Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.2: Комплексний потенціал - Основні приклади

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62719

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Основні приклади

    Рівномірний потік

    Потенціал комплексу

    \ (\ begin {екнаррай}\ мітка {рівномірний}
    F (z) =UE^ {-i\ альфа} z
    \ end {екнаррай}\)

    відповідає рівномірному потоку зі швидкістю\(U\) в напрямку, що робить кут з\(x\) -віссю.

    Тут нас цікавить пошук поля швидкостей

    \(\mathbf V = \left(u(x,y), v(x,y)\right).\)

    Але спочатку нам потрібно отримати функцію потоку\(ψ\), яка є уявною складовою (1).

    Рерайтинг (1) отримуємо

    \ (\ begin {eqnarray*}
    F (z) &=& UE^ {-i\ альфа} z\\
    &= & U\ ліворуч (\ cos\ альфа - i\ sin\ альфа\ праворуч)\ лівий (x+iy\ праворуч)\\
    &= & U\ ліворуч (x\ cos\ альфа\ правий) + i U\ лівий (y\ cos\ альфа\ правий) + i U\ лівий (y\ cos\ альфа\ правий) + I U\ лівий (y\ cos\ альфа\ правий) гріх\ альфа\ право ).
    \ end {еканаррей*}\)

    Таким чином

    \ (\ begin {eqnarray*}
    \ psi = U\ ліво (y\ cos\ альфа - х\ sin\ альфа\ справа).
    \ end {еканаррей*}\)

    Нарешті, з тих пір\(u=\frac{\partial \psi}{\partial y}\) і\(v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}\), ми маємо це

    \ (\ begin {eqnarray*}
    U = U\ cos\ альфа,\ квад v=u\ sin\ альфа.
    \ end {еканаррей*}\)

    У наведеному нижче аплеті показано моделювання рівномірного потоку. Перетягніть повзунки, щоб змінити параметри. Натисніть на Trace кнопка, щоб показати спрощення. Натисніть на поле кнопка, щоб показати векторне поле.

    Потік точки застою

    Потенціал комплексу

    \ (\ почати {еканаррай*}
    F (z) =\ frac {k z^2} {2}
    \ кінець {еканаррай*}\)

    відповідає точці застою потоку з силою\(k≥0\).

    Джерело та раковина

    Джерело сили\(Q>0\) при зародженні представлено комплексним потенціалом

    \ (\ begin {eqnarray}\ мітка {джерело зливу}
    F (z) =\ frac {Q} {2\ pi}\ log z.
    \ end {еканаррей}\)

    Зауважте, що це багатозначна функція, з точкою гілки на початку. Якщо\(Q<0\), то складний потенціал відповідає раковині.

    Легко узагальнити (2) для довільної точки\((a,b)\) в комплексній площині. Необхідний складний потенціал

    \ (\ begin {екнаррай*}
    F (z) =\ frac {Q} {2\ pi}\ лог (z-c).
    \ end {еканаррей*}
    \)

    де\(c=a+ib\).

    Вихровий

    Вихор сили\(C\) на початку представлений комплексним потенціалом

    \ (\ begin {екнаррай*}
    F (z) =\ frac {-iC} {2\ pi}\ log z.
    \ end {еканаррей*}\)

    Це знову багатозначна функція. Для\(C>0\), обертання відбувається проти годинникової стрілки, а для\(C<0\) обертання - за годинниковою стрілкою.

    Вихор в довільній точці\(c\in \mathbb C\) представлений комплексним потенціалом

    \ (\ begin {екнаррай*}
    F (z) =\ frac {-iC} {2\ pi}\ log (z-c).
    \ end {еканаррей*}\)

    де\(c=a+ib\).

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Знайдіть поля швидкостей точки стагнації, джерела та раковини та вихрових потоків.

    Поєднання складних потенціалів

    Основні потоки, представлені вище, можна об'єднати простим накладенням відповідних комплексних потенціалів.

    Наприклад, розглянемо рівномірний потік\(Uz\), зі швидкістю\(U≥0\), і джерело\(\frac{Q}{2\pi}\log z\), с\(Q≥0\). Таким чином, ми можемо виробляти складний потенціал

    \ (\ begin {eqnarray}\ мітка {гребінець}
    F (z) =Uz+\ frac {Q} {2\ pi}\ log z.
    \ end {еканаррей}\)

    Наступний аплет показує потік, створений (3). Перетягніть повзунки, щоб змінити параметри.

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Знайдіть поле швидкості потоку, виробленого джерелом сили\(Q\) в рівномірному потоці зі швидкістю\(U\) в\(x\) -напрямку.