6.1: Застосування конформних відображень

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62710

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Гідродинаміка

Якщо у нас є (стаціонарна) нестислива, нев'язка рідина, нас цікавить знаходження її поля швидкостей

\(\mathbf V (x,y)= \left(u(x,y), v(x,y)\right).\)

З векторного аналізу ми знаємо, що «нестисливий» означає, що розбіжність\(\text{div}\,\mathbf V =0.\) (Ми говоримо,\(\mathbf V\) що розбіжність вільна. ) Ми припускаємо, що\(\mathbf V\) це також потенційний потік і, отже, циркуляція вільна; це\(\mathbf V = \text{grad } \phi\) для деяких\(\phi\) називається потенціалом швидкості. Таким чином\(\phi\), гармонійно, тому що

\(\nabla^2\phi = \text{div } \text{grad }\phi = \text{div } \mathbf V=0.\)

Таким чином, коли ми вирішуємо,\(\phi\) ми можемо отримати\(\mathbf V\), взявши\(\mathbf V = \text{grad } \phi\). Тобто

\ (\ begin {eqnarray*}
u=\ frac {\ частковий\ phi} {\ частковий х},\ квад v=\ frac {\ частковий\ phi} {\ частковий y}.
\ end {еканаррей*}\)

Сполучений\(ψ\) гармонічної функції\(ϕ\) (який буде існувати на будь-якій простій пов'язаній області) називається функцією потоку, а аналітичної функцією

\(F=\phi +i\psi\)

називається комплексним потенціалом.

Функція потоку повинна задовольняти

\ (\ begin {eqnarray*}
u=\ frac {\ частковий\ psi} {\ частковий y},\ quad v=-\ frac {\ частковий\ psi} {\ частковий х}.
\ end {еканаррей*}\)

Нарешті, лінії константи\(ψ\) мають\(V\) свої дотичні, тому лінії константи\(ψ\) можна інтерпретувати як лінії, уздовж яких рухаються частинки рідини; звідси і назва функції потоку.

впорядковує — **Малюнок 1:** Обтічні лінії.