2.1: Складні функції

складні функції

---

\(S\)Дозволяти набір комплексних чисел. Функція,\(f\) визначена на,\(S\) - це правило, яке присвоює кожному\(z\) в\(S\) комплексному числі\(w\). Число\(w\) називається значенням\(f\) в\(z\) і позначається\(f(z)\); тобто\(w=f(z)\). \(S\)Множина називається областю визначення\(f\).

Якщо тільки одне значення\(w\) відповідає кожному значенню\(z\), ми говоримо, що\(w\) це однозначна функція\(z\) або що\(f(z)\) є однозначною. Якщо більше одного значення\(w\) відповідає кожному значенню\(z\), ми говоримо, що\(w\) це багатозначна або багатозначна функція\(z\).

Багатозначну функцію можна розглядати як сукупність однозначних функцій, кожен член яких називається гілкою функції. Загалом, ми розглядаємо один конкретний член як основну гілку багатозначної функції, а значення функції, що відповідає цій гілці, як основне значення.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Функція\(w=z^{2}\) є однозначною функцією\(z\). З іншого боку, якщо\(w=z^{\frac{1}{2}}\), то до кожного значення\(z\) є два значення\(w\). Звідси і функція

\(w=z^{\frac{1}{2}}\)

є багатозначною (в даному випадку двозначною) функцією\(z\).

Припустимо, що\(w=u+iv\) це значення функції\(f\) в\(z=x+iy\), так що

\(u+iv=f(x+iy)\)

Кожне з дійсних чисел\(v\) залежить\(u\) і від дійсних змінних\(x\) і\(y\), і з цього випливає, що\(f(z)\) може бути виражено через пару реальних функцій\(x\) і дійсних змінних\(y\):

\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {eq1}
f (z) = u (x, y) +iv (x, y).
\ end {еканаррей}\)

Якщо використовуються полярні координати\(r\)\(x\) і\(θ\)\(y\), замість і, то

\(u+iv=f\left ( re^{i\theta } \right )\)

де\(w=u+iv\) і\(z= re^{i\theta }\). В даному випадку пишемо

\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {eq2}
f (z) =u\ ліворуч (r,\ тета\ праворуч) +iv\ ліворуч (r,\ тета\ праворуч).
\ end {еканаррей}
\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад 2: Якщо\(f\left ( z \right )=z^{2}\) тоді

\(f\left ( x+iy \right )=\left ( x+iy \right )^{2}=x^{2}-y^{2}+i\left ( 2xy \right )\).

Звідси

\(u\left ( x,y \right )=x^{2}-y^{2}\)і\(v\left ( x,y \right )=2xy\).

Коли ми використовуємо полярні координати, ми маємо

\(u\left ( r,\theta  \right )=r^{2}cos2\theta \)і\(v\left ( r,\theta  \right )=r^{2}sin2\theta \).

Питання: Що відбувається, коли в будь-якому з рівнянь (1) і (2) функція\(v\) завжди має нульове значення?

---

Приклади складних функцій

Поліноміальні функції

Для\(a_{n},a_{n-1},...,a_{0}\) складних констант визначаємо

\(p\left ( z \right )=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\)

де\(a_{n}\neq 0\) і\(n\) - натуральне число, яке називається ступенем многочлена\(p(z)\).

Раціональні функції: Співвідношення

\(\frac{p\left ( z \right )}{q\left ( z \right )}\)

де\(p(z)\) і\(q(z)\) є поліномами і\(q(z)≠0\).

Експоненціальна функція

Експоненціальна функція: Якщо\(z=x+iy\), експоненціальна функція\(e^{z}\) визначається записом

\(e^{z}=e^{x}e^{iy}\).

Тому що

\(e^{iy}=cos\,y+isin\,y\),

то у нас є

\(e^{z}=e^{x}\left ( cos\,y+isin\,y \right )\).

Логарифмічна функція

Подібним чином складний логарифм є складним продовженням звичайного дійсного натурального (тобто базового\(e\)) логарифма. У терміні полярних\(z=re^{i\theta }\) координат складний логарифм має вигляд

\(log\,z=log\left ( re^{i\theta } \right )=log\,r+log\, e ^{i\theta } =log\,r+i\theta \).

Детально цю функцію ми розглянемо в наступному розділі.

Тригонометричні функції

Синус і косинус комплексної змінної\(z\) визначаються наступним чином:

\(sin\,z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\)і\(cos\,z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\).

Інші чотири тригонометричні функції визначаються термінами синусоїдних і косинусних функцій з наступними співвідношеннями:

\(tan\,z=\frac{sin\,z}{cos\,z}\)\(cot\,z=\frac{cos\,z}{sin\,z}\)

\(sec\,z=\frac{1}{cos\,z}\)\(csc\,z=\frac{1}{sin\,z}\).

Гіперболічні тригонометричні функції

Гіперболічний синус і гіперболічний косинус комплексної змінної визначаються як з дійсною змінною; тобто

\(sinh\,z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\)і\(cosh\,z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\).

Інші чотири гіперболічні функції визначаються термінами гіперболічних синусоїдних і косинусних функцій із співвідношеннями:

\(tanh\,z=\frac{sinh\,z}{cosh\,z}\)\(coth\,z=\frac{cosh\,z}{sinh\,z}\)

\(sech\,z=\frac{1}{cosh\,z}\)\(csch\,z=\frac{1}{sinh\,z}\).

---

Досліджуйте реальні та уявні складові

Використовуйте наступний аплет, щоб дослідити реальні та уявні компоненти деяких складних функцій.

ІНТЕРАКТИВНИЙ ГРАФІК

Код

Введіть наступні скрипти в GeoGebra, щоб вивчити його самостійно. Відкрийте 3D-вигляд. Символ # позначає коментарі.

#Define complex function
    
f(z) := z + 1/z

#Define components

Re = Surface(u, v, real( f(u + ί v) ), u, -5, 5, v, -5, 5)

Im = Surface(u, v, imaginary( f(u + ί v) ), u, -5, 5, v, -5, 5)