Таким чином, карта Йоуковського стискає одиничне коло вниз до реального відрізка лінії\([−2,2]\). Зображення точок за межами одиничного кола заповнюють решту\(w\) площини, як і зображення (ненульових) точок всередині одиничного кола. Дійсно, якщо ми вирішимо (1) для\(z\), ми маємо

\(z=\frac{1}{2}\left(w\pm \sqrt{w^2-4}\right).\)

Ми бачимо, що кожен\(w\) крім\(±2\) походить від двох різних точок\(z\); бо\(w\) не на критичному відрізку лінії одна точка (зі знаком мінус) лежить всередині\([−2,2]\), а одна (зі знаком плюс) лежить поза одиничного кола, тоді як якщо\(−2<w<2\), обидві точки лежать на одиниці коло і загальна вертикальна лінія.

Отже, карта Йоуковського визначає конформне відображення один до одного з\(|z|>1\) зовнішньої частини одиничного кола на зовнішню частину відрізка лінії\([−2,2]\), тобто.\(\mathbb C \setminus [-2, 2]\)

На малюнку 4 ми можемо спостерігати, що концентричні кола\(|z|=r>1\) відображені на еліпси з осередками\(±2\) в\(w\) -площині.

Малюнок 4: Карта Йоуковського, застосована до\(|z|=r \geq 1\).

Більш цікавий ефект на колах, які не зосереджені на походженні. Криві зображення приймають найрізноманітніші форми. Коли коло проходить через однину точку\(z=1\), то його зображення вже не є гладким, а має розріз при\(w=2\) і коли коло проходить через\(z=−1\) куп знаходиться в\(w=−2\). Деякі криві зображення припускають форму знаменитого поперечного перерізу через ідеалізоване крило літака або аерофольг, також відомий як аеродром Йоуковського.

Ви можете вивчити карту Йоуковського в аплеті нижче. Перетягніть навколо центру кола. Перетягніть повзунки, щоб застосувати відображення або змінити радіус. Натисніть кнопку, щоб побачити попередньо визначені значення.

---

Обтікати аеродром Йоуковського

Розглянемо тепер рівномірне обтікання по одиничному колу з циркуляцією\(C\) і швидкістю,\(U>0\) заданою комплексним потенціалом.

\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {eq1}
F (z) =Uz+\ frac {U} {z} -\ frac {i C} {2\ pi}\ log z.
\ end {eqnarray}\)

Ми можемо використовувати лінійне перетворення

\(T(z)=-0.15+0.23i + 0.23\sqrt{13\cdot 2} z\)

для відображення цього потоку навколо\(|z|=1\) потоку навколо кола\(c_1\) з центром\(z_1=−0.15+0.23i\) і радіусом\(r=0.23\sqrt{13\cdot 2}\)

Нарешті, застосувавши карту Йоуковського (1), ми можемо отримати рівномірний потік з циркуляцією навколо аеропрофілю Йоуковського.

Наступне моделювання показує рівномірний потік повз кругового циліндра\(c_1\) та його перетворення на аеропрофіль Йоуковського. Перетягніть повзунки, щоб вивчити:

• Слайдер\(U\) = швидкість.
• Слайдер\(C\) = тираж.
• Слайдер\(T\) = застосувати перетворення.

Натисніть кнопку Трасування, щоб показати обтічні лінії.

Скидання