Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.4: Головний аргумент

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62751

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Аргумент

    У цьому тексті позначення\(arg(z)\) використовується для позначення довільного аргументу\(z\), що означає, що\(arg(z)\) це множина, а не число. Зокрема, відношення

    \(arg(z_{1})=arg(z_{2})\)

    не є рівнянням, але виражає рівність двох множин.

    Як наслідок, два ненульових комплексних числа\(r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})\) і\(r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})\) рівні якщо і тільки якщо

    \(r_{1}=r_{2}\), і\(\varphi _{1}=\varphi _{2}+2k\pi \),

    де\(k\in \mathbb{Z}\).

    Для того, щоб зробити\(z\) аргумент чітко визначеного числа, його іноді обмежують інтервалом\((-\pi ,\pi ]\). Цей спеціальний вибір називається основним значенням або головною гілкою аргументу і записується як\(Arg(z)\).

    Відзначимо, що загальної умовності про визначення основної величини немає, іноді його значення передбачається перебувати в інтервалі\([0 ,2\pi )\). Ця неоднозначність є вічним джерелом непорозумінь і помилок.

    Головний аргумент

    Основне\(Arg(z)\) значення комплексного числа\(z=x+iy\) зазвичай задається

    \(\Theta =arctan(\frac{y}{x})\),

    де\(y/x\) - ухил, а арктан перетворює ухил в кут. Але це правильно тільки тоді\(x>0\), коли, так визначається частка і кут лежить між\(-\pi/2\) і\(\pi/2\). Нам потрібно розширити це визначення на випадки, коли не\(x\) є позитивним, враховуючи основне значення аргументу окремо на чотирьох квадрантах.

    \(Arg(z):\mathbb{C}\setminus \left \{ 0 \right \}\rightarrow (-\pi ,\pi ]\)Визначається функція наступним чином:

    \ (Arg (z) =\ лівий\ {\ почати {матриця}
    арктан\ frac {y} {x} і якщо x> 0, y\ in\ mathbb {R}\\
    arctan\ frac {y} {x} +\ pi &ifx< 0, y\ geq 0\\ arctan\ frac {y} {x} -\ pi & ifx< 0, y\\
    arctan\ frac {y} {x} -\ pi & ifx< 0, y< 0, y< 0\\\ гідророзриву {\ pi} {2} & ifx=0, y>0\\
    -\ гідророзриву {\ pi} {2} &
    ifx= 0, y< 0\\
    невизначено&якщо = 0, y= 0
    \ кінець {матриця}\ право.\)

    Таким чином, якщо\(z=r(cos\Theta +isin\Theta )\), з\(r>0\) і\(-\pi <\Theta <\pi \), то

    \(arg(z)=Arg(z)+2n\pi\),\(n\in \mathbb{Z}\).

    Ми можемо візуалізувати багатозначну природу за\(\) допомогою поверхонь Рімана. Наступний інтерактивний показує деякі з нескінченних значень\(\). Кожна гілка ототожнюється різним кольором.