1.1: Коротка історія

Геометрична інтерпретація квадратичних і кубічних рівнянь

Розглянемо квадратне рівняння

\ (\ begin {екнаррай}\ мітка {квад001}
x^2 = mx + n.
\ end {екнаррай}
\)

З початкової школи ми навчилися знаходити її рішення, тобто всі значення xx, які задовольняють рівнянню (1). Для цього нам просто потрібно використовувати широко відому квадратичну формулу.

\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {квад002}
х =\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^2-4ac}} {2a}
\ кінець {екнаррай}\)

загального квадратного рівняння

\ (\ begin {екнаррай}\ мітка {квад003}
ос^2+ bx+c = 0.
\ end {еканаррей}\)

Переписуючи рівняння (1) as\(x^{2}-mx-n=0\), ми можемо використовувати (2) для отримання

\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {квад004}
x =\ frac {м\ пм\ sqrt {m^2 + 4n}} {2} =\ frac {m} {2}\ pm\ sqrt {\ frac {m^2} {4} + n}
\ кінець {екнаррей}\)

Якщо ми побудуємо рівняння (1), ми можемо геометрично спостерігати, що воно являє собою перетин параболи\( y=x^{2}\) з лінією\(y=mx+n\). Це можна оцінити в наступному аплеті. Перетягніть повзунки нижче і спостерігайте, що відбувається з точками перетину\( x_{0}\) і\( x_{1}\).

 

інтерактивний граф

 

Як ви вже помітили, у нас три випадки:

1. Є дві точки перетину, тобто два рішення.
2. Існує лише одна точка перетину, тобто одне рішення.
3. Точок перетину немає, тобто немає розв'язків.

 

Дивно це відомо з давніх часів, навіть без використання математичних символів або комп'ютерів. Ми знаємо з глиняних табличок, датованих приблизно 2000 роком до н.е., що вавилонська цивілізація володіла квадратичною формулою, що дозволяє їм (у словесній формі) вирішувати квадратні рівняння. Оскільки поняття негативних чисел довелося чекати появи шістнадцятого століття, вавилоняни не розглядали негативних рішень [9, с. 29-30]. Ми також можемо знайти неявно рівняння в геометрії, розробленої стародавніми греками, як ми очікували, коли вивчаються кола, параболи тощо, але ми не вимагаємо, щоб кожна геометрична задача мала рішення [9, гл. 4].

Тепер повернемося до квадратного рівняння\( x^{2}=mx+n\). Розглянемо значення\( m=0\) і\( n=-1\). Якщо ми використовуємо формулу (4), ми отримаємо, що

\(x=\pm \sqrt{-1}\).

Що тут відбувається? Більшість з вас дізналися з обчислення, або початкової школи, що ми не можемо взяти квадратний корінь від'ємного числа. Тоді, як інтерпретувати це значення? Геометрично кажучи, ми можемо\(x=\pm \sqrt{-1} \) співвіднести рішення з тим, що парабола\(y=x^{2} \) і лінія\(y=-1 \) не перетинаються один з одним, див. Рис. Іншими словами, рішення не існує. Загалом, якщо\( \frac{m^{2}}{4}+n< 0\), то рівняння не\( x^{2}=mx+n\) має розв'язків.

Малюнок 1:\(x^{2}=-1 \).

Стверджується, що це призвело до винаходу нового числа\( i\), позначеного символом, яке дорівнює\( \sqrt{-1}\), і йому було дано назву «уявне». Якщо використовувати в\( i\) якості числа таке що\( i^{2}=-1\), то це значення є рішенням рівняння\( x^{2}=-1\).

Також поширеною практикою є вказівка на курсах математики, що складні числа, позначені як\(a+b\sqrt{-1} \), необхідні для вирішення певних квадратних рівнянь, таких як\(x^{2}+1=0 \). Однак комплексні числа виникли, по суті, з необхідності розв'язання кубічних рівнянь. Крім того, коли вперше з'явилися квадратні та кубічні рівняння, тоді не було необхідності мати розв'язки для всіх рівнянь.

Так де ж комплексні числа дійсно прийшли в важливість? Щоб відповісти на це, розглянемо кубічне рівняння

\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {cubic001}
x^3 = р х + q.
\ end {екнаррай}
\)

Геометрично це рівняння являє собою перетин\( y=x^{3}\) кубічної з лінією\(y=px+q \), як показано в наступному аплеті. Перетягніть повзунки нижче і спостерігайте за тим, що відбувається.

 

інтерактивний граф

 

Як ви можете спостерігати незалежно від того, яка лінія\(p\) визначена параметрами і\(q\), вона завжди буде десь перетинати кубічну, навіть коли лінія\(px+q \) перпендикулярна осі х і далеко від початку (тобто коли\(p \) і\(q \) є дуже великими позитивними/негативними числами ). Це тому, що кубічний йде весь шлях від\(−∞\) до\(+∞\). Таким чином, немає жодної лінії, яку ви можете намалювати, яка б не перетинала цю кубічну. Цей приклад дуже відрізняється від квадратичного випадку, який був параболою,\(x^{2} \) і ви можете визначити лінію\(mx+n \) таким чином, щоб вона не перетиналася парабола.

---

Розв'язок кубічних рівнянь

Загальновідомо, що рішення кубічного\(x^{3}=px+y\) було розроблено в епоху Відродження (15-16 століття) італійськими математиками. Сципіоне дель Ферро (1465-1526) та Нікколо Тарталья (1500-1557), а потім Джироламо Кардано (1501-1576), показали, що\(x^{3}=px+y \) має рішення, дане

\ (\ почати {екнаррей}\ мітка {cubic002}
x =\ sqrt [3] {\ frac {q} {2} +\ sqrt {q^2} {4} -\ frac {p^3} {27}}} -
\ sqrt [3] {-\ frac {q} {2} +\ sqrt {\ frac {q^^2} {4} -\ frac {p^3} {27}}}
\ end {екнаррай}\)

Це відомо як формула Cardano, і тут ми використовуємо сучасні позначення.

Малюнок 2: Тарталья.

Малюнок 3: Кардано.

Щоб побачити, як це працює, розглянемо рівняння\(x^{3}=-6x+20\). В даному випадку\(p=-6 \) і\(q=20 \). Якщо ми підключимо ці числа в (6), отримаємо рішення

\(x=\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}-\sqrt[3]{-10+\sqrt{108}} \)

Спрощуючи отримаємо\(x=2 \), розв'язок заданого рівняння, оскільки

\(8=(2)^{3}=-6(2)+20=-12+20=8 \)

Таким чином, ця формула, здається, працює дуже добре, принаймні для цього випадку.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Спробуйте вирішити,\(x^{3}=6x+6 \) використовуючи формулу Cardano.

---

Генезис уявних чисел

Через кілька років після відкриття формули Кардано італійський інженер-архітектор Рафаель Бомбеллі (1526-1572) визнав, що в цій формулі є щось дивне і парадоксальне. Він розглянув рівняння

\ (\ почати {екнаррай}\ мітка {cubic003}
x^3= 15 x+ 4
\ end {еканаррей}
\)

і, можливо, лише трохи обмірковуючи, ви можете побачити, що\(x=4 \) це рішення. Це також можна побачити на малюнку 2. Насправді є три рішення, але Бомбеллі не враховував негативних значень, тому ми теж не будемо.

Малюнок 4:\(x^{3}=15+4 \)

Тоді Бомбеллі використовував формулу Кардано для вирішення\((x^{3}=15+4  \). Таким чином, розглядаючи\(p=15 \) і\(q=4 \), він отримав

\ (\ begin {eqnarray}\ мітка {cubic004}
x =\ стиль відображення\ sqrt [3] {2 +\ sqrt {-121}} +\ sqrt [3] {2 -\ sqrt {-121}}.
\ end {еканаррей}\)

Тут він зіткнувся з вельми незвичайним значенням. Якщо формула Cardano вірна, це число має дорівнювати\(4 \). Але це повинно бути нісенітницею, і значення не може бути реальним, тому що всередині кубового кореня ми беремо квадратний корінь від'ємного числа, абсолютну неможливість в той час (а також сьогодні). Кардано також зіткнувся з цією труднощами, але він не зіткнувся з цим. Він колись згадував уявні числа, але у зв'язку з квадратним рівнянням і супроводжувався коментарем про те, що ці цифри були «настільки ж тонкими, наскільки вони марні» [2, гл. 37, Правило II]

Однак Бомбеллі подолати цю складність, побачивши, що дивний вираз (8), який дає формула Кардано, насправді реальний, але виражений дуже незнайомим чином.\(x \) Це проникливість прийшла нелегко. Як писав Бомбеллі у своїй книзі L'Algebra:

І хоча багатьом це здасться екстравагантною річчю, адже навіть я дотримувався цієї думки деякий час назад, так як воно здалося мені більш софістичним, ніж істинним, проте я ретельно шукав і знайшов демонстрацію, яка буде відзначена нижче... Але нехай читач застосує всю свою силу розуму, бо [інакше] навіть він знайде себе обдуреним. [1, с. 293-294; 10]

Малюнок 5: L'Algebra Рафаеля Бомбеллі: фронтиспис Болонського видання 1579 року.

 

Велике розуміння Бомбеллі полягало в тому, щоб просто розглядати\(\sqrt{-1} \) як число і працювати з ним, дотримуючись деяких конкретних арифметичних правил (ті самі правила, які ми використовуємо в наші дні). Таким чином він виявив, що

\(\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+\sqrt{-1}  \)і\(\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=2-\sqrt{-1}  \).

Підставивши ці значення в (8) Отримано Бомбеллі

\( x=2+\sqrt{-1}+2-\sqrt{-1}\).

Потім він показав, що квадратні корені від'ємних чисел скасовують один одного [1, с. 169; 7, с. 164]. Тобто

\(x=2+2\).

І дійшли висновку, що насправді\(x=4 \) є\(x^{3}=15x+4 \) розв'язком отриманого з формули Кардано [1, с. 294], див. Рис. 6. Цей трюк працює лише в декількох випадках, однак він допоміг зрозуміти уявні числа та взяти їх кубічне коріння або маніпулювати ними, коли вони з'являються осторонь дійсних чисел.

Малюнок 6: Оригінальне рішення Бомбеллі.

Звичайно, як ви можете бачити на малюнку 6, Бомбеллі не мав у своєму розпорядженні потужності сьогоднішніх алгебраїчних позначень (ні комп'ютерів), і його обчислення були обмежені числами в «реальному домені». Насправді більшість італійських математиків у той час схильні вважати куби або квадрати геометричними об'єктами, а не алгебраїчними величинами. Однак йому приписують доведення реальності коренів кубічного\(x^{3}=15x+4 \), так як він продемонстрував надзвичайний факт, що дійсні числа можуть породжуватися уявними числами.

Формула Кардано змусила математиків протистояти квадратним кореням від'ємних чисел. Цей історичний випадок - ще один приклад, який заперечує поширену думку про те, що математику «складають» математики. Як це часто буває, саме математика говорить з нами. З цього часу уявні числа втратили частину свого містичного характеру, хоча їх повне визнання як сумлінних чисел прийшло тільки в 1800-х роках.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Переконайтеся, що\(\sqrt[3]{2\pm \sqrt{-121}}=2\pm \sqrt{-1} \)

---

Дозрівання комплексних чисел

Багато математиків після Кардано і Бомбеллі внесли важливий внесок у уявні (або складні) числа. Наприклад, Рене Декарт (1596-1650) ввів термін «уявний» у своїй книзі в La Géométrie 1637 року наступним чином:

Ні справжні, ні помилкові [негативні] корені не завжди реальні; але іноді лише уявні. [4, с. 380]

Джон Уолліс (1616-1703) показав, як представляти геометрично складні корені квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами [8, с. 594]. Карпар Вессель (1745-1818) та Жан-Роберт Арган (1768-1822) надали геометричні зображення комплексних чисел у вигляді векторів [7, с. 185-190].

Малюнок 7: Ейлер.

Леонард Ейлер (1707-1783) встановлював позначення «\(i=\sqrt{-1} \)» [6, с. 184] і використовував уявні числа для вирішення квадратичних і кубічних рівнянь, незважаючи на те, що він все ще підозріло ставився до цих чисел. У своїй алгебрі, наприклад, він згадував:

[...] Оскільки всі числа, які можна завагітніти, або більше, або менше 0, або самі 0, очевидно, що ми не можемо віднести квадратний корінь від'ємного числа серед можливих чисел, і тому ми повинні сказати, що це неможлива кількість. Таким чином нас ведуть до ідеї чисел, які від їх природи неможливі; і тому їх прийнято називати уявними величинами, тому що вони існують лише в уяві. [5, стор. 43]

Щоб ніхто не сприйняв це як засудження, він продовжував:

Незважаючи на це, ці цифри представляють себе розуму; вони існують у нашій уяві, і ми все ще маємо достатнє уявлення про них; [...] ніщо не заважає нам використовувати ці уявні числа та використовувати їх у обчисленні. [5, стор. 43]

Пізніше Карл Фрідріх Гаусс (1777-1855) ввів термін «комплексне число», що відноситься до чисел виду\(a+bi \) [7, с. 191]. Він також дав чотири докази фундаментальної теореми алгебри протягом своєї довгої кар'єри. Ця теорема говорить нам, що будь-який поліном n-го ступеня має nn коренів, деякі або всі з яких можуть бути уявними. Першим доказом, який дав Гаусс, було в його докторській дисертації 1799 року. Останнє (і, мабуть, найелегантніше) дозволяє використовувати комплексні числа не тільки для змінної, але і для коефіцієнтів. Оскільки це обов'язково залежало від розпізнавання комплексних чисел, Гаусс допоміг закріпити положення цих чисел [8, т. 2, с. 595].

Перше суворе визначення комплексних чисел дав Вільям Роуен Гамільтон (1805-1865). У 1833 році він запропонував Ірландській академії, що комплексне число a+iba+ib можна розглядати як пару\((a,b) \), з\(a,b\) дійсними числами [7, с. 192-193]. Потім він визначив складання і множення пар наступним чином:

\((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) \)

і

\((a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad) \).

Це насправді алгебраїчне визначення комплексних чисел. З дидактичної та евристичної точок зору бажано мати комплексні числа, введені за допомогою геометричної інтерпретації. Але з логічної точки зору теорія пар набагато більш задовольняє, оскільки показує послідовність теорії комплексних чисел, починаючи з узгодженості дійсних чисел [3, стор. 175].

Малюнок 8: Гамільтон.

Малюнок 9: Коші.

Серед багатьох математиків та вчених, які внесли свій внесок, є троє, які виділяються як рішуче вплинули на хід розробки комплексного аналізу [8, т. 2, гл. 27]. Перший - Августин-Луї Коші (1789-1857), який розробив теорію складного інтегрального числення. Використовуючи уявні числа Коші зміг оцінити «реальні інтеграли», які до цього не могли бути оцінені, отримавши приголомшливі результати, такі як

\(\int_{0}^{\infty}\frac{sinx}{x}dx=\frac{\pi }{2}\)

і

\(\int_{0}^{\pi}logsinxdx=-\pi log2\).

Оцінка дійсних інтегралів, крім розв'язку кубічного рівняння та фундаментальної теореми алгебри, довела, наскільки цінним було вважати уявні числа.

Малюнок 10: Вайєрштрасс.

Малюнок 11: Ріман.

Нарешті, двома іншими важливими математиками є Карл Вайєрштрасс (1815-1897) та Бернхард Ріман (1826-1866), які з'явилися на математичній сцені приблизно в середині дев'ятнадцятого століття. Вейєрштрасс розробив теорію з початкової точки конвергентних силових рядів, і такий підхід призвів до більш формальних алгебраїчних розробок. Ріман сприяв більш геометричній точці зору на вивчення складних функцій. Його ідеї мали величезний вплив не тільки на комплексний аналіз, але й на математику в цілому, хоча його погляди прижилися лише поступово.

---

Остаточні коментарі

Вищевикладені описи складних чисел - це ще не кінець історії. Різні розробки в дев'ятнадцятому і двадцятому століттях дозволили нам глибше зрозуміти роль складних чисел не тільки в математиці, але і в техніці та фізиці. Історія складних чисел захоплююча, і я настійно закликаю читача проконсультуватися з першоджерелами, наведеними тут, які могли б послужити відправною точкою для заглиблення в історичні деталі, які дозволили виникненню та розвитку складних чисел.

---

Посилання

 

1. Бомбеллі, Р. Л'Алгебра. Болонья.
2. Кардано Н. (1545). Художник магнате, алгебраїцид сиву де регуліс, ліберний гніз. (н.п.): Джон. Петрей.
3. Каррусіо, Е. (2009). Математика і логіка в історії та сучасній думці. (Квигли І.О., пров.) США: Угода Олдін. (Оригінальний твір опублікований 1964 р.).
4. Декарт Р. (1637). Ла Гометрі. Париж: А.Герман, Наукова бібліотека.
5. Ейлер, Л. Елементи алгебри. (Преподобний Джон Хьюлетт, B.D. F.A.S. & c, Trans.). Спрінгер-Верлаг. (Оригінальний твір опублікований 1770 р.).
6. Ейлері, Л. (1845). Інтегральний інститут розрахунку. Квартальний об'єм. Петрополі. Імпенсіс Академія Імперіаліс Науентарум.
7. Гонсалес-Веласко, А.Е. (2011) Подорож математикою. Springer Наука+Бізнес Медіа.
8. Клайн, М. Математична думка від давніх до сучасних часів. Тм. 1-3. Новий рік: Преса Оксфордського університету.
9. Мерцбах, У.К. & Боєр, К.Б. (2011). Історія математики. 3-е изд. Джон Вілі & Sons, Inc., Хобокен, Нью-Джерсі.
10. О'Коннор, Дж. і Робертсон, Е.Ф. (2000). Рафаель Бомбеллі.

Подальше читання

• Багні Г.Т. Алгебра Бомбеллі (1572) та новий математичний об'єкт. Для вивчення математики. Том 29, № 2, с. 29-31.
• Бюлер Д. Неповне розуміння комплексних чисел Джироламо Кардано: тематичне дослідження при придбанні математичних понять. Синтез 191:4231-4252.
• Бертон, Д.М. (1995). Історія математики: вступ (6-е видання) (2005). Нью-Йорк: Макгроу-Хілл.
• Гиндикін С. Казки математиків і фізиків. Друге англійське видання Springer Science+ Бізнес Медіа, ТОВ.
• Нахім, П.Дж. (1998). Уявна казка: Історія О\(\sqrt{-1}\). США: Преса Прінстонського університету.
• Хаффман, С.Дж. (2019). Математичний скарб: алгебра Рафаеля Бомбеллі. Конвергенція.
• Марсден, Дж. Е. і Тромба, А.Дж. (2003). Векторне обчислення. США: Фрімен і компанія.
• Мерино О. Коротка історія складних чисел.
• Стіллвелл, Дж. (2010). Математика та її історія. Springer Наука+Бізнес Медіа.