Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

Глава 10 Огляд вправ

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59638

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Розділ Огляд Вправи

    Пошук композиційних та обернених функцій

    Вправа\(\PageIndex{1}\) Find and Evaluate Composite Functions

    У наступних вправах для кожної пари функцій знайдіть

    1. \((f \circ g)(x)\)
    2. \((g \circ f)(x)\)
    3. \((f \cdot g)(x)\)

    1. \(f(x)=7 x-2\)і\(g(x)=5 x+1\)

    2. \(f(x)=4 x\)і\(g(x)=x^{2}+3 x\)

    Відповідь

    2.

    1. \(4 x^{2}+12 x\)
    2. \(16 x^{2}+12 x\)
    3. \(4 x^{3}+12 x^{2}\)
    Вправа\(\PageIndex{2}\) Find and Evaluate Composite Functions

    У наступних вправах оцініть склад.

    1. Для функцій\(f(x)=3 x^{2}+2\) і\(g(x)=4 x-3\), знайдіть
      1. \((f \circ g)(-3)\)
      2. \((g \circ f)(-2)\)
      3. \((f \circ f)(-1)\)
    2. Для функцій\(f(x)=2 x^{3}+5\) і\(g(x)=3 x^{2}-7\), знайдіть
      1. \((f \circ g)(-1)\)
      2. \((g \circ f)(-2)\)
      3. \((g \circ g)(1)\)
    Відповідь

    2.

    1. \(-123\)
    2. \(356\)
    3. \(41\)
    Вправа\(\PageIndex{3}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    У наступних вправах для кожного набору впорядкованих пар визначте, чи представляє він функцію, і якщо так, то є функцією один до одного.

    1. \(\begin{array}{l}{\{(-3,-5),(-2,-4),(-1,-3),(0,-2)} , {(-1,-1),(-2,0),(-3,1) \}}\end{array}\)
    2. \(\begin{array}{l}{\{(-3,0),(-2,-2),(-1,0),(0,1)} , {(1,2),(2,1),(3,-1) \}}\end{array}\)
    3. \(\begin{array}{l}{\{(-3,3),(-2,1),(-1,-1),(0,-3)} , {(1,-5),(2,-4),(3,-2) \}}\end{array}\)
    Відповідь

    2. Функція; не один до одного

    Вправа\(\PageIndex{4}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    У наступних вправах визначте, чи є кожен графік графіком функції, і якщо так, то чи є він один до одного.


      1. Ця цифра показує рядок від (від'ємний 6, негативний 2) до (негативний 1, 3), а потім вниз звідти до (6, негативний 4).
        Малюнок 10.E.1

      2. Ця цифра показує рядок від (6, 5) вниз до (0, від'ємний 1), а потім вниз звідти до (5, негативний 6).
        Малюнок 10.E.2

      1. На цьому малюнку показана крива лінія від (негативний 6, негативний 2) до початку, а потім продовжується звідти до (6, 2).
        Малюнок 10.E.3

      2. На цьому малюнку показано коло радіусом 2 з центром у початку.
        Малюнок 10.E.4
    Відповідь

    1.

    1. Функція; не один до одного
    2. Чи не є функцією
    Вправа\(\PageIndex{5}\) Find the Inverse of a Function

    У наступній вправі знайдіть зворотну функцію. Визначте область і діапазон оберненої функції.

    1. \(\{(-3,10),(-2,5),(-1,2),(0,1)\}\)
    Відповідь

    1. Зворотна функція:\(\{(10,-3),(5,-2),(2,-1),(1,0)\}\). Домен:\(\{1,2,5,10\}\). Діапазон:\(\{-3,-2,-1,0\}\).

    Вправа\(\PageIndex{6}\) Find the Inverse of a Function

    У наступній вправі наведіть графік зворотного показаної функції один до одного.

    Ця цифра показує відрізок лінії від (від'ємний 4, негативний 2) до (негативний 2, 1) потім до (2, 2), а потім до (3, 4).
    Малюнок 10.Е.5
    Відповідь

    Вирішуйте самостійно

    Вправа\(\PageIndex{7}\) Find the Inverse of a Function

    У наступних вправах переконайтеся, що функції є зворотними функціями.

    1. \(\begin{array}{l}{f(x)=3 x+7 \text { and }} {g(x)=\frac{x-7}{3}}\end{array}\)
    2. \(\begin{array}{l}{f(x)=2 x+9 \text { and }} {g(x)=\frac{x+9}{2}}\end{array}\)
    Відповідь

    1. \(g(f(x))=x,\)і\(f(g(x))=x,\) тому вони зворотні.

    Вправа\(\PageIndex{8}\) Find the Inverse of a Function
    1. \(f(x)=6 x-11\)
    2. \(f(x)=x^{3}+13\)
    3. \(f(x)=\frac{1}{x+5}\)
    4. \(f(x)=\sqrt[5]{x-1}\)
    Відповідь

    1. \(f^{-1}(x)=\frac{x+11}{6}\)

    3. \(f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-5\)

    Оцініть та графуйте експоненціальні функції

    Вправа\(\PageIndex{9}\) Graph Exponential Functions

    У наступних вправах наведіть графік кожної з наступних функцій.

    1. \(f(x)=4^{x}\)
    2. \(f(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\)
    3. \(g(x)=(0.75)^{x}\)
    4. \(g(x)=3^{x+2}\)
    5. \(f(x)=(2.3)^{x}-3\)
    6. \(f(x)=e^{x}+5\)
    7. \(f(x)=-e^{x}\)
    Відповідь

    1.

    На цьому малюнку показана експоненціальна лінія, що проходить через точки (від'ємний 1, 1 над 4), (0, 1) і (1, 4).
    Малюнок 10.E.6

    3.

    На цьому малюнку показана експоненціальна лінія, що проходить через точки (від'ємний 1, 4 над 3), (0, 1) і (1, 3 над 4).
    Малюнок 10.Е.7

    5.

    На цьому малюнку показана експоненціальна лінія, що проходить через точки (негативний 1, негативний 59 над 23), (0, негативний 2) і (1, negative7 над 10).
    Малюнок 10.E.8

    7.

    На цьому малюнку показана експоненціальна лінія, що проходить через точки (від'ємний 1, негативний 1 над е), (0, негативний 1), і (1, негативний е).
    Малюнок 10.E.9
    Вправа\(\PageIndex{10}\) Solve Exponential Equations

    У наступних вправах розв'яжіть кожне рівняння.

    1. \(3^{5 x-6}=81\)
    2. \(2^{x^{2}}=16\)
    3. \(9^{x}=27\)
    4. \(5^{x^{2}+2 x}=\frac{1}{5}\)
    5. \(e^{4 x} \cdot e^{7}=e^{19}\)
    6. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{15}}=e^{2 x}\)
    Відповідь

    2. \(x=-2, x=2\)

    4. \(x=-1\)

    6. \(x=-3, x=5\)

    Вправа\(\PageIndex{11}\) Use Exponential Models in Applications

    У наступних вправах вирішуйте.

    1. Фелікс інвестував $\(12,000\) на ощадний рахунок. Якщо процентна ставка\(4\) складає% скільки буде на рахунку в\(12\) роках за кожним методом складання?
      1. з'єднання щоквартально
      2. з'єднання щомісяця
      3. з'єднання безперервно
    2. Складені вклади $\(20,000\) на інвестиційному рахунку. Якою буде вартість його інвестицій в\(30\) роках, якщо інвестиція заробляє\(7\)% на рік і постійно посилюється?
    3. Дослідник Центру контролю та профілактики захворювань вивчає ріст бактерії. Вона починає свій експеримент\(150\) з бактеріями, які ростуть зі швидкістю\(15\)% на годину. Вона буде перевіряти на бактерії\(24\) щогодини. Скільки бактерій він знайде за\(24\) години?
    4. За останні п'ять років населення Сполучених Штатів зросло зі швидкістю\(0.7\)% на рік до приблизно\(318,900,000\). Якщо цей показник збережеться, яким буде населення через\(5\) кілька років?
    Відповідь

    2. \(\$ 163,323.40\)

    4. \(330,259,000\)

    Оцінити і граф логарифмічні функції

    Вправа\(\PageIndex{12}\) Convert Between Exponential and Logarithmic Form

    У наступних вправах перетворіть з експоненціальної в логарифмічну форму.

    1. \(5^{4}=625\)
    2. \(10^{-3}=\frac{1}{1,000}\)
    3. \(63^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{63}\)
    4. \(e^{y}=16\)
    Відповідь

    2. \(\log \frac{1}{1,000}=-3\)

    4. \(\ln 16=y\)

    Вправа\(\PageIndex{13}\) Convert Between Exponential and Logarithmic Form

    У наступних вправах перетворіть кожне логарифмічне рівняння в експоненціальну форму.

    1. \(7=\log _{2} 128\)
    2. \(5=\log 100,000\)
    3. \(4=\ln x\)
    Відповідь

    2. \(100000=10^{5}\)

    Вправа\(\PageIndex{14}\) Evaluate Logarithmic Functions

    У наступних вправах вирішуйте для\(x\).

    1. \(\log _{x} 125=3\)
    2. \(\log _{7} x=-2\)
    3. \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}=x\)
    Відповідь

    1. \(x=5\)

    3. \(x=4\)

    Вправа\(\PageIndex{15}\) Evaluate Logarithmic Functions

    У наступних вправах знайдіть точне значення кожного логарифма без використання калькулятора.

    1. \(\log _{2} 32\)
    2. \(\log _{8} 1\)
    3. \(\log _{3} \frac{1}{9}\)
    Відповідь

    2. \(0\)

    Вправа\(\PageIndex{16}\) Graph Logarithmic Functions

    У наступних вправах графуйте кожну логарифмічну функцію.

    1. \(y=\log _{5} x\)
    2. \(y=\log _{\frac{1}{4}} x\)
    3. \(y=\log _{0.8} x\)
    Відповідь

    1.

    На цьому малюнку показана логарифмічна лінія, що проходить через точки (1 над 5, від'ємна 1), (1, 0), і (5, 1).
    Малюнок 10.Е.10

    3.

    На цьому малюнку показана логарифмічна лінія, що проходить через точки (4 над 5, 1), (1, 0) і (5 над 4, негативний 1).
    Малюнок 10.Е.11
    Вправа\(\PageIndex{17}\) Solve Logarithmic Equations

    У наступних вправах розв'яжіть кожне логарифмічне рівняння.

    1. \(\log _{a} 36=5\)
    2. \(\ln x=-3\)
    3. \(\log _{2}(5 x-7)=3\)
    4. \(\ln e^{3 x}=24\)
    5. \(\log \left(x^{2}-21\right)=2\)
    Відповідь

    2. \(x=e^{-3}\)

    4. \(x=8\)

    Вправа\(\PageIndex{18}\) Use Logarithmic Models in Applications

    Який рівень децибел свистка поїзда з інтенсивністю\(10^{−3}\) ват на квадратний дюйм?

    Відповідь

    \(90\)дБ

    Використання властивостей логарифмів

    Вправа\(\PageIndex{19}\) Use the Properties of Logarithms

    У наступних вправах використовуйте властивості логарифмів для оцінки.

      1. \(\log _{7} 1\)
      2. \(\log _{12} 12\)
      1. \(5^{\log _{5} 13}\)
      2. \(\log _{3} 3^{-9}\)
      1. \(10^{\log \sqrt{5}}\)
      2. \(\log 10^{-3}\)
      1. \(e^{\ln 8}\)
      2. \(\ln e^{5}\)
    Відповідь

    2.

    1. \(13\)
    2. \(-9\)

    4.

    1. \(8\)
    2. \(5\)
    Вправа\(\PageIndex{20}\) Use the Properties of Logarithms

    У наступних вправах використовуйте Product Властивість логарифмів, щоб записати кожен логарифм як суму логарифмів. Спрощуйте, якщо це можливо.

    1. \(\log _{4}(64 x y)\)
    2. \(\log 10,000 m\)
    Відповідь

    2. \(4+\log m\)

    Вправа\(\PageIndex{21}\) Use the Properties of Logarithms

    У наступних вправах використовуйте Коефіцієнтна властивість логарифмів, щоб записати кожен логарифм як суму логарифмів. Спрощуйте, якщо це можливо.

    1. \(\log _{7} \frac{49}{y}\)
    2. \(\ln \frac{e^{5}}{2}\)
    Відповідь

    2. \(5-\ln 2\)

    Вправа\(\PageIndex{22}\) Use the Properties of Logarithms

    У наступних вправах використовуйте властивість потужності логарифмів, щоб розширити кожен логарифм. Спрощуйте, якщо це можливо.

    1. \(\log x^{-9}\)
    2. \(\log _{4} \sqrt[7]{z}\)
    Відповідь

    2. \(\frac{1}{7} \log _{4} z\)

    Вправа\(\PageIndex{23}\) Use the Properties of Logarithms

    У наступних вправах використовуйте властивості логарифмів, щоб записати кожен логарифм як суму логарифмів. Спрощуйте, якщо це можливо.

    1. \(\log _{3}\left(\sqrt{4} x^{7} y^{8}\right)\)
    2. \(\log _{5} \frac{8 a^{2} b^{6} c}{d^{3}}\)
    3. \(\ln \frac{\sqrt{3 x^{2}-y^{2}}}{z^{4}}\)
    4. \(\log _{6} \sqrt[3]{\frac{7 x^{2}}{6 y^{3} z^{5}}}\)
    Відповідь

    2. \(\begin{array}{l}{\log _{5} 8+2 \log _{5} a+6 \log _{5} b} {+\log _{5} c-3 \log _{5} d}\end{array}\)

    4. \(\begin{array}{l}{\frac{1}{3}\left(\log _{6} 7+2 \log _{6} x-1-3 \log _{6} y\right.} {-5 \log _{6} z )}\end{array}\)

    Вправа\(\PageIndex{24}\) Use the Properties of Logarithms

    У наступних вправах використовуйте Властивості логарифмів для згущення логарифма. Спрощуйте, якщо це можливо.

    1. \(\log _{2} 56-\log _{2} 7\)
    2. \(3 \log _{3} x+7 \log _{3} y\)
    3. \(\log _{5}\left(x^{2}-16\right)-2 \log _{5}(x+4)\)
    4. \(\frac{1}{4} \log y-2 \log (y-3)\)
    Відповідь

    2. \(\log _{3} x^{3} y^{7}\)

    4. \(\log \frac{\sqrt[4]{y}}{(y-3)^{2}}\)

    Вправа\(\PageIndex{25}\) Use the Change-of-Base Formula

    У наступних вправах округлення до трьох знаків після коми, приблизний кожен логарифм.

    1. \(\log _{5} 97\)
    2. \(\log _{\sqrt{3}} 16\)
    Відповідь

    2. \(5.047\)

    Розв'язувати експоненціальні та логарифмічні рівняння

    Вправа\(\PageIndex{26}\) Solve Logarithmic Equations Using the Properties of Logarithms

    У наступних вправах вирішуйте для\(x\).

    1. \(3 \log _{5} x=\log _{5} 216\)
    2. \(\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3\)
    3. \(\log (x-1)-\log (3 x+5)=-\log x\)
    4. \(\log _{4}(x-2)+\log _{4}(x+5)=\log _{4} 8\)
    5. \(\ln (3 x-2)=\ln (x+4)+\ln 2\)
    Відповідь

    2. \(x=4\)

    4. \(x=3\)

    Вправа\(\PageIndex{27}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    У наступних вправах розв'яжіть кожне експоненціальне рівняння. Знайдіть точну відповідь, а потім наблизьте її до трьох знаків після коми.

    1. \(2^{x}=101\)
    2. \(e^{x}=23\)
    3. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=7\)
    4. \(7 e^{x+3}=28\)
    5. \(e^{x-4}+8=23\)
    Відповідь

    1. \(x=\frac{\log 101}{\log 2} \approx 6.658\)

    3. \(x=\frac{\log 7}{\log \frac{1}{3}} \approx-1.771\)

    5. \(x=\ln 15+4 \approx 6.708\)

    Вправа\(\PageIndex{28}\) Use Exponential Models in Applications
    1. Джером інвестує $\(18,000\) у віці\(17\). Він сподівається, що інвестиції коштуватимуть $,\(30,000\) коли він повернеться\(26\). Якщо відсотки постійно зростають, приблизно які темпи зростання йому знадобляться для досягнення своєї мети? Це розумне очікування?
    2. Еліза інвестує $\(4500\) в рахунок, який щомісяця поєднує відсотки і заробляє\(6\) %.Скільки часу знадобиться, щоб її гроші подвоїлися?
    3. Дослідники зафіксували, що певна популяція бактерій росла від\(100\) до\(300\)\(8\) годин. При такій швидкості росту, скільки бактерій буде в\(24\) годині?
    4. Популяції мишей можуть подвоїтися за\(8\) місяці\(\left(A=2 A_{0}\right)\). Скільки часу знадобиться популяції миші, щоб потроїтися?
    5. Період напіввиведення радіоактивного йоду становить\(60\) добу. Скільки\(50\) мг зразка залишиться в\(40\) днях?
    Відповідь

    2. \(11.6\)років

    4. \(12.7\)місяців

    Практика Тест

    Вправа\(\PageIndex{29}\)
    1. За функціями,\(f(x)=6x+1\) і\(g(x)=8x−3\), знайти
      1. \((f \circ g)(x)\)
      2. \((g \circ f)(x)\)
      3. \((f \cdot g)(x)\)
    2. Визначте, чи відповідає наступний набір впорядкованих пар функцію, і якщо так, то є функцією один до одного. \(\{(-2,2),(-1,-3),(0,1),(1,-2),(2,-3)\}\)
    3. Визначте, чи є кожен графік графіком функції, і якщо так, то чи є він один до одного.

      1. На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вправо з вершиною (від'ємна 3, 0).
        Малюнок 10.E.12

      2. На цьому малюнку показана експоненціальна лінія, що проходить через точки (від'ємний 1, 1 над 2), (0, 1) і (1, 2).
        Малюнок 10.E.13
    4. Графік, на тій же системі координат, зворотна показана функція один до одного.
    Ця цифра показує відрізок лінії, що проходить від точки (від'ємний 3, 3) до (негативний 1, 2) до (0, негативний 2) до (2, негативний 4).
    Малюнок 10.Е.14

    5. Знайдіть обернену функцію\(f(x)=x^{5}−9\).

    6. Графік функції\(g(x)=2^{x-3}\).

    7. Розв'яжіть рівняння\(2^{2 x-4}=64\).

    8. Розв'яжіть рівняння\(\frac{e^{x^{2}}}{e^{4}}=e^{3 x}\).

    9. Меган інвестувала $\(21,000\) на ощадний рахунок. Якщо процентна ставка дорівнює\(5\)%, скільки буде на рахунку в\(8\) роках по кожному способу складання?

    1. з'єднання щоквартально
    2. з'єднання щомісяця
    3. з'єднання безперервно

    10. Перетворіть рівняння з експоненціальної в логарифмічну форму:\(10^{-2}=\frac{1}{100}\).

    11. Перетворіть рівняння з логарифмічного рівняння в експоненціальну форму:\(3=\log _{7} 343\).

    12. Вирішити для\(x\):\(\log _{5} x=-3\)

    13. Оцінити журнал\(_{11} 1\).

    14. Оцінити\(\log _{4} \frac{1}{64}\).

    15. Графік функції\(y=\log _{3} x\).

    16. Вирішити для\(x\):\(\log \left(x^{2}-39\right)=1\)

    17. Який рівень децибел невеликого вентилятора з інтенсивністю\(10^{−8}\) ват на квадратний дюйм?

    18. Оцініть кожен.

    1. \(6^{\log _{6} 17}\)
    2. \(\log _{9} 9^{-3}\)
    Відповідь

    1.

    1. \(48 x-17\)
    2. \(48 x+5\)
    3. \(48 x^{2}-10 x-3\)

    3.

    1. Чи не є функцією
    2. Функція «один-на-один»

    5. \(f^{-1}(x)=\sqrt[5]{x+9}\)

    7. \(x=5\)

    9.

    1. $\(31,250.74\)
    2. $\(31,302.29\)
    3. $\(31,328.32\)

    11. \(343=7^{3}\)

    13. \(0\)

    15.

    На цьому малюнку показана логарифмічна лінія, що проходить через (1 над 3, 1), (1, 0) і (3, 1).
    Малюнок 10.E.15

    17. \(40\)дБ

    Вправа\(\PageIndex{30}\)

    У наступних вправах використовуйте властивості логарифмів, щоб записати кожен вираз як суму логарифмів, спрощуючи, якщо це можливо.

    1. \(\log _{5} 25 a b\)
    2. \(\ln \frac{e^{12}}{8}\)
    3. \(\log _{2} \sqrt[4]{\frac{5 x^{3}}{16 y^{2} z^{7}}}\)
    Відповідь

    1. \(2+\log _{5} a+\log _{5} b\)

    3. \(\begin{array}{l}{\frac{1}{4}\left(\log _{2} 5+3 \log _{2} x-4-2 \log _{2} y\right.} {-7 \log _{2} z )}\end{array}\)

    Вправа\(\PageIndex{31}\)

    У наступних вправах використовуйте Властивості логарифмів для згущення логарифма, спрощуючи, якщо це можливо.

    1. \(5 \log _{4} x+3 \log _{4} y\)
    2. \(\frac{1}{6} \log x-3 \log (x+5)\)
    3. Округлення до трьох знаків після коми, приблизне\(\log _{4} 73\).
    4. Вирішити для\(x\):\(\log _{7}(x+2)+\log _{7}(x-3)=\log _{7} 24\)
    Відповідь

    2. \(\log \frac{\sqrt[6]{x}}{(x+5)^{3}}\)

    4. \(x=6\)

    Вправа\(\PageIndex{32}\)

    У наступних вправах розв'яжіть кожне експоненціальне рівняння. Знайдіть точну відповідь, а потім наблизьте її до трьох знаків після коми.

    1. \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x}=9\)
    2. \(5 e^{x-4}=40\)
    3. Джейкоб інвестує $\(14,000\) в рахунок, який щоквартально поєднує відсотки і заробляє\(4\)%. Скільки часу знадобиться, щоб його гроші подвоїлися?
    4. Дослідники зафіксували, що певна популяція бактерій росла від\(500\) до\(700\)\(5\) годин. При такій швидкості росту, скільки бактерій буде в\(20\) годині?
    5. Певна популяція жуків може подвоїтися за\(3\) місяці\(\left(A=2 A_{0}\right)\). Скільки часу знадобиться, щоб популяції жуків потроїлися?
    Відповідь

    2. \(x=\ln 8+4 \approx 6.079\)

    4. \(1,921\)бактерії