1.3: Геометрична інтерпретація арифметичних операцій

Додавання і віднімання

Геометрично додавання двох комплексних чисел\(Z1\) і\(Z2\) може бути візуалізовано як додавання векторів за допомогою закону паралелограма. Векторна сума\(Z1+Z2\) представлена діагоналлю паралелограма, утвореного двома початковими векторами.

Найпростіший спосіб уявити різницю\(Z1−Z2\) - думати з точки зору додавання негативного вектора\(Z1+(−Z2)\). Негативний вектор - це той же вектор, що і його позитивний аналог, тільки вказуючи в протилежну сторону.

Скористайтеся наступним аплетом, щоб вивчити цю геометричну інтерпретацію. Активуйте поля нижче, щоб показати додавання або підкладку. Ви також можете перетягувати точки\(Z1\) і\(Z2\) навколо.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Чи можете ви подумати про геометричну інтерпретацію складання трьох комплексних чисел? Загалом, якою буде геометрична інтерпретація складання\(n\) комплексних чисел?

---

множення

У попередньому розділі ми визначили множення двох комплексних чисел\(Z_{1}\) і\(Z_{2}\) як

\(Z_{1}Z_{2}=(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\).

У цьому випадку, щоб оцінити те, що відбувається геометрично, нам потрібно розглянути полярну форму\(\) і\(\). Тобто

\(Z_{1}=r_{1}(cos\phi _{1}+isin\phi _{1})\)

\(Z_{2}=r_{2}(cos\phi _{2}+isin\phi _{2})\)

Тоді товар може бути записаний у формі

\(Z_{1}Z_{2}=r_{1}r_{2}[(cos\phi _{1}cos\phi _{2}-sin\phi _{1}sin\phi _{2})+i(sin\phi _{1}cos\phi _{2}+cos\phi _{1}sin\phi _{2})]\)

Тепер за допомогою теорем додавання синуса і косинуса цей вираз можна спростити до

\(Z_{1}Z_{2}=r_{1}r_{2}[cos(\phi _{1}+\phi _{2})+isin(\phi _{1}+\phi _{2})]\).

Таким чином, виріб\(Z_{1}Z_{2}\) має модуль\(r_{1}r_{2}\) і аргумент\(\phi _{1}+\phi _{2}\).

У наступному аплеті ви можете оцінити, що відбувається з аргументом продукту. Перетягніть точки\(Z_{1}\) і\(Z_{2}\) навколо і спостерігайте за поведінкою кутів. Потім перетягніть повзунок нижче.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Розглянемо зараз

\(Z_{1}=r_{1}(cos\phi _{1}+isin\phi _{1})\)

\(Z_{2}=r_{2}(cos\phi _{2}+isin\phi _{2})\)

такий, що\(Z_{2}\neq 0\). Знайдіть полярне представлення\(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\). Яка геометрична інтерпретація цього виразу?

---

Множення комплексних чисел як розтягування (стискання) і обертання

У аплеті нижче множина точок визначена випадковим чином на комплексній площині. Потім кожна точка множиться на задане комплексне число\(z\). На правій частині екрана перетягніть точку\(z\) та проаналізуйте поведінку точок (⭕), помножених на,\(z\) і спробуйте відповісти на наступні питання:

• Що відбувається, коли\(z\) знаходиться всередині або зовні одиничного кола?
• Що станеться, якщо\(z\) рухається тільки по колу одиниці?

Примітка: Ви також можете вивчити поведінку точок (⚫),\(\frac{1}{z}\) помножених на активацію поля Множити на 1/z.

Як ви вже помітили геометричною інтерпретацією множення комплексних чисел є розтягування (або стискання) і обертання векторів в площині.

У попередньому аплеті, за допомогою опції Множити на z, встановіть n = 1, перетягнувши повзунок в ліву сторону. У цьому випадку аплет показує три комплексних числа

\(z_{0},z\)і\(z_{1}=z_{0}\cdot z\),

представлений у вигляді векторів. Коли\(z_{0}\) і\(z\) не нульові, то

• модуль\(z_{1}\) рівний\(\left | z_{0}\cdot z \right |\), і
• аргумент\(z_{1}\) дорівнює\(Arg(z_{0}+z)\).

Якщо\(\left | z \right |> 1\), маємо справу з розтягуванням. Якщо\(\left | z \right |< 1\), мова йде про здавлювання.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Використовуйте той самий аплет, з опцією Помножити на 1/z, щоб дослідити, що відбувається, коли ми множимо на\(\frac{1}{z}\). Встановіть n = 1, перетягнувши повзунок ліворуч, щоб показати три комплексні числа

\(z_{0},z\)і\(z_{2}=z_{0}\cdot \frac{1}{z}\).

Що відбувається з модулем і аргументом\(z_{2}\)?