4.3: Інтеграли функцій з розрізами гілок
- Page ID
- 62689
Якщо розглядати багатозначні функції, шлях у контурному інтегралі може містити точку на розрізі гілки задіяного цілогранда. Наступні два приклади ілюструють це.
Приклад 1
\(C\)Дозволяти бути напівкругла доріжка від\(z_{0}=3\) до\(z_{1}=-3\). Тобто\(z\left ( \theta \right )=3e^{i\theta }\), з\(0\leq \theta \leq \pi \). Тут ми хотіли б оцінити інтеграл
\ (\ begin {екнаррай}\ мітка {ex-01}
I =\ int_c z^ {1/2} дз.
\ end {еканаррей}\)
Для цього нам потрібно вибрати певну гілку багатозначної функції\(z^{1/2}\). Наприклад, ми будемо використовувати основну гілку
\ (\ почати {екнаррай}
|з|> 0,\; -\ pi\ lt\ textbf {Арг}\, (z)\ lt\ pi.
\ end {еканаррей}\)
У цьому випадку зверніть увагу, що хоча основна гілка\(z^{1/2}=exp\left ( \frac{1}{2} Log\,z\right )\) не визначена в кінцевій\(z_{1}=-3\) точці контуру\(C\), інтеграл\(I\) все ж існує.
Скористайтеся наступним аплетом, щоб вивчити значення\(I\) для заданого контуру\(C\). Просто перетягніть точки\(z_{0}\) і\(z_{1}\) до відповідних значень. Ви також можете вибрати інші контури та вивчити, що відбувається, коли вони перетинають зріз гілки\(\left \{ z:x=0\,and\,y\leq 0 \right \}\).
ІНТЕРАКТИВНИЙ ГРАФІК
Як ви вже зрозуміли, інтеграл (1) існує тому, що integrand є кусково безперервним на\(C\). Щоб підтвердити це, спостерігайте, що коли\(z\left ( \theta \right )=3e^{i\theta }\), то
\(f\left ( z\left ( \theta \right ) \right )=exp\left ( \frac{1}{2}ln3+i\theta \right )=\sqrt{3}e^{i\theta /2}\).
Ліві межі дійсної та уявної складових функції
\ (\ почати {екнаррай*}
f\ ліворуч (z (\ тета)\ справа) z' (\ тета) &=&\ sqrt {3} e^ {i\ theta/2}\ cdot 3ie^ {i\ тета}\\
&=& 3\ sqrt {3} i\, e^ {i3\ theta/2}\\
&=-3\ sqrt {3}\ sin\ frac {3\ тета} {2} + i\, 3\ sqrt {3}\ cos\ frac {3 \ тета} {2}\ quad (0\ leq\ тета
\ lt\ pi)
\\ кінець {екнаррай*}\)
в\(\theta =\pi \) існувати. Тобто
\ (\ почати {екнаррай*}
\ lim_ {\ тета\ права стрілка\ pi+} -3\ sqrt {3}\ sin\ frac {3\ тета} {2} = 3\ sqrt {3}
\ квад\ lim_ {\ тета\ правий\ pi+} 3\ sqrt {3}\ cos\ frac {3\ frac {3\ theta} {2} = 0. \\
\ кінець {екнаррай*}\)
Це означає, що\(f(z(θ))z′(θ)\) є безперервним на замкнутому інтервалі,\(0 \leq \theta \leq \pi\) коли його значення at\(\theta = \pi\) визначається як\(3\sqrt{3}\). Тому
\ (\ почати {екнаррай*}
Я &= &\ int_c f\ лівий (z (\ тета)\ праворуч) z' (\ тета)\, d\ theta= 3\ sqrt {3} i\ int_0^ {\ pi} e^ {i\ тета /2} d\ тета
= 3\ sqrt {3} i\ bigg [\ bigg. \ frac {2} {3i} e^ {i3\ тета /2}\ bigg|_ {0} ^ {\ pi}\ Bigg]\\
&= & 3\ sqrt {3} i\ великий [-\ frac {2} {3i}\ лівий (1+i\ правий)\ Великий] = -2\ sqrt {3} (1+i).
\ end {еканаррей*}\)
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Вправа 1: Оцініть\(\int_C z^{1/2}\, dz\) для контуру\(C: z(\theta)= e^{i\theta}\), с\(-\pi\leq \theta \leq \pi\). Ви можете скористатися аплетом для підтвердження результатів.
Зауваження 1: Не можна оцінити інтеграл для контуру\(C: z(t)= e^{it}\), с\(0 \leq t \leq 2\pi\). Чому?
Зауваження 2: Зверніть увагу, що\(\int_C z^{1/2}\, dz=0\) для будь-якого кола не перетинається гілка виріжте\(\{z\,:\, x =0 \text{ and } y \leq 0\}\). Чому?
Приклад 2
Розглянемо основну гілку
\ (\ почати {eqnarray}\ мітка {br}
f (z) =z^ {i} =\ exp\ ліворуч [i\,\ text {Журнал} z\ право]\;\ текст {з}\; |z|>0,\, -\ pi\ lt\ text {Arg} z\ lt\ pi
\ end {eqnarray}\)
і\(C\) верхня половина кола від\(z=−1\) до\(z=1\); тобто\(z(t)=-e^{-i \pi t}\) с\(0≤t≤1\).
Переконатися в тому, що
\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {ex-02}
I=\ int_c z^ {i}\, dz &=&\ frac {1+e^ {-\ pi}} {2}\, (1-i).
\ end {еканаррей}\)
Скористайтеся наступним аплетом, щоб підтвердити це. Ви також можете аналізувати\(\int_C z^idz\) для інших контурів.
ІНТЕРАКТИВНИЙ ГРАФІК
Зауваження 3: Зверніть увагу, що\(\int_C z^{i}\, dz=0\) для будь-якого кола не перетинається гілка виріжте\(\{z\,:\, x =0, y \leq 0\}\). Чому?
Загалом, ми можемо обчислити\(\int\) для будь-якого контуру\(C\) від\(z=−1\) до\(z=1\) лежить над реальною віссю. Нам просто потрібно знайти антипохідне від\(z^{i}\). На жаль, ми не можемо використовувати основну гілку, визначену в (3), оскільки ця гілка навіть не визначена в\(z=−1\). А ось integrand можна замінити гілкою.
\(z^{i} = \exp \left[ i \,\text{log } z \right]\; \text{ with }\; |z|>0,\, -\frac{\pi}{2}\lt \text{arg } z \lt \frac{3\pi}{2}.\)
так як він погоджується з integrand разом\(C\).
Використовуючи антидериватив цієї нової гілки, отримаємо
\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {значення}
\ int_ {-1} ^ {1} z^i дз&=&\ Бігг. \ frac {z^ {i+1}} {i+1}\ Біг|_ {-1} ^ {1} =\ frac {1+e^ {-\ pi}} {2}\, (1-i),
\ end {eqnarray}\)
що є тим же значенням, що і (4).
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Оцініть,\(\bigg.\frac{z^{i+1}}{i+1}\bigg|_{-1}^{1}\) щоб підтвердити значення (5).