5.2: Серія Тейлора

Для реальних функцій

\(f(x)\)Дозволяти\(a\in \mathbb R\) і бути і нескінченно диференційовні функції на інтервалі,\(I\) що містить\(a\). Тоді одновимірний ряд Тейлора\(f\) навколо\(a\) задається

\(f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+\frac{f’’(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots\)

які можна написати в максимально компактному вигляді:

\(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.\)

Нагадаємо, що в реальному аналізі теорема Тейлора дає наближення\(k\) диференційовної функції навколо заданої точки поліном Тейлора\(k\) -го порядку.

Наприклад, найкраще лінійне наближення\(f(x)\) для

\(f(x)\approx f(a)+f′(a)(x−a).\)

Це лінійне наближення підходить\(f(x)\) до лінії\(x=a\), яка відповідає нахилу\(f\) at\(a\).

Для кращого наближення ми можемо додати інші терміни в розширенні. Наприклад, найкращим квадратичним наближенням є

\(f(x)\approx f(a)+f’(a)(x−a)+\frac12 f’’(a)(x−a)^2.\)

Наступний аплет показує часткові суми ряду Тейлора для заданої функції. Перетягніть повзунок, щоб показати більше термінів серії. Перетягніть точку a або змініть функцію.

 

ІНТЕРАКТИВНИЙ ГРАФІК

 

---

Для складних функцій

Припустимо,\(f\) що функція аналітична по всьому диску\(|z -z_0|< R\), по центру\(z_0\) і з радіусом\(R_0\). Потім\(f(z)\) має представлення силового ряду

\ (\ begin {екнаррай}\ мітка {seriefunction}
f (z) =\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} a_n (z-z_0) ^n,\ quad |Z-Z_0|<r,
\ end {eqnarray}\)

де

\ (\ почати {екнаррай}
a_n=\ frac {f^ {(n)} (z_0)} {n!} ,\ квадратний n = 0,1,2,\ ldots
\ end {еквалайзер}
\)

Тобто серія (1) сходиться до того,\(f(z)\) коли\(z\) лежить в заявленому відкритому диску.

Кожен складний силовий ряд (1) має радіус збіжності. Аналогічно поняттю інтервалу збіжності для дійсних степеневих рядів, комплексний степеневий ряд (1) має коло збіжності, що представляє собою коло з центром\(z_0\) найбільшого радіуса,\(R>0\) для якого (1) сходиться в кожній точці кола\(|z−z_0|=R\). Силовий ряд сходиться абсолютно у всіх точках\(z\) в межах свого кола зближення, тобто для всіх\(z\) задовольняє\(|z−z_0|<R\), і розходиться у всіх точках\(z\) зовні до кола, тобто для всіх\(z\) задовольняє\(|z−z_0|>R\). Радіус збіжності може бути:

1. \(R=0\)(в цьому випадку (1) сходиться тільки в його центрі\(z=z_0\)),
2. \(R\)скінченне додатне число (у цьому випадку (1) сходиться у всіх внутрішніх точках кола\(|z−z_0|<R\), або
3. \(R=∞\)(в цьому випадку (1) сходиться для всіх\(z\)).

Радіус збіжності можна обчислити за допомогою тесту коефіцієнта збіжності. Наприклад, якщо:

1. \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L\neq 0\), Радіус сходження дорівнює\(R=\dfrac{1}{L}\);
2. \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}  \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= 0\), Радіус сходження дорівнює\(R=∞\);
3. \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}  \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= \infty\), Радіус збіжності дорівнює\(R=0\).

---

Динамічна розвідка

Використовуйте наступний аплет, щоб вивчити уявлення серії Тейлора та його радіус збіжності, який залежить від значення\(z_0\).

У лівій частині аплету нижче буде показано фазовий портрет складної функції. На правій стороні ви можете побачити наближення функції через поліноми Тейлора в блакитній базовій точці\(z_0\). Комплексна функція, базова точка\(z_0\), порядок многочлена (вертикальний повзунок) і масштабування (горизонтальний повзунок) можуть бути змінені.

 

ІНТЕРАКТИВНИЙ ГРАФІК

 

 

---

Серія Маклорен

Серія Тейлора з центром\(z_0=0\)

\(f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n\)

згадується як серія Маклорен.

Деякі важливі серії Maclaurin:

\ (\ почати {еканаррей*}
\ стиль відображення\ frac {1} {1-z} &=&\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} z^n,\ квад |z|\ lt 1;\
\ стиль відображення e^z &= &\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ frac {z^n} {n!} \ квад |z|\ lt\ infty;\
\ стиль відображення\ sin z &= &\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} (-1) ^n\ frac {z^ {2n+1}} {n!} \ квад |z|\ lt\ infty;\
\ стиль відображення\ cos z &= &\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} (-1) ^n\ frac {z^ {2n}} {n!} \ квад |z|\ lt\ infty;\
\ стиль відображення\ sinh z &= &\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ frac {z^ {2n+1}} {n!} \ квад |z|\ lt\ infty;\
\ стиль відображення\ cosh z &= &\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ frac {z^ {2n}} {n!} \ квадрат |z|\ lt\ infty;
\ кінець {еканаррай*}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа: Знайдіть розширення функції серії Маклорена

\(f(z)=\frac{z}{z^4+9}\)

і обчислити радіус збіжності.

---

Примітка

Спочатку аплет був написаний Аароном Монтагом за допомогою CindyJS. Джерело можна знайти на GitHub.