1.2: Термінологія та позначення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62765

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Комплексне число\(z\) - це число, яке може бути виражено у вигляді\(x+iy\), де\(x\) і\(y\) є дійсними числами і\(i\) є уявною одиницею, тобто\(i^{2}=-1\). У цьому виразі\(x\) є дійсною частиною і\(y\) є уявною частиною комплексного числа.

Комплексні числа, позначені\(\mathbb{C}\), розширюють поняття одновимірної числової лінії на двовимірну комплексну площину (також відому як площина Арганда), використовуючи горизонтальну вісь для дійсної частини і вертикальну вісь для уявної частини. Аналогія з двовимірними векторами безпосередня. Комплексне число\(x+iy\) можна ідентифікувати з точкою\((x,y)\) в комплексній площині, але також його можна інтерпретувати як двовимірний вектор.

Корисно ввести ще одне подання комплексних чисел, а саме полярні координати\((r,\theta )\):

\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {пар}
х = r\ cos\ тета,\ квад y=r\ sin\ тета\ квад (r\ geq 0)
\ кінець {екнаррай}\)

Звідси комплексне число\(\) можна записати в альтернативному полярному вигляді:

\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {полярний}
z=x+iy=r (\ cos\ тета + i\ sin\ тета).
\ end {еканаррей}\)

\(r\)Радіус позначається

\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\left | z \right |\)

і природно дає нам поняття абсолютної величини\(z\), що позначається\(\left | z \right |\), тобто це довжина вектора, пов'язаного з\(z\). Значення часто\(\left | z \right |\) називають модулем\(z\). Кут\(\theta\) називається аргументом (або фазою)\(z\) і позначається\(arg(z)\). Коли\(z\neq 0\), значення\(\theta\) можна знайти з (1) за допомогою стандартної тригонометрії:

\(tan\theta =\frac{y}{x}\)

де квадрант, в якому\(z\),\(y\) брехня розуміється як дана.

У цей момент зручно вводити спеціальну експоненціальну функцію. Полярна експоненція визначається

\(cos\theta +isin\theta =e^{i\theta }\)

Звідси рівняння (2) має на увазі, що\(z\) може бути записано у вигляді

\(z=re^{i\theta }\).

Ця експоненціальна функція має всі стандартні властивості, які ми знайомі в елементарному численні, і є окремим випадком комплексної експоненціальної функції.

Нарешті, складний сполучений з\(z\) визначається як

\(\bar{z}=x-iy\)

Додавання, віднімання, множення і ділення комплексних чисел випливають з правил, що регулюють дійсні числа. Таким чином, відзначаючи\(i^{2}=-1\), ми маємо

\(z_{1}\pm z_{2}=(x_{1}\pm x_{2})+i(y_{1}\pm y_{2})\)

\(z_{1}\cdot z_{2}=(x_{1}\pm iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\).

Тепер зауважимо, що

\(z\bar{z}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}=\left | z \right |^{2}\).

Цей факт корисний для ділення комплексних чисел,

\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\).

Легко показано, що дотримуються комунітативні, асоціативні та розподільні закони додавання та множення. Геометрично кажучи, складання двох комплексних чисел еквівалентно закону паралелограма векторів.

Деякі термінології та позначення, що використовуються для опису складних чисел, узагальнені на малюнку 1.

Я пропоную вам освоїтися з представленими до цього часу поняттями, термінологією та позначеннями. Для цього спробуйте переконати себе геометрично (та/або алгебраїчно) у кожному з наступних фактів:

\ (\ почати {еканаррей*}
\ textbf {Re} (z) =\ frac {1} {2}\ лівий (z+\ overline {z}\ праворуч)\ квад\ textbf {Im} (z) =\ frac {1} {2i}\ ліворуч (z-\ overline {z}\ праворуч)\ квад\ квад\ quad|=\ sqrt {x^2+y^2}
\ кінець {еканаррай*}\)

\ (\ почати {екнаррай*}
\ тан\ лівий (\ textbf {arg} (z)\ праворуч) =\ frac {\ textbf {Im} (z)} {\ textbf {Re} (z)}\ квад\ квад re^ {i\ тета} =r (\ cos\ тета-+i\ sin\ тета)
\ кінець {екнаррай*}\)

\ (\ почати {eqnarray*}
\ overline {\ overline {z}} =z\ quad\ quad\ ліво|z_1z_2\ праворуч | =\ ліво|z_1\ праворуч |\ вліво|z_2\ праворуч |\ quad\ quad\ ліворуч |\ frac {z_1} {z_2}\ праворуч |\ frac {\ ліворуч | z_1\ праворуч |} {\ ліворуч | z_2\ праворуч |},\; (z_2\ neq0)
\ кінець {екнаррай*}\)

\ (\ begin {eqnarray*}
\ оверлайн {z_1\ pm z_2} =\ оверлайн {z_1}\ pm\ overline {z_2}\ quad\ quad\ overline {z_1z_2} =\ overline {z_1}\ cdot\ overline {z_2}\ quad\ quad\ overline {\ left\ frain c {z_1} {z_2}\ право)} =\ frac {\ overline {z_1}} {\ overline {z_2}},\; (z_2\ neq0)
\ end {eqnarray*}\)

\ (\ почати {eqnarray*}
\ ліворуч | z_1\ pm z_2\ праворуч |\ leq\ ліво|z_1\ праворуч | z_2\ праворуч |\ квад\ квад\ quad\ ліворуч |\ ліворуч | z_1\ праворуч | -\ ліворуч | z_2\ праворуч |\ leq\ ліворуч | пм z_2\ праворуч |
\ кінець {еканаррей*}
\)

Наступне називається узагальненою нерівністю трикутника:

\ (\ почати {еканаррай*}
|z_1+z_2+\ cdots +z_n|\ leq |z_1|+ |z_2|+\ cdots |z_n|
\ кінець {екнаррай*}\)

Коли рівність тримається?