1.5: Коріння комплексних чисел

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62763

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нагадаємо, що якщо\(z=x+iy\) є ненульовим комплексним числом, то його можна записати в полярній формі як

\(z=r(cosθ+isinθ)\)

де\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) і\(\theta \) - кут, в радіанах, від позитивної осі х до променя, що з'єднує початок з точкою\(z\).

Тепер формула де Мойвре встановлює, що якщо\(z=r(cosθ+isinθ)\) і\(n\) є натуральним числом, то

\(z^{n}=r^{n}(cosn\theta +isinn\theta )\)

\(w\)Дозволяти складне число. Використання формули де Муйвра допоможе нам вирішити рівняння

\(z^{n}=w\)

бо\(z\) коли\(w\) дається.

Припустимо, що\(w=r(cosθ+isinθ)\) і\(z=\rho(cos\psi +isin\psi )\) тоді формула де Мойвре дає

\(z^{n}=\rho ^{n}(cosn\psi +isinn\psi )\)

Звідси випливає, що

\(\rho ^{n}=r=\left | w \right |\)

за унікальністю полярного уявлення і

\(n\Psi =\theta +k(2\pi )\),

де\(k\) є деяким цілим числом. Таким чином

\(z=\sqrt[n]{r}[cos(\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n})+isin(\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n})]\).

Кожне значення\(k=0,1,2,…,n−1\) дає різне значення\(z\). Будь-яке інше значення\(k\) просто повторює одне з значень\(z\) відповідного\(k=0,1,2,…,n−1\). Таким чином, є точно\(n\) коріння ненульового комплексного числа.

Використовуючи формулу Ейлера:

\(e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta \),

комплексне число також\(z=r(cos\theta +isin\theta) \\) може бути записано в експоненціальній формі як

\(z=re^{i\theta }\)

Таким чином,\(n\) -е коріння ненульового комплексного числа також\(z≠0\) можна виразити як

\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {expform}
z=\ sqrt [n] {r}\;\ mbox {exp}\ лівий [i\ лівий (\ frac {\ тета} {n} +\ frac {2k\ pi} {n}\ праворуч)
\ кінець {екнаррей}\)

де\(k=0,1,2,...,n-1\).

\(n\)Аплет нижче показує геометричне зображення коріння комплексного числа, аж до\(n=10\). Перетягніть червону точку навколо, щоб змінити значення повзунків\(z\) або перетягніть повзунки.

Кодекс

Введіть наступний скрипт в GeoGebra, щоб вивчити його самостійно і зробити свою власну версію. Символ # позначає коментарі.

#Complex number
    
Z = 1 + ί

#Modulus of Z

r = abs(Z)

#Angle of Z

theta = atan2(y(Z), x(Z))

#Number of roots

n = Slider(2, 10, 1, 1, 150, false, true, false, false)

#Plot n-roots

nRoots = Sequence(r^(1 / n) * exp(  ί * ( theta / n + 2 * pi * k / n ) ), k, 0, n-1)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

З експоненціальної форми (1) коренів покажіть, що всі коріння лежать на колі\(\left | z \right |=\sqrt[n]{r}\) про походження і однаково розташовані на кожному\(\frac{2\pi }{n}\) радіанах, починаючи з аргументу\(\frac{\theta }{n}\).\(n\)