5.4: Класифікація сингулярностей
- Page ID
- 62649
порція
\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {принципал}
\ frac {b_1} {z-z_0} +\ frac {b_2} {(z-z_0) ^2} +\ frac {b_3} {(z-z_0) ^3} +\ cdots
\ кінець {екнаррей}\)
ряду Лорана, що включає негативні сили\(z−z_0,\), називається основною частиною\(z−z_0,\) at\(z_0\). Коефіцієнт\(b_1\) в рівнянні (1), виявляється, відіграє дуже особливу роль в комплексному аналізі. Їй дається спеціальна назва: залишок функції\(f(z)\). У цьому розділі ми зупинимося на головній частині для ідентифікації ізольованої сингулярної точки\(z_0\) як одного з трьох спеціальних типів.
поляки
Якщо\(f\) основна частина at\(z_0\) містить принаймні один ненульовий член, але кількість таких членів є лише скінченною, то існує\(m≥1\) таке ціле число, яке
\(b_m\neq 0 \quad\text{and} \quad b_{k}=0\quad \text{for}\quad k\gt m.\)
При цьому ізольована\(z_0\) особлива точка називається полюсом порядку\(m\). Полюс порядку зазвичай\(m=1\) називають простим полюсом.
Приклади
Розглянемо функції
\(f(z)=\dfrac{e^z-1}{z^2},\qquad g(z)=\frac{\cos z}{z^2}\qquad\text{and}\qquad h(z)=\frac{\sinh z}{z^4},\)
з ізольованою сингулярністю в\(z_0=0\). На малюнках 1, 2 і 3 показані посилені фазові портрети цих функцій, визначених у\(|\text{Re }z|\lt 3\) квадраті і\(|\text{Im }z|\lt 3\).
Тепер із покращених фазових портретів ми можемо спостерігати, що насправді\(z_0=0\) є полюсом, порядок якого також можна легко побачити, це лише кількість ізохроматичних променів одного (довільно обраного) кольору, які зустрічаються в цій точці. Таким чином, ми можемо стверджувати\(f\), що,\(g\) і hh мають полюси порядку 1, 2 і 3; відповідно. Щоб підтвердити це, давайте обчислимо подання серії Лорана з центром\(0\). Спочатку зауважте, що
\ (\ begin {екнаррай*}
f (z) &=&\ frac {1} {z^2}\ лівий [\ лівий (1 + z +\ frac {z^2} {2!} +\ cdots\ праворуч) - 1\ праворуч]\\
&=&\ frac {1} {z}
+\ frac {1} {2!} +\ frac {z} {3!} +\ гідророзриву {z^2} {4!} +\ cdots,\ quad (0\ lt|z|\ lt\ infty).
\ end {еканаррей*}\)
Таким чином, ми можемо побачити, що\(f\) має простий полюс. З іншого боку
\ (\ begin {еканаррай*}
г (z) &=&\ frac {1} {z^2}\ left (1-\ frac {z^2} {2!} +\ гідророзриву {z^4} {4!} -\ cdots
\ праворуч)\\
&=&\ frac {1} {z^2} -\ frac {1} {2!} +\ гідророзриву {z^2} {4!} -\ cdots,\ quad (0\ lt|z|\ lt\ intty)
\ кінець {екнаррай*}
\)
то gg має полюс порядку 2. Нарешті,\(h\) має полюс порядку 3, оскільки
\ (\ begin {еканаррай*}
h (z) &=&\ frac {1} {z^4}\ ліворуч (z+\ frac {z^3} {3!} +\ гідророзриву {z^5} {5!} +\ cdots\ праворуч)\\
&=&\ frac {1} {z^3} +\ frac {1} {3!} \ cdot
\ frac {1} {z} +\ frac {z} {5!} +\ гідророзриву {z^3} {7!} +\ cdots,\ quad (0\ lt|z|\ lt\ infty).
\ end {еканаррей*}
\)
Знімна сингулярність
Коли кожен\(b_n\) дорівнює нулю, так що
\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {residue003}
f (z) =\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} a_n (z-z_0) ^n,\ квад (0\ lt |z_z_0|\ lt R_2).
\ end {еканаррей}\)
У цьому випадку\(z_0\) відома як знімна сингулярна точка. Зверніть увагу, що залишок у знімній одиничній точці завжди дорівнює нулю. Якщо ми визначимо або, можливо, перевизначити\(f(z_0) = a_0\),\(f\) при цьому\(z_0\) розширення (2) стає дійсним по всьому диску\(|z - z_0| \lt R_2\). Оскільки степеневий ряд завжди представляє аналітичну функцію всередині його кола збіжності, випливає,\(f\) що аналітичний,\(z_0\) коли йому присвоюється значення\(a_0\) там. Таким чином,\(z_0\) сингулярність видаляється.
Приклади
Розглянемо функції
\(f(z)=\frac{1-\cos z}{z^2},\qquad g(z)=\frac{\sin z}{z}\qquad\text{and}\qquad h(z)=\frac{z}{e^z-1}.\)
На малюнку показані розширені фазові портрети цих функцій, визначених в\(|\text{Re }z|\lt 8\) квадраті і\(|\text{Im }z|\lt 8\).
Ми помічаємо, що\(f\) має особливість,\(z_0=0\) але в цьому випадку сюжет не показує ізохроматичних ліній, що зустрічаються в цьому місці. Це вказує на те, що сингулярність може бути знімною.
Ми можемо легко підтвердити цю претензію з представництва серії Laurent:
\ (\ begin {екнаррай*}
f (z) &=&\ frac {1} {z^2}\ ліворуч [1-\ ліворуч (1-\ frac {z^2} {2!} +\ гідророзриву {z^4} {4!} -\ гідророзриву {z^6} {6!} +\ cdots
\ право)\ право]\\
&= &\ frac {1} {2!} -\ гідророзриву {z^2} {4!} +\ гідророзриву {z^4} {6!} -\ cdots,\ quad (0\ lt |z|\ lt\ infty).
\ end {еканаррей*}\)
При цьому при присвоєнні значення\(f(0)=1/2\)\(f\) стає цілим. Крім того, ми можемо інтуїтивно спостерігати, що оскільки\(z=0\) це знімна особлива точка\(f\), то\(f\) повинна бути аналітичною та обмеженою в деякому віддаленому районі\(0\lt |z|\lt \varepsilon\).
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Знайдіть розширення серії Лорана для\(g\) і\(h\) підтвердити, що вони мають знімні особливості на\(z_0=0\).
Істотна сингулярність
Якщо нескінченне число коефіцієнтів\(b_n\) у головній частині (1) є ненульовим, то\(z_0=0\) вважається істотною особливою точкою\(f\).
Приклади
Функція
\(f(z)=\exp\left(\frac{1}{z}\right)\)
має істотну сингулярність\(z_0=0\) з тих пір
\ (\ begin {екнаррай*}
f (z) &=&1+\ frac {1} {1!} \ cdot\ frac {1} {z} +\ frac {1} {2!} \ cdot
\ frac {1} {z^2} +\ cdots\\
&=&\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ frac {1} {n!} \ cdot\ frac {1} {z^n},\ квад (0\ lt |z|\ lt\ infty).
\ end {еканаррей*}\)
На малюнку 7 показаний посилений портрет\(f\) в квадраті\({|\text{Re }z|\lt 0.5}\) і\({|\text{Im }z|\lt 0.5}\). Перше, що ми помічаємо, це те, що поведінка\(f\) поблизу істотної однини є досить нерегулярною. Поспостерігайте, як ізохроматичні лінії, поблизу\(z_0=0\), утворюють нескінченні самодостатні форми вісімки.
Насправді, сусідство\(z_0=0\) перетинає нескінченно багато ізохроматичних ліній фазового портрета одного і того ж кольору [Вегерт, 2012, стор. 181]. Цей факт можна оцінити інтуїтивно, склавши простий фазовий портрет\(exp\,(1/z)\) на меншій області, як показано на малюнку 8.
Ще одним прикладом із суттєвою сингулярністю на початку є функція.
\(g(z) = (z − 1) \cos\left(\frac{1}{z}\right)\)
На малюнку 9 показаний посилений фазовий портрет\(g\) в квадраті\(|\text{Re } z| \lt 0.3\) і\(|\text{Im } z| \lt 0.3\).
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Знайдіть розширення серії Лорана,\((z − 1) \cos\,(1/z)\) щоб підтвердити, що воно має важливу особливість на\(z_0=0\).
Фінальне зауваження
Фазові портрети є досить корисними для розуміння поведінки функцій поблизу ізольованих сингулярностей. Цифри 7 і 9 вказують на досить дику поведінку цих функцій у сусідстві з істотними особливостями, порівняно з полюсами та знімними сингулярними точками. Крім того, їх можна використовувати для дослідження та розуміння, з геометричної точки зору, більш абстрактних математичних результатів, таких як Теорема Великого Пікара, яка говорить нам, що будь-яка аналітична функція з істотною особливістю\(z_0\) приймає всі можливі складні значення ( з максимум єдиним винятком) нескінченно часто в будь-якому районі\(z_0\).
