2.2: Сфера Рімана

Точка до нескінченності

Для деяких цілей зручно вводити точку до нескінченності\(∞\), позначається, крім точок\(z\in \mathbb{C}\). Ми повинні бути обережними при цьому, оскільки це може призвести до плутанини та зловживання символом\(∞\). Однак з обережністю це може бути корисно, якщо ми хочемо мати можливість говорити про нескінченні межі та межі на нескінченності.

На відміну від реальної лінії, до якої\(+∞\) і\(−∞\) можна додати, у нас є тільки одна\(∞\) для\(\mathbb{C}\). Причина полягає в тому, що не\(\mathbb{C}\) має природного впорядкування, як\(\mathbb{R}\) це робить. Формально ми додаємо символ\(∞\)\(\mathbb{C}\) для отримання розширеної комплексної площини, позначеної\(\mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\cup \left \{ \infty  \right \}\), і визначаємо операції з\(∞\) правилами

\(z+\infty =\infty \)

\(z\cdot \infty =\infty \)за умови\(z\neq 0\)

\(\infty +\infty =\infty \)

\(\infty \cdot \infty =\infty \)

\(\frac{z}{\infty }=0\)

для\(z\in \mathbb{C}\). Зверніть увагу, що деякі операції не визначені:

\(\frac{\infty }{\infty }\),\(0\cdot \infty \),\(\infty -\infty \)

і так далі з тих же причин, що вони знаходяться в обчисленні дійсних чисел.

Розширена складна площина може бути нанесена на поверхню сфери, південний полюс якої відповідає початку та північний полюс якої до точки\(∞\). Усі інші точки складної площини можуть бути відображені один до одного до точок на поверхні сфери за допомогою наступної конструкції. З'єднайте точку\(z\) в площині з північним полюсом за допомогою прямої лінії. Ця лінія перетинає сферу в точці\(P(z)\). Таким чином кожна точка\(z=x+iy\) на складній площині однозначно відповідає точці\(P(z)\) на поверхні сфери. Ця конструкція називається стереографічною проекцією і проілюстрована в наступному аплеті.

У наступному аплеті ми можемо спостерігати одиничну сферу, південний полюс якої відповідає початку\(z\) площини. Перетягніть точку, визначену на\(z\) площині, або повзунки, щоб вивчити поведінку точки\(P(z)\) на сфері.

ІНТЕРАКТИВНИЙ ГРАФ

Розширену складну площину іноді називають ущільненою (замкнутою) складною площиною. Часто корисно переглядати складну площину таким чином, і знання побудови стереографічної проекції цінні в деяких передових методів лікування.

Тепер ми можемо ввести наступні граничні поняття:

1. \(\lim_{z\rightarrow \infty }f\left ( z \right )=z_{0}\)означає: Для будь-якого\(ε>0\), є\(R>0\) таке, що\(\left | f\left ( z \right )-z_{0} \right |< \varepsilon \) всякий раз\(\left | z \right |> R\).
2. \(\lim_{z\rightarrow z_{0} }f\left ( z \right )=\infty \)означає: Для будь-якого\(R>0\), є\(δ>0\) таке, що\(\left | f\left ( z \right ) \right |> R\) всякий раз\(0< \left | z-z_{0} \right |< \delta \).
3. \(\lim_{z\rightarrow\infty  }f\left ( z \right )=\infty \)означає: Для будь-якого\(M>0\), є\(R>0\) таке, що\(\left | f\left ( z \right ) \right |> M\) всякий раз\(\left | z \right |> R\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад 1: Якщо\(f(z)=1/z^{2}\), for\(z≠0\), то

\(\lim_{z\rightarrow \infty }f\left ( z \right )=0\).

Насправді, враховуючи, що\(ε>0\) ми маємо

\(\left | \frac{1}{z^{2}}-0 \right |=\frac{1}{\left | z^{2} \right |}=\frac{1}{\left | z \right |^{2}}< \varepsilon \)

взявши

\(\left | z \right |> \frac{1}{\sqrt{\varepsilon }}=R\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Нехай\(f\left ( z \right )=1/(z-3)\), для\(z≠3\). Тоді

\(\lim_{z\rightarrow 3}f\left (z \right )=\infty \).

Насправді, для будь-якої заданої\(R>0\) нерівності

\(\frac{1}{\left | z-3 \right |}> R\)

тримає всякий раз

\(0< \left | z-3 \right |< \frac{1}{R}= \delta \).

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Для\(f\left ( z \right )= e^{z}\), визначеного на\(D=\left \{ z:Re\left ( z \right ) > 0\right \}\), у нас є

\(\lim_{z\rightarrow \infty}f\left (z \right )=\infty \).

Насправді, для будь-якої даної\(M>0\) ми маємо

\(\left | f\left ( z \right ) \right |=\left | e^{z} \right |=e^{x}> M\)

всякий раз\(x>ln⁡M\). Значить, досить взяти\(R> max\left \{ 0,lnR \right \}\).

Варто згадати, що для\(f\left ( z \right )=e^{z}\) визначеного на\(D_{1}=\left \{ z:Re\left ( z \right ) = 0\right \}\), тобто для\(f\left ( iy \right )=e^{iy}\), немає межі як\(z=iy→∞\), тому що вздовж уявної осі,\(e^{iy}=cosy+isiny\) є періодичним, а не постійним.

Нарешті, для\(f\left ( z \right )=e^{z}\) визначеного у\(D_{2}=\left \{ z:Re\left ( z \right ) < 0\right \}\) нас є що

\(\lim_{z\rightarrow \infty}f\left (z \right )=0 \).

Існує більш простий спосіб обчислити ліміти з прикладів 1-3. Наступна теорема дає дуже корисний метод.

Теорема:

Якщо\(z_{0}\) і\(w_{0}\) є точками в\(z\) і\(w\) площинами відповідно, то

\(\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left ( z \right )=\infty\)якщо і тільки якщо\(\lim_{z\rightarrow z_{0}}\frac{1}{f\left ( z \right )}=0\),

\(\lim_{z\rightarrow \infty }f\left ( z \right )=w_{0}\)якщо і тільки якщо\(\lim_{z\rightarrow 0}f\left ( \frac{1}{z} \right )=w_{0}\),

\(\lim_{z\rightarrow \infty }f\left ( z \right )=\infty\)якщо і тільки якщо\(\lim_{z\rightarrow 0}f\left ( \frac{1}{z} \right )=w_{0}\).

Використовуючи цей результат, ми можемо легко знайти, що

\(\lim_{z\rightarrow -1}\frac{iz+3}{z+1}=\infty \)так як\(\lim_{z\rightarrow -1}\frac{z+1}{iz+3}=0 \)

і

\(\lim_{z\rightarrow \infty }\frac{2z+i}{z+1}=2\)так як\(\lim_{z\rightarrow 0 }\frac{\left ( 2/z \right )+i}{\left ( 1/z \right )+1}=\frac{2+iz}{1+z}=2\).

Крім того,

\(\lim_{z\rightarrow \infty }\frac{2z^{3}-1}{z^{2}+1}=\infty \)так як\(\lim_{z\rightarrow 0 }\frac{\left ( 1/z^{2} \right )+1}{\left ( 2/z^{3} \right )-1}=\frac{z+z^{3}}{2-z^{3}}=0\).