6.3: Рівномірний потік по колу
- Page ID
- 62720
Розглянемо рівномірний потік зі швидкістю\(U\) в\(x\) -напрямку, зі складним потенціалом\(F(z)=Uz\). Якщо ми вставимо непроникну кругову перешкоду,\(|z|=a\) скажімо, то потік буде порушений, як показано на зображенні нижче. Завдання тут полягає в тому, щоб розрахувати порушений потік.
Тут ми можемо використовувати добре відомий результат в динаміці рідини, встановлений англійським математиком Л.М. Мілне-Томпсоном:
Теорема про коло
Припустимо,\(F(z)\) складний потенціал дається таким чином, що будь-які особливості в\(F(z)\) відбуваються в\(|z|\gt a\). Тоді потенціал
\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {теорема кола}
w = F (z) +\ overline {F\ left (\ frac {a^2} {\ overline {z}}\ праворуч)}
\ end {eqnarray}\)
(де бар позначає складний сполучений) має ті ж особливості, що\(|z|\gt a\) і\(F(z)\) в, а коло\(|z|=a\) є обтічним.
Доказ:\(F(z)\) Нехай складний потенціал такий, що будь-які особливості відбуваються тільки в регіоні\(|z|\gt a\) (з\(a>0\)) і визначають
\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {круг-01}
w = F (z) +\ оверлайн {F\ left (\ frac {a^2} {\ overline {z}}\ праворуч)}.
\ end {еканаррей}\)
Зверніть увагу, що якщо\(|z|\gt a\), то\(\big|a^2/\,\overline{z}\big|\lt a\). Таким чином, оскільки не\(F(z)\) має особливостей у\(|z|\leq a\), випливає, що другий термін у (2) не має сингуляритів\(|z|\gt a\). Це означає, що\(F\) і\(w\) мають однакові особливості в\(|z|\gt a\).
Тепер нам цікаво дізнатися, що відбувається на круговому кордоні\(|z|=a\). У цьому випадку ми маємо це\(\overline{z} \cdot z = a^2\). Тобто
\(z= \frac{a^2}{\overline{z} }.\)
Таким чином
\(\big. w \big|_{|z|=a}= F(z)+ \overline{F\left(\frac{a^2}{\overline{z}}\right)} = F(z) + \overline{F\left(z\right)} = 2 \text{Re}\left(f(z)\right),\)
що цілком реально. Тому на кордоні\(|z|=a\)
\(\psi = \text{Im}\, w = 0.\)
Це свідчить про те, що коло\(|z|=a\) є обтічним. ◼
Зверніть увагу, що комплексний потенціал\(F(z)=Uz\) задовольняє гіпотезу Теореми Кола. Тому ми можемо отримати комплексний потенціал рівномірного потоку навколо кола шляхом підстановки\(F(z)=Uz\) в рівняння (1):
\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {потенціал}
w = Uz +\ overline {\ frac {Ua^2} {\ overline {z}} = Uz +\ frac {Ua^2} {z}.
\ end {еканаррей}\)
Отже, streamfunction - це всього лише уявна частина (3), а саме
\ (\ begin {eqnarray*}
\ psi = Uy\ ліворуч (1-\ frac {a^2} {x^2+y^2}\ праворуч).
\ end {еканаррей*}\)
і ми бачимо, що коло дійсно\(x^2+y^2=a^2\) є обтічним, з\(ψ=0\). Отриманий потік показаний на малюнку 2 с\(a=1\).
Ви, напевно, помітили, що (3) має особливість на\(z=0\). Такий вид сингулярності відомий як дублет і відповідає функції\(Ua^2/z\). Сингулярність у початку знаходиться всередині перешкоди і, таким чином, не впливає на зовнішній потік. Повний шаблон обтічної лінії, включаючи дублет всередині кола, показаний на малюнку 3.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Показати, що складові поля швидкостей\(\mathbf V = (u, v)\) для рівномірного течії навколо кола задаються
\ (\ почати {екнаррай*}
u = U\ лівий (1 - a^2\ frac {x^2-y^2} {\ лівий (x^2+y^2\ праворуч) ^2}\ праворуч),\ квад v= -2 U^ {2} a^ {2}\ frac {x y} {\ лівий (x^ {2} + y^ {2} ^ {2}\ правий) {2}}
\ end {еканаррей*}\)
де\(U\) - швидкість і\(a\) радіус.
Рівномірний потік по колу з циркуляцією
Якщо додати вихор до комплексного потенціалу, визначеного в (3), то отримаємо рівномірний потік по колу з циркуляцією:
\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {тираж}
w = Uz +\ frac {Ua^2} {z} -\ frac {iC} {2\ pi}\ log z,
\ end {eqnarray}\)
де\(C\in \mathbb R\) являє собою циркуляцію про коло.
В даному випадку функція stream-це
\ (\ begin {eqnarray*}
\ psi = U y\ ліворуч (1 -\ frac {a^2} {x^2+y^2}\ праворуч) -\ frac {C} {4\ pi}\ журнал\ ліворуч (x^2+y^2\ праворуч).
\ end {еканаррей*}\)
Зверніть увагу, що коло все ще\(x^2+y^2=a^2\) є обтічним, з\(\psi = - (C/2\pi)\log a\). Будь-яка точка застою в потоці задовольняє рівнянню
\(0 = U - \frac{Ua^2}{z^2} - \frac{iC}{2\pi z},\)
які можна переставити на квадратне рівняння
\(z^2-2i\gamma a z - a^2 = 0, \quad \text{with}\quad \gamma =\frac{C}{4\pi Ua}.\)
Коріння цього рівняння
\(\frac{z}{a} = i\gamma \pm \sqrt{1-\gamma^2}.\)
Таким чином\(γ=0\), коли, немає циркуляції з точками застою при\(z=±a\). Зі\(γ\) збільшенням циркуляція проти годинникової стрілки змушує точки застою рухатися вгору по колу. Коли вона досягає значення\(1\), дві точки застою зливаються у верхній частині циліндра\(z=ia\). Якщо\(γ>1\), то одна точка застою рухається в потік; інша знаходиться всередині кола.
Вивчіть всі випадки в аплеті нижче, який показує потік і коло радіуса\(1\). Перетягніть повзунки\(U\) і\(C\) для зміни швидкості і циркуляції відповідно.
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Показано, що складові поля швидкостей\(\mathbf V = (u, v)\) для рівномірного течії навколо кола з циркуляцією задаються
\ (\ begin {eqnarray*}
u &=U\ ліворуч (1 - a^2\ frac {x^2-y^2} {\ лівий (x^2+y^2\ праворуч) ^2}\ праворуч) -\ frac {C} {2\ pi}\ frac {y} {x^2+y^2},\\
v &-2 U^ {2} a^ {2}\ розрив {x y} {\ лівий (x^ {2} + y^ {2}\ праворуч) ^ {2}} +\ розрив {C} {2\ pi}\ розрив {x} {x^2+y^2}
\ end {еканаррей*}
\)
де\(U\) - швидкість,\(a\) - радіус і\(C\) циркуляція.