2.4: Логарифмічна функція

 

Розглянемо\(z\) будь-яке ненульове комплексне число. Ми хотіли б вирішити для\(w\), рівняння

\ (\ begin {екнаррай}\ мітка {log1}
e^w=z.
\ end {екнаррай}\)

Якщо\(Θ=Arg\,(z)\) з\(-\pi < \Theta < \pi \), то\(z\) і\(w\) можна записати наступним чином

\(z=re^{i\Theta }\)і\(w=u+iv\).

Тоді рівняння (1) стає

\(e^{u}e^{iv}=re^{i\Theta }\).

Таким чином, ми маємо

\(e^{u}=r\)і\(v=\Theta +2n\pi \)

де\(n\in \mathbb{Z}\). Оскільки\(e^{u}=r\) таке ж\(u=ln\,r\), як, випливає, що рівняння (1) задовольняється тоді і тільки тоді,\(w\) коли має одне з значень

\(w=ln\,r+i\left ( \Theta +2n\pi  \right )\,\,\,\left ( n\in \mathbb{Z} \right )\).

Тому (багатозначна) логарифмічна функція ненульової комплексної змінної\(z=re^{i\Theta }\) визначається за формулою

\ begin {eqnarray}\ мітка {log2}
\ log z=\ ln r +i\ ліворуч (\ тета+ 2n\ пі\ право)\ квад\ квад (n\ in\ mathbb Z).
\ end {еканаррей}

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад 1: Обчислити\(log⁡\,z\) для\(z=-1-\sqrt{3}i\).

Рішення: Якщо\(z=-1-\sqrt{3}i\), то\(r=2\) і\(\Theta =-\frac{2\pi }{3}\). Звідси

\(log\,\left ( -1-\sqrt{3}i \right )=ln\,2+i\left ( -\frac{2\pi }{3}+2n\pi  \right )=ln\,2+2\left ( n-\frac{1}{3} \right )\pi i\)

с\(n\in \mathbb{Z}\).

Головним значенням\(log\,z\) є значення, отримане з рівняння (2), коли\(n=0\) і позначається\(Log\,z\). Таким чином

\(Log\,z=ln\,r+i\Theta \).

Функція\(Log\,z\) добре визначена і однозначна, коли\(z≠0\) і що

\(log\,z=Log\,z+2n\pi i\,\,\,\left ( n\in \mathbb{Z} \right )\)

Це зводиться до звичайного логарифму в численні, коли\(z\) є додатним дійсним числом.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад 2: Обчислити\(log\,⁡(1)\) і\(log\,⁡(−1)\).

Рішення: З виразу (2)

\(log\left (1  \right )=ln\,1+i\left ( 0+2n\pi  \right )=2n\pi i\,\,\,\left ( n\in \mathbb{Z} \right )\)

і

\(log\left (-1  \right )=ln\,1+i\left ( \pi +2n\pi  \right )=\left ( 2n+1 \right )\pi i\,\,\,\left ( n\in \mathbb{Z} \right )\)

Зверніть увагу, що\(Log\,(1)=0\) і\(log\,⁡(−1)=\pi i\).

Вираз (2) також еквівалентний наступному:

\ (\ почати {еканаррей*}
\ журнал z&=&\ ln |з| +i\,\ textbf {arg} (z)\\
&= &\ ln |z| +i\,\ textbf {Арг} (z) +2ni\,\ pi\ quad (n\ в\ mathbb Z)
\ кінець {екнаррай*}\)

Деякі основні властивості функції logzlogz такі:

1. \(\log \left(z_1 \,z_2\right)=\log z_1 + \log  z_2\)
2. \(\log\left( \dfrac{z_1}{z_2}\right)=\log z_1 -\log z_2\)
3. Там може триматися\(\text{Log}\,\left(z_1 \,z_2\right)\neq \text{Log}\, z_1 + \text{Log}\,  z_2\)

---

Гілки логарифмів

З визначення (2) нехай\(\theta = \Theta + 2n\pi  (n\in \mathbb Z)\), так що ми можемо написати

\ (\ begin {екнаррай}\ мітка {log30}
\ log z =\ ln r +i\ тета.
\ end {еканаррей}\)

Тепер, нехай\(\alpha\) буде будь-яке дійсне число. Якщо ми обмежуємо значення\(θ\) так\(\alpha < \theta < \alpha + 2n\pi\), що, то функція

\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {log3}
\ log z=\ ln r +i\ тета\ квад (r> 0,\ альфа <\ тета <\ альфа + 2\ pi),
\ end {eqnarray}\)

з компонентами

\ (\ begin {екнаррай*}
u (r,\ тета) =\ ln r,\ квад v (r,\ тета) =\ тета,
\ кінець {екнаррай*}\)

є однозначною і неперервною функцією в заявленій області.

Гілкою багатозначної функції\(f\) є будь-яка однозначна функція\(F\), яка є аналітичною в деякій області, в кожній точці якої\(z\) значення\(F(z)\) є одним із значень\(f\). Вимога аналітичності, звичайно,\(F\) заважає брати на себе випадковий вибір значень\(f\).

Зверніть увагу, що для кожного фіксованого α однозначна функція (4) є гілкою багатозначної функції (3). Функція

\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {log4}
\ text {Журнал} z=\ ln r +i\ тета\ квад (r> 0, -\ pi <\ тета <\ pi),
\ end {eqnarray}\)

називається головною гілкою.

Розріз гілки - це частина лінії або кривої, яка вводиться для\(F\) визначення гілки багатозначної функції\(f\). Точки на розрізі гілки для\(F\) є одниною точки\(F\), і будь-яка точка, яка є спільною для всіх розрізів\(f\) гілок називається точкою гілки. Походження та промінь\(\theta = \alpha\) складають гілку, вирізану для гілки (4) логарифмічної функції. Гілка, зрізана для головної гілки (5), складається з походження та\(ray= \pi\). Походження, очевидно, є точкою гілки для гілок багатозначної логарифмічної функції.

Ми можемо візуалізувати багатозначну природу за\(logz\) допомогою поверхонь Рімана. Наступні інтерактивні зображення показують реальну і уявну складові\(log⁡(z)\). Кожна гілка уявної частини ототожнюється різним кольором.

Особливу обережність слід дотримуватися при використанні гілок логарифмічної функції, тим більше, що очікувані тотожності за участю логарифмів не завжди переносяться з числення.

---

Фінальне зауваження

Зверніть увагу, що для\(z≠0\), у нас є

\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {exp001}
e^ {\ log z} =z\ квад\ текст {і}\ квад\ журнал (e^z) =z+2n\ pi i
\ end {eqnarray}
\)

с\(n\in \mathbb Z \).

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Розрахувати\(e^{\log z}\), і\(\log \left(e^z\right)\) для\(z=4i\).

Рішення

Якщо\(z=4i\), то\(e^z=e^{4i}\). Звідси

\(\log\left(e^{4i}\right)=4i +2n\pi i\)

с\(n\in \mathbb Z\). З іншого боку, у нас є

\(e^{\log\left(4i\right)}=4i\).