1.6: Топологія комплексної площини

Околиці

\(ε\)Околиці, які також називають відкритим кулею або відкритим диском, комплексного числа\(z_{0}\) складається з усіх точок,\(z\) що лежать всередині, але не на колі з центром\(z_{0}\) і з радіусом\(ε>0\) і виражається

\ (\ почати {екнаррай}
B_ {\ varepsilon} (z_0) =\ {z: |z-z_0|\ lt\ варепсилон\}
\ кінець {еканаррей}\)

Закрите\(ε\) сусідство\(z_{0}\) виражається

\ (\ почати {екнаррай}
\ оверлайн {B} _ {\ варепсилон} (z_0) =\ {z: |z-z_0|\ leq\ varepsilon\}
\ end {eqnarray}\)

І, нарешті, видалені\(ε\) околиці\(z_{0}\), також звані проколоті кулі або диски, виражається

\ (\ почати {екнаррай}
B_ {\ varepsilon} (z_0)\ setminus\ {z_0\} =\ {z:0\ lt |z_z_0|\ lt\ varepsilon\}
\ end {eqnarray}\)

На малюнку 1 показано геометричне зображення наступних прикладів:

1. \(B_{1}(0)=\left \{z:|z|<1\right \}\)
2. \(\bar{B}_{\frac{7}{8}}(-1-\sqrt{2}i)=\left \{ z:\left | z-(-1-\sqrt{2}i) \right |\leq \frac{7}{8} \right \}\)
3. \(\bar{B}_{\frac{1}{2}}(2+\sqrt{3}i)\setminus \left \{ 2+\sqrt{3}i \right \}=\left \{ z:0< \left | z-(2+\sqrt{3}i) \right |\leq \frac{1}{2} \right \}\)

Малюнок 1: Геометричне зображення мікрорайонів.

---

Класифікація очок

Точка, як кажуть,\(z_{0}\) є внутрішньою точкою набору,\(S\subset \mathbb{C}\) коли є якась околиця\(z_{0}\), яка містить лише точки\(S\); це називається зовнішньою точкою,\(S\) коли існує сусідство з нею. не містить жодних точок\(S\). Якщо ні\(z_{0}\) один з них, це гранична точка\(S\). Таким чином, межовою точкою є точка, всі райони якої містять принаймні одну точку в\(S\) і принаймні одну точку не в\(S\). Сукупність всіх граничних точок називається межею\(S\).

У цьому тексті ми будемо використовувати такі позначення:

1. Int\(S=\left \{ z:z \,is \,an\,interior\,point\,of \,S \right \}\)
2. Ext\(S=\left \{ z:z \,is \,an\,exterior\,point\,of \,S \right \}\)
3. \(\partial S=\left \{ z:z \,is \,a\,boundary\,point\,of \,S \right \}\)

Рисунок 2: Інтер'єр, межа та екстер'єр набору S.

Розглядаючи попередні приклади мікрорайонів, нехай

\(S_{1}=B_{1}(0)\),\(S_{2}=\bar{B}_{\frac{7}{8}}(-1-\sqrt{2}i)\) і\(S_{3}=\bar{B}_{\frac{1}{2}}(2+\sqrt{3}i)\setminus \left \{ 2+\sqrt{3}i \right \}\).

Таким чином, для\(S_{1}\) нас є:

• Int\(S_{1}=B_{1}(0)\)
• Ext\(S_{1}=\left \{ z:\left | z \right |> 1 \right \}\)
• \(\partial S_{1}=\left \{ z:\left | z \right |= 1 \right \}\)

Для\(S_{2}\) нас є:

• Int\(S_{2}=B_{\frac{7}{8}}(-1-\sqrt{2})\)
• Ext\(S_{2}=\left \{ z:\left | z-(-1-\sqrt{2}i) \right |>\frac{7}{8} \right \}\)
• \(\partial S_{2}=\left \{ z:\left | z-(-1-\sqrt{2}i) \right |=\frac{7}{8} \right \}\)

І нарешті, бо у\(S_{3}\) нас є:

• Int\( S_{3}=B_{\frac{1}{2}}(2+\sqrt{3})\)
• Ext\(S_{3}=\left \{ z:\left | z-(2+\sqrt{3}i) \right |>\frac{1}{2} \right \}\)
• \(\partial S_{3}=\left \{ z:\left | z-(2+\sqrt{3}i) \right |=\frac{1}{2} \right \}\cup \left \{ 0 \right \}\)

---

Топологічний простір

Набір\(S\) відкритий, якщо для кожного\(z\in S\), виходить\(\varepsilon > 0\) такий, що

\(B_{\varepsilon }(z)\subset S\).

Тобто, Int\(S=S\). Множина\(S\) закривається, якщо вона містить усі її граничні точки, тобто

\(\partial S\subseteq S\).

Набір\(\mathbb{C}\) є як відкритим, так і закритим, оскільки не має граничних точок.

\(\mathbb{C}\)Безліч разом з колекцією\(\tau =\left \{ S\subseteq \mathbb{C}:S \,is \,open \right \}\) являє собою топологічний простір, і це виражається парою\(\left ( \mathbb{C},\tau  \right )\). Топологічний простір\(\left ( \mathbb{C},\tau  \right )\) задовольняє наступне:

1. \(\varnothing \)і\(\mathbb{C}\) відкриті.
2. Всякий раз, коли відкриті два або більше наборів, то так само відбувається їх союз.
3. Всякий раз, коли\(S_{1}\) набори і\(S_{2}\) відкриті, то так і є\(S_{1}\cap S_{2}\).

 

Зауваження: Технічне визначення топологічного простору є трохи неінтуїтивним, особливо якщо ви не вивчали топологію. По суті, він стверджує, що геометричні властивості підмножин\(\mathbb{C}\) будуть збережені при застосуванні неперервних перетворень (функцій або відображень).

Закриття множини\(S\) являє собою замкнутий набір, що складається з усіх точок\(S\) разом з межею\(S\). Іншими словами

\(\bar{S}=S\cup \partial S\).

Відкрита множина\(S\) з'єднується, якщо кожна пара точок\(z_{1}\) і\(z_{2}\) в ній може бути з'єднана багатокутною лінією, що складається з скінченної кількості відрізків лінії, з'єднаних між собою кінець в кінець, яка повністю лежить в\(S\).

Малюнок 3: З'єднаний набір.

Зверніть увагу, наприклад, що відкритий набір\(\left | z \right |< 1\) підключений. Кільцеве кільце\(1< \left | z \right |<2\) відкрите і теж з'єднане, див. Рис. 4 і 5.

Малюнок 4:\(\left | z \right |< 1\)

Малюнок 5:\(\left | z \right |<2\)

Непорожній відкритий набір, який підключається, називається доменом. У цьому контексті будь-яке сусідство є доменом. Домен разом з деякими, жодними або всіма його граничними точками називається регіоном. Іншими словами, набір, інтер'єр якого є доменом, називається регіоном. Набір\(S\) обмежується, якщо є\(R>0\) таке, що

\(S\subset B_{R}(0)=\left \{ z\in \mathbb{C}:\left | z \right |<R \right \}\).

Малюнок 6: Обмежена множина.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Намалюйте\(S\) множину точок у комплексній площині, що задовольняють задану нерівність. Визначте, чи є множина (a) відкритою, (b) закритою, (c) доменом, (d) обмеженою або (e) з'єднаною.

• \(Im(z)<0\)
• \(−1<Re(z)<1\)
• \(|z|>1|z|>1\)
• \(2≤|z−3+4i|≤5\)