5.3: Серія Лоран

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62636

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нагадаємо, що функція\(f\) комплексної змінної\(z\) є аналітичною в точці,\(z_0\) якщо вона має похідну в кожній точці в деякому районі\(z_0\). Ціла функція - це функція, яка є аналітичною в кожній точці у всій скінченній площині. Якщо функція\(f\) не може бути аналітичною в точці,\(z_0\) але є аналітичною в якийсь момент в кожному районі\(z_0\), то\(z_0\) називається одниною точкою, або сингулярністю, з\(f\).

Припустимо\(f(z)\), що або будь-яка однозначна гілка\(f(z)\), якщо\(f(z)\) багатозначна, є аналітичною в регіоні,\(0\lt|z-z_0|\lt R\) а не в точці\(z_0\). Тоді точка\(z_0\) називається ізольованою одниною точкою\(f(z)\).

Тепер нагадайте також, що будь-яка функція, яка аналітична на диску,\(|z -z_0|\lt R_0\) повинна мати серію Тейлора о\(z_0\). Якщо функція не може бути аналітичною в точці\(z_0\), часто можна знайти серійне подання для\(f(z)\) залучення як позитивних, так і негативних повноважень\(z−z_0\). Формально кажучи, ми маємо наступний результат:

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Припустимо,\(f\) що функція аналітична по всій кільцевої області\(R_1 \lt |z - z_0| \lt R_2\), в центрі\(z_0\), і нехай\(C\) позначають будь-який позитивно орієнтований простий замкнутий контур навколо\(z_0\) і лежить в цій області. Потім, у кожній точці домену,\(f(z)\) має серійне подання

\ (\ почати {екнаррей}\ мітка {Лоурентфункція}
f (z) =\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} a_n (z-z_0) ^n+\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {b_n} {(z-z_0) ^n},
\ кінець {екнаррей}\)

де

\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {неосновна частина}
a_n=\ frac {1} {2\ pi i}\ pi i}\ oint_c\ frac {f (z) dz} {(z-z_0) ^ {n+1}},\ квадрат n = 0,1,2,\ ldots
\ кінець {екнаррей}\)

\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {основна частина}
b_n=\ frac {1} {2\ pi i}\ pi i}\ oint_c\ frac {f (z) dz} {(z-z_0) ^ {-n+1}},\ квадрат n = 1,2,\ ldots
\ кінець {екнаррей}\)

Кільцеве кільце — **Малюнок 1:\(f(z)\)** *аналітичний по всій кільцевій області\(R_1 \lt |z - z_0| \lt R_2\)*.

На практиці наведені вище інтегральні формули (2) і (3) можуть не запропонувати найбільш практичний метод обчислення коефіцієнтів\(a_n\) і\(b_n\) для заданої функції\(f(z)\); натомість часто з'єднують ряди Лорана, поєднуючи відомі розширення Тейлора. Оскільки розширення функції Лоран є унікальним всякий раз, коли вона існує, будь-який вираз цієї форми, яка насправді дорівнює даній функції\(f(z)\) в деякому кільцевому просторі, насправді має бути розширенням Лорана\(f(z)\).

Наприклад, розглянемо функцію

\(f(z)=\frac{1}{z(1+z^2)}\)

який має ізольовані особливості при\(z=0\) і\(z=±i\). У цьому випадку існує подання серії Лорана для домену,\(0\lt |z|\lt 1\) а також для домену\(1\lt |z|\lt \infty\), який є зовнішнім до кола\(|z|=1\). Щоб знайти кожну з цих серій Лорана, ми згадуємо уявлення серії Маклоріна

\(\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n,\quad |z|\lt 1.\)

Для домену\(0\lt |z|\lt 1\) у нас є

\ (\ почати {екнаррай*}
f (z) &=&\ frac {1} {z}\ frac {1} {1+z^2} =\ frac {1} {z}\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ ліворуч (-z^2\ праворуч) ^n\\
&=&\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} (-1) ^nz^ {2n-1}\\
&= &\ розриву {1} {z} +\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} (-1) ^nz^ {2n-1}\\
&=&\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} (-1) ^ {n+1} z^ {2n+1} +\ розриву {1} {z}.
\ end {еканонрай*}\)

З іншого боку, коли\(1\lt |z|\lt \infty\),

\ (\ почати {екнаррай*}
f (z) &= &\ frac {1} {z^3}\ frac {1} {1+\ frac {1} {z^2}} =\ frac {1} {z^3}\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ ліворуч (-\ frac {1} {z^2}
\ праворуч) n\\
& =&\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ frac {(-1) ^n} {z^ {2n+3}}\\
&=& підсилювач;\ сума_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {(-1) ^ {n+1}} {z^ {2n+1}}
\ кінець {еканрай*}\)

У цій останній частині ми використовуємо те, що\((-1)^{n-1}=(-1)^{n-1}(-1)^2=(-1)^{n+1}\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Розгорнути\(f(z)=e^{3/z}\) в серії Laurent, що діє для\(0\lt |z| \lt \infty\).