Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.6E: Вправи

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59632

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Практика робить досконалим

    Вправа\(\PageIndex{17}\) Solve Logarithmic Equations Using the Properties of Logarithms

    У наступних вправах вирішуйте для\(x\).

    1. \(\log _{4} 64=2 \log _{4} x\)
    2. \(\log 49=2 \log x\)
    3. \(3 \log _{3} x=\log _{3} 27\)
    4. \(3 \log _{6} x=\log _{6} 64\)
    5. \(\log _{5}(4 x-2)=\log _{5} 10\)
    6. \(\log _{3}\left(x^{2}+3\right)=\log _{3} 4 x\)
    7. \(\log _{3} x+\log _{3} x=2\)
    8. \(\log _{4} x+\log _{4} x=3\)
    9. \(\log _{2} x+\log _{2}(x-3)=2\)
    10. \(\log _{3} x+\log _{3}(x+6)=3\)
    11. \(\log x+\log (x+3)=1\)
    12. \(\log x+\log (x-15)=2\)
    13. \(\log (x+4)-\log (5 x+12)=-\log x\)
    14. \(\log (x-1)-\log (x+3)=\log \frac{1}{x}\)
    15. \(\log _{5}(x+3)+\log _{5}(x-6)=\log _{5} 10\)
    16. \(\log _{5}(x+1)+\log _{5}(x-5)=\log _{5} 7\)
    17. \(\log _{3}(2 x-1)=\log _{3}(x+3)+\log _{3} 3\)
    18. \(\log (5 x+1)=\log (x+3)+\log 2\)
    Відповідь

    2. \(x=7\)

    4. \(x=4\)

    6. \(x=1, x=3\)

    8. \(x=8\)

    10. \(x=3\)

    12. \(x=20\)

    14. \(x=3\)

    16. \(x=6\)

    18. \(x=\frac{5}{3}\)

    Вправа\(\PageIndex{18}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    У наступних вправах розв'яжіть кожне експоненціальне рівняння. Знайдіть точну відповідь, а потім наблизьте її до трьох знаків після коми.

    1. \(3^{x}=89\)
    2. \(2^{x}=74\)
    3. \(5^{x}=110\)
    4. \(4^{x}=112\)
    5. \(e^{x}=16\)
    6. \(e^{x}=8\)
    7. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=6\)
    8. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=8\)
    9. \(4 e^{x+1}=16\)
    10. \(3 e^{x+2}=9\)
    11. \(6 e^{2 x}=24\)
    12. \(2 e^{3 x}=32\)
    13. \(\frac{1}{4} e^{x}=3\)
    14. \(\frac{1}{3} e^{x}=2\)
    15. \(e^{x+1}+2=16\)
    16. \(e^{x-1}+4=12\)
    Відповідь

    2. \(x=\frac{\log 74}{\log 2} \approx 6.209\)

    4. \(x=\frac{\log 112}{\log 4} \approx 3.404\)

    6. \(x=\ln 8 \approx 2.079\)

    8. \(x=\frac{\log 8}{\log \frac{1}{3}} \approx-1.893\)

    10. \(x=\ln 3-2 \approx-0.901\)

    12. \(x=\frac{\ln 16}{3} \approx 0.924\)

    14. \(x=\ln 6 \approx 1.792\)

    16. \(x=\ln 8+1 \approx 3.079\)

    Вправа\(\PageIndex{19}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    У наступних вправах вирішуйте кожне рівняння.

    1. \(3^{3 x+1}=81\)
    2. \(6^{4 x-17}=216\)
    3. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{14}}=e^{5 x}\)
    4. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{20}\)
    5. \(\log _{a} 64=2\)
    6. \(\log _{a} 81=4\)
    7. \(\ln x=-8\)
    8. \(\ln x=9\)
    9. \(\log _{5}(3 x-8)=2\)
    10. \(\log _{4}(7 x+15)=3\)
    11. \(\ln e^{5 x}=30\)
    12. \(\ln e^{6 x}=18\)
    13. \(3 \log x=\log 125\)
    14. \(7 \log _{3} x=\log _{3} 128\)
    15. \(\log _{6} x+\log _{6}(x-5)=\log _{6} 24\)
    16. \(\log _{9} x+\log _{9}(x-4)=\log _{9} 12\)
    17. \(\log _{2}(x+2)-\log _{2}(2 x+9)=-\log _{2} x\)
    18. \(\log _{6}(x+1)-\log _{6}(4 x+10)=\log _{6} \frac{1}{x}\)
    Відповідь

    2. \(x=5\)

    4. \(x=-4, x=5\)

    6. \(a=3\)

    8. \(x=e^{9}\)

    10. \(x=7\)

    12. \(x=3\)

    14. \(x=2\)

    16. \(x=6\)

    18. \(x=5\)

    Вправа\(\PageIndex{20}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    У наступних вправах вирішуйте для\(x\), даючи точну відповідь, а також наближення до трьох знаків після коми.

    1. \(6^{x}=91\)
    2. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=10\)
    3. \(7 e^{x-3}=35\)
    4. \(8 e^{x+5}=56\)
    Відповідь

    2. \(x=\frac{\log 10}{\log \frac{1}{2}} \approx-3.322\)

    4. \(x=\ln 7-5 \approx-3.054\)

    Вправа\(\PageIndex{21}\) Use Exponential Models in Applications

    У наступних вправах вирішуйте.

    1. Сунг Лі інвестує $\(5,000\) у віці\(18\). Він сподівається, що інвестиції коштуватимуть $,\(10,000\) коли він повернеться\(25\). Якщо відсотки постійно зростають, приблизно які темпи зростання йому знадобляться для досягнення своєї мети? Це розумне очікування?
    2. Аліса інвестує $\(15,000\) у віці\(30\) від підписання бонусу своєї нової роботи. Вона сподівається, що інвестиції коштуватимуть $,\(30,000\) коли вона повернеться\(40\). Якщо відсотки постійно зростають, приблизно які темпи зростання їй знадобляться для досягнення своєї мети?
    3. Coralee інвестує $\(5,000\) в рахунок, який щомісяця поєднує відсотки і заробляє\(7\)%. Скільки часу знадобиться, щоб її гроші подвоїлися?
    4. Simone інвестує $\(8,000\) в рахунок, який щоквартально поєднує відсотки і заробляє\(5\)%. Скільки часу знадобиться, щоб його гроші подвоїлися?
    5. Дослідники зафіксували, що популяція певних бактерій скоротилася від\(100,000\) до\(100\)\(24\) години. При такій швидкості гниття скільки бактерій буде в\(16\) годині?
    6. Дослідники зафіксували, що популяція певних бактерій скоротилася від\(800,000\) до\(500,000\)\(6\) години після введення ліків. При такій швидкості гниття скільки бактерій буде в\(24\) годині?
    7. Вірусу потрібні\(6\) дні, щоб подвоїти свою первісну популяцію\(\left(A=2 A_{0}\right)\). Скільки часу знадобиться, щоб потроїти чисельність населення?
    8. Бактерія подвоює свою початкову популяцію за\(24\) годинами\(\left(A=2 A_{0}\right)\). Наскільки великим буде його населення в\(72\) годині?
    9. Вуглець-14 використовується для археологічного датування вуглецю. Його період напіврозпаду становить\(5,730\) роки. Скільки\(100\) -грамового зразка Вуглець-14 залишиться в\(1000\) роках?
    10. Радіоактивний технецій-99m часто використовується в діагностичній медицині, оскільки він має відносно короткий період напіврозпаду, але триває досить довго, щоб отримати необхідне тестування зроблено на пацієнта. Якщо його період напіврозпаду становить\(6\) години, скільки радіоактивного матеріалу утворюють\(0.5\) мл ін'єкції буде в організмі в\(24\) годинами?
    Відповідь

    2. \(6.9\)%

    4. \(13.9\)років

    6. \(122,070\)бактерії

    8. \(8\)разів більше, ніж початкове населення

    10. \(0.03\)мл

    Вправа\(\PageIndex{22}\) Writing Exercises
    1. Поясніть метод, який ви використовували б для вирішення цих рівнянь:\(3^{x+1}=81\),\(3^{x+1}=75\). Чи потрібен ваш метод логарифми для обох рівнянь? Чому чи чому ні?
    2. Яка різниця між рівнянням експоненціального зростання від рівняння експоненціального розпаду?
    Відповідь

    2. Відповіді будуть відрізнятися.

    Самостійна перевірка

    а Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

    Ця таблиця складається з чотирьох рядків і чотирьох стовпців. Перший рядок, який служить заголовком, читає I can…, Впевнено, З деякою допомогою, і No※ Я don’ т отримати його. Перший стовпець під рядком заголовка читає розв'язувати логарифмічні рівняння, використовуючи властивості логарифмів, вирішувати експоненціальні рівняння за допомогою логарифмів та використовувати експоненціальні моделі в додатках. Решта осередків порожні.
    Малюнок 10.5.1

    б Подивившись контрольний список, ви вважаєте, що добре підготовлені до наступного розділу? Чому чи чому ні?