5.6: Набір «Джулія»

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62637

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У попередньому розділі ми показали, як множина Мандельброта може бути згенерована за допомогою виразу.

\(z_{n+1}=z_{n}^2+z_0.\)

Це окремий випадок квадратичного рівняння рекурренції

\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {Джулія}
z_ {n+1} =z_ {n} ^2+c
\ кінець {екнаррай}\)

з\(c\) фіксованим комплексним числом. Множина, яку ми отримуємо за допомогою цього рівняння, відома як множина Юлії. Насправді, існує різний набір Julia майже для кожного\(c\).

Аналогічно, як ми робили для множини Мандельброта, отримуємо послідовність комплексних чисел\(z_n\) с\(n=0,1,2,\ldots\). Знову ж таки, точки\(z_n\), як кажуть, утворюють орбіту\(z_0\), а набір Юлії визначається наступним чином:

Якщо орбіта\(z_n\) не вдається втекти до нескінченності,\(z_0\) початкова, як кажуть, належить до заповненого набору Julia.

Набір Julia названий на честь французького математика Гастона Джулії, який досліджував їх властивості в 1915 році і завершився його знаменитим працею в 1918 році: Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles. У той час як множина Юлії тепер асоціюється з квадратичним многочленом в (1), Юлія цікавилася ітераційними властивостями більш загального виразу, а саме

\(z^4 + \frac{z^3}{z-1} + \frac{z^2}{z^3 + 4 z^2 + 5} + c.\)

Набори Юлії, визначені рівнянням (1), можуть приймати всілякі форми, і невелика зміна\(c\) може дуже сильно змінити набір Юлії. У 1979 році за допомогою комп'ютера Б.Б. Мандельброт вивчив набори Julia і спробував класифікувати всі можливі форми і придумав нову форму: набір Мандельброта.

Вивчіть набори Julia в аплеті нижче. Збільшення або зменшення масштабу в різних регіонах. Змініть кількість ітерацій і спостерігайте за тим, що відбувається з сюжетом. Перемістіть курсор миші і спостерігайте різні набори Julia в залежності від значення\(c\).

+: Збільшити масштаб -: Зменшити R = Скинути вигляд I = Інформація та кадр

Мандельброт і Джулія встановлює зв'язок

Завдяки визначенню множини Мандельброта існує тісна відповідність між геометрією набору Мандельброта в даній точці і будовою відповідної множини Юлії. Іншими словами, набір Мандельброта утворює своєрідний індекс у безлічі Юлії. Набір Julia або підключений, або відключений, значення\(c\) вибраних зсередини набору Мандельброта підключаються, тоді як ті, що знаходяться ззовні набору Мандельброта, відключені. Відключені набори часто називають пилом, вони складаються з окремих точок незалежно від того, в якому дозволі вони розглядаються.

Дослідіть взаємозв'язок між множинами Мандельброта та Джулії в наступному аплеті. Наведіть курсор миші на набір Мандельброта, щоб спостерігати різні набори Джулії. Збільшення або зменшення масштабу в різних регіонах. Відкрийте меню Керування, щоб змінити кількість ітерацій або вибрати конкретне значення\(c\).

+: Збільшити масштаб -: Зменшити R = Скинути вигляд I = Інформація та кадр

Відкрити в окремій вкладці

Подальше читання

Аплети були зроблені за допомогою p5.js і вихідний код можна знайти:

Якщо ви хочете навчитися програмувати його самостійно, рекомендую вам цей підручник:

Кодування виклик: Юлія набір

Нарешті, я рекомендую вам два найбільш широко прочитаних основних вступу до наборів Мандельброта та Джулії:

Краса фракталів Хайнц-Отто Пейтген та Пітер Ріхтер, Мюнхен: Спрингер-Верланг, 1986.
Кольори нескінченності, Найджел Лесмуар-Гордон (ред.), Лондон: Спрінгер-Верланг, 2010.

Вони обидва охоплюють інші захоплюючі фрактали і містять багато ефектних картинок.