Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3: Комплексна диференціація

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62639

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Поняття комплексної похідної є основою теорії комплексних функцій. Визначення складної похідної аналогічно похідній дійсної функції. Однак, незважаючи на поверхневу схожість, складна диференціація - це глибоко інша теорія.

    Складна функція\(f(z)\) диференційовна в точці\(z_{0}\in \mathbb{C}\) тоді і лише тоді, коли існує наступний коефіцієнт граничної різниці

    \ (\ почати {екнаррай}\ мітка {diff01}
    f' (z_0) =\ lim_ {z\ rightarrow z_0}\ frac {f (z) -f (z_0)} {z-z_0}.
    \ end {еканаррей}\)

    Як варіант, здаючи\(\Delta z= z-z_{0}\), ми можемо написати

    \ (\ begin {eqnarray}\ мітка {
    diff02} f' (z_0) =\ lim_ {\ Дельта з\ правою стрілкою 0}\ frac {f (z_0+\ Дельта z) -f (z_0)} {\ Дельта z}.
    \ end {еканаррей}\)

    Ми часто скидаємо індекс\(z_{0}\) і вводимо номер

    \(\Delta w=f\left ( z+\Delta z \right )-f\left ( z \right )\).

    що позначає зміну значення, що\(w=f(z)\) відповідає зміні точки,\(Δz\) в якій\(f\) оцінюється. Тоді ми можемо записати рівняння (2) як

    \(\frac{dw}{dz}=\lim_{Δz\rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}\).

    Незважаючи на те, що формула (1) для похідної за формою ідентична формулі похідної дійснозначної функції, важливим моментом, який слід зазначити, є те, що\({f}'\left ( z_{0} \right )\) випливає з двовимірної межі. Таким чином,\({f}'\left ( z_{0} \right )\) для існування відповідна межа повинна існувати незалежно від напрямку, з якого\(z\) наближається до граничної точки\(z_{0}\). Для функції однієї реальної змінної у нас є тільки два напрямки, тобто\(x<x_{0}\) і\(x>x_{0}\).

     

    Малюнок 1: Існує нескінченна різноманітність напрямків для наближення\(z_{0}\).

    Чудовою особливістю комплексної диференціації є те, що існування однієї складної похідної автоматично передбачає існування нескінченно багатьох! Це на відміну від випадку функції реальної змінної\(g(x)\), в якій\(g′(x)\) може існувати без існування\(g″(x)\).

    Рівняння Коші-Рімана

    Тепер давайте подивимося чудове наслідок визначення (1). Спочатку ми побачимо, що відбувається, коли ми підходимо\(z_{0}\) по двох найпростіших напрямках - горизонтальному і вертикальному. Якщо ми встановимо

    \(z=z_{0}+h=\left ( x_{0} +h\right )+iy_{0}\),\(h\in \mathbb{R}\),

    потім\(z\rightarrow z_{0}\) уздовж горизонтальної лінії як\(h→0\). Якщо списувати з точки зору його реальної і уявної складових, тобто

    \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\),

    потім

    \({f}'\left ( z_{0} \right )=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( z_{0}+h \right )-f\left ( z_{0} \right )}{h}\)

    потім

    \({f}'\left ( z_{0} \right )=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( z_{0}+h \right )-f\left ( z_{0} \right )}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( x_{0}+h+iy_{0} \right )-f\left ( x_{_{0}}+iy_{0} \right )}{h}\\=\lim_{h\rightarrow 0}\left [ \frac{u\left ( x_{0}+h,y_{0} \right )-u\left ( x_{0},y_{0} \right )}{h} \right ]+i\lim_{h\rightarrow 0}\left [ \frac{v\left ( x_{0}+h,y_{0} \right )-v\left ( x_{0},y_{0} \right )}{h}\right ]\\=u_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )+iv_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )\)

    де\(u_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )\) і\(v_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )\) позначають часткові похідні першого порядку по відношенню до\(x\) функції\(u\) і\(v\), відповідно, в\(\left ( x_{0},y_{0} \right )\). Якщо зараз ми встановимо

    \(z=z_{0}+ik=x_{0}+i\left ( y_{0} +k\right )\),\(k\in \mathbb{R}\),

    потім\(z→0\) уздовж вертикальної лінії як\(k→0\). Тому у нас також є

    \({f}'\left ( z_{0} \right )=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f\left ( z_{0}+ik \right )-f\left ( z_{0} \right )}{ik}=\lim_{k\rightarrow 0}\left [  -i\frac{f\left ( x_{0}+i\left ( y_{0} +k\right )\right )-f\left ( x_{_{0}}+iy_{0} \right )}{k}\right ]\\=\lim_{k\rightarrow 0}\left [ \frac{v\left ( x_{0},y_{0}+k \right )-v\left ( x_{0},y_{0} \right )}{k} -i\frac{u\left ( x_{0},y_{0}+k \right )-u\left (x_{0},y_{0}  \right )}{k}\right ]\\=v_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )-iu_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )\)

    де часткові похідні\(u\) і\(v\) є, на цей раз, по відношенню до\(y\). Прирівнюючи дійсну і уявну частини цих двох формул для комплексної похідної\({f}'\left ( z_{0}\), ми помічаємо, що дійсна і уявна складові\(f(z)\) повинні задовольняти однорідну лінійну систему рівнянь з частинними похідними:

    \(u_{x}=v_{y}\),\(u_{y}=-v_{x}\).

    Це рівняння Коші-Рімана, названі на честь відомих математиків дев'ятнадцятого століття Августіна-Луї Коші і Бернарда Рімана, двох основоположників сучасного комплексного аналізу.

    Теорема\(\PageIndex{1}\)

    Комплексна функція\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) має комплексну похідну\(f′(z)\) тоді і тільки тоді, коли її дійсна і уявна частина безперервно диференційовні і задовольняють рівняння Коші-Рімана

    \(u_{x}=v_{y}\),\(u_{y}=-v_{x}\)

    У цьому випадку складна похідна\(f(z)\) дорівнює будь-якому з наступних виразів:

    \({f}'\left ( z \right )=u_{x}+iv_{x}=v_{y}-iu_{y}\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Розглянемо функцію\(f\left ( z \right )=z^{2}\), яку можна записати як

    \(z^{2}=\left ( x^{2}-y^{2} \right )+i\left ( 2xy \right )\).

    Його дійсна частина\(u^{2}=x^{2}-y^{2}\) і уявна частина\(v=2xy\) задовольняють рівняння Коші-Рімана, оскільки

    \(u_{x}=2x=v_{y}\),\(u_{y}=-2y=-v_{x}\).

    Теорема 1 передбачає,\(f\left ( z \right )=z^{2}\) що диференційована. Його похідна виявляється

    \({f}'\left ( z \right )=u_{x}+iv_{x}=v_{y}-iu_{y}=2x+i2y=2\left ( x+iy \right )=2z\).

    На щастя, складна похідна має всі звичайні правила, які ми дізналися в реально-змінному численні. Наприклад,

    \(\frac{d}{dz}z^{n}=nz^{n-1}\),\(\frac{d}{dz}e^{cz}=ce^{cz}\),\(\frac{d}{dz}log\,z=\frac{1}{z}\)

    і так далі. При цьому влада\(n\) може бути дійсним числом (або навіть складним з урахуванням ідентичності\(z^{n}=e^{n}log\,z\)), при цьому\(c\) є будь-яка складна константа. Експоненціальні формули для складних тригонометричних і гіпербоїчних функцій мають на увазі, що вони також задовольняють стандартним правилам

    \(\frac{d}{dz}sin\,z=cos\,z\),\(\frac{d}{dz}cos\,z=-sin\,z\)

    \(\frac{d}{dz}sinh\,z=cosh\,z\),\(\frac{d}{dz}cosh\,z=sinh\,z\)

    Формули для диференціації сум, добутків, співвідношень, обертань і композицій складних функцій ідентичні їхнім реальним аналогам, з подібними доказами. Це означає, що вам не потрібно вивчати будь-які нові правила виконання складної диференціації!

    Аналітичні функції

    Нехай\(f:A\rightarrow \mathbb{C}\) де\(A\subset \mathbb{C}\) відкритий набір. Функція, як кажуть, аналітична,\(A\) якщо\(f\) диференційована на кожному\(z_{0}\in A\). Слово «голоморфічний», яке іноді вживається, є синонімним зі словом «аналітичний». Словосполучення «аналітичний at\(z_{0}\) » означає\(f\) аналітичний щодо сусідства\(z_{0}\)