5.1: Серія
- Page ID
- 62648
Серія
збіжність послідовностей
Нескінченна\(\left\{z_1,z_2,z_3 \ldots\right\}\) послідовність комплексних чисел має\(z\) межу, якщо для кожного додатного числа\(ε\) існує додатне число\(n_0\) таке, що
\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {seq}
\ left|z_n-z\ праворуч |<\ varepsilon\ quad\ text {whenever}\ quad n > n_0.
\ end {екнаррарій}\)
Геометрично це означає, що при досить великих значеннях точки\(n\)\(z_n\) лежать в будь-якому заданому\(ε\) районі\(z\) (рис. 1). Оскільки ми можемо вибрати якомога менше,\(ε\) як нам заманеться, випливає, що точки\(z_n\) стають довільно близькими до того,\(z\) як їх індекси збільшуються. Зверніть увагу, що значення\(n_0\) того, що потрібно, буде, в загальному, залежати від величини\(ε\).
Послідовність\(\left\{z_n\right\}_{n=1}^{\infty}\) може мати максимум одну межу. Тобто ліміт\(z\) є унікальним, якщо він існує. Коли ця межа існує, послідовність, як кажуть, сходиться до\(z\); і ми пишемо
\ (\ почати {еканаррай*}
\ lim_ {n\ rightarrow\ infty} z_n=z
\ end {екнаррай*}\)
Якщо послідовність не має меж, вона розходиться.
Теорема\(\PageIndex{1}\)
Припустимо, що\(z_n=x_n+iy_n\left ( n=1,2,3,\ldots \right )\) і\(z=x+iy\). Тоді
\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {teoseq01}
\ lim_ {n\ стрілка вправо\ infty} z_n=z
\ кінець {екнаррай}\)
якщо і тільки якщо
\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {teoseq02}
\ lim_ {n\ стрілка вправо\ infty} x_n = х\ квад\ текст {і}\ квад\ lim_ {n\ rightarrow\ infty} y_n=y.
\ кінець {eqnarray}\)
- Доказ
-
Щоб довести цю теорему, спочатку припустимо, що умови (3) дотримуються. Тобто існують, для кожного\(ε>0\), натуральні числа\(n_1\) і\(n_2\) такі, що
\(|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\quad \text{whenever} \quad n>n_1\)
і\(|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}\quad \text{whenever} \quad n>n_2.\)
Отже\(n_0\), якщо є більшим з двох цілих чисел\(n_1\) і\(n_2\),\ (|x_n-x|<\ frac {\ varepsilon} {2}\ quad\ text {і}\ quad |y_n-y|<\ frac {\ varepsilon} {2}\ quad
Так як
\ text {всякий раз}\ quad n > n_0.\)\(|(x_n+iy_n)-(x+iy)|=|(x_n-x)+(y_n-y)|\leq |x_n-x|+|y_n-y|,\)
потім\(|z_n-z|< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \quad \text{whenever} \quad n > n_0.\)
Тому умова (2) тримає.І навпаки, якщо ми починаємо з умови (2), ми знаємо\(\varepsilon\), що для кожного додатного числа існує додатне число\(n_0\) таке, що
\(|(x_n+iy_n)-(x+iy)|<\varepsilon \quad \text{whenever} \quad n>n_0.\)
Однак\(|x_n-x|\leq |(x_n-x)+(y_n-y)|=|(x_n+iy_n)-(x+iy)|\)
і\(|y_n-y|\leq |(x_n-x)+(y_n-y)|=|(x_n+iy_n)-(x+iy)|.\)
Отже\ (|x_n-x|<\ varepsilon\ quad\ text {і}\ quad |y_n-y|<\ varepsilon\ quad\ text {всякий раз}\ quad n
> n_0.\)Тому умови (3) виконуються. ■
Конвергенція рядів
Нескінченна серія
\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {series01}
\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} z_n=z_1+z_2+z_3+\ cdots
\ кінець {екнаррай}\)
комплексних чисел сходиться до суми,\(S\) якщо послідовність
\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {часткова сума}
\ sum_ {n=1} ^ {N} z_n=z_1+z_2+z_3+\ cdots +z_n\ quad (N = 1,2,3,\ ldots)
\ кінець {екнаррай}\)
часткових сум сходиться до\(S\); ми потім записуємо
\(\sum_{n=1}^{\infty}z_n=S.\)
Зауважте, що оскільки послідовність може мати не більше однієї межі, ряд може мати не більше однієї суми. Коли ряд не сходиться, ми говоримо, що він розходиться.
Теорема\(\PageIndex{2}\)
Припустимо, що\(z_n=x_n+iy_n\left ( n=1,2,3,\ldots \right )\) і\(S=X+iY\). Тоді
\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {teo01}
\ sum_ {n=1} ^ {\ inty} z_n=s
\ кінець {екнаррай}\)
якщо і тільки якщо
\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {teo02}
\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} x_n = x\ квадратний\ текст {і}\ квад\ сума {n=1} ^ {\ intty} y_n=y.
\ кінець {екнаррай}\)
- Доказ
-
Щоб довести цю теорему, спочатку запишемо часткові суми (5) як
\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {teo03}
де
S_N = x_n+IY_n,
\ кінець {екнаррай}\)\(X_N = \sum_{n=1}^{N}x_n \quad \text{and}\quad Y_N = \sum_{n=1}^{N}y_n.\)
Тепер оператор (6) істинний, якщо і тільки якщо\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {teo04}
і, зважаючи на відношення (8) та теорему 1 про послідовності, межа (9) тримає тоді і тільки тоді, коли
\ lim_ {N\ стрілка вправо\ intty} S_N = S;
\ кінець {екнаррай}\)\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {teo05}
\ lim_ {N\ стрілка вправо\ infty} X_N = X\ quad\ текст {і}\ quad\ lim_ {N\ rightarrow\ infty} Y_N=Y.
\ end {eqnarray}\)Тому обмеження (10) мають на увазі твердження (6), і навпаки. Оскільки\(X_N=X\) і\(Y_N=Y\) є частковими сумами ряду (7), теорема доведена. ■
Ця теорема може бути корисною для показу того, що ряд знайомих властивостей рядів у численні переносяться на ряди, чиї члени є комплексними числами.
Властивість 1: Якщо серія комплексних чисел сходиться,\(n\) -й член сходиться до нуля, як\(n\) прагне до нескінченності.
З Властивості 1 випливає, що терміни збіжних рядів обмежені. Тобто, коли серія (4) сходиться, існує позитивна константа\(M\) така, що
\(|z_n| \leq M \; \text{ for each positive integer } n.\)
Ще однією важливою властивістю рядів комплексних чисел, що випливає з відповідної властивості в численні, є наступне.
Властивість 2: Абсолютна збіжність ряду комплексних чисел передбачає збіжність цього ряду.
Нагадаємо, що серія (4) вважається абсолютно збіжною, якщо серія
\ (\ почати {екнаррай*}\ мітка {series02}
\ сума_ {n=1} ^ {\ infty} |z_n|=\ сума {n = 1} ^ {\ infty}\ sqrt {x^2_n+y^2_n}\ квад (z_n = x_n+iy_n)
\ кінець {екнаррай*}\)
дійсних чисел\(\sqrt{x^2_n+y^2_n}\) сходиться.
Щоб встановити той факт, що сума ряду - це задане число\(S\), часто зручно визначити залишок\(ρN\) після\(N\) термінів, використовуючи часткові суми:
\ (\ begin {екнаррай*}\ мітка {series03}
\ rho_n=S-S_n
\ кінець {екнаррай*}\)
Таким чином\(S=S_N+\rho_N\). Тепер, оскільки\(|S_N-S|=|\rho_N-0|\), то ряд сходиться до числа\(S\) тоді і тільки тоді, коли послідовність залишків прагне до нуля.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
За допомогою залишків легко переконатися, що
\ (\ почати {екнаррай*}
\ сума_ {n=0} ^ {\ infty} z^n=\ frac {1} {1-z}\ квад\ текст {всякий раз}\ квад |z|< 1
\ end {eqnarray*}\)
Потрібно лише згадати особистість
\(1+z+z^2+\cdots+z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\)
записати часткові суми
\ (\ почати {екнаррай}
S_N (z) =\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} z^n = 1+z+z^2+\ cdots+z^ {N-1}\ квад\ квадрад (z\ neq 1)
\ кінець {екнаррай}\)
як
\(S_N(z)=\frac{1-z^N}{1-z}.\)
Якщо
\(S(z)=\frac{1}{1-z}\)
потім
\(\rho_N(z)=S(z)-S_N(z)=\frac{z^N}{1-z}\quad\quad(z\neq 1).\)
Таким чином
\(\left|\rho_N\right|=\frac{|z|^N}{|1-z|}\rightarrow 0\quad\text{only when}\quad |z|<1.\)
У цьому випадку зрозуміло, що залишки\(\rho_N\) прагнуть до нуля, коли,\(|z|<1\) але не коли\(|z|\geq 1\)
Геометрична серія розвідки
Серія, представлена в попередньому прикладі
\ (\ почати {екнаррай*}
\ сума_ {n=0} ^ {\ infty} z^n=\ frac {1} {1-z}\ квад\ текст {всякий раз}\ квад |z|< 1
\ end {eqnarray*}\)
відомий як геометричний ряд.
Скористайтеся наступним аплетом, щоб вивчити цю серію. Перетягніть точку\(z\) навколо. Поспостерігайте, що відбувається, коли він знаходиться всередині, зовні або на кордоні одиничного кола. Перетягніть повзунок, щоб показати часткову суму.
- Код
-
Введіть наступний скрипт в GeoGebra, щоб вивчити його самостійно і зробити свою власну версію. Символ # позначає коментарі.
#Complex number Z = 0.72 + ί * 0.61 #Circle of radius 1 c = Circle((0,0), 1) #Number of terms of the partial series n = Slider(0, 250, 1, 1, 150, false, true, false, false) SetValue(n, 250) #Define the sequence z^n S = Join({0 + ί * 0, 1 + ί * 0}, Sequence(Z^j, j, 1, n)) #Define partial sum SP = Sequence(Sum(S, j), j, 1, n + 2) #Finally join the points of the partial sum L = Sequence(Segment(Element(SP, j), Element(SP, j + 1)), j, 1, n + 1)