10.6: Розв'язування експоненціальних та логарифмічних рівнянь

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59626

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

Розв'язуйте логарифмічні рівняння за допомогою властивостей логарифмів
Розв'язувати експоненціальні рівняння за допомогою логарифмів
Використання експоненціальних моделей у додатках

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Вирішити:$x^{2}=16$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 6.46.
Вирішити:$x^{2}−5x+6=0$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 6.45.
Вирішити:$x(x+6)=2x+5$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 6.47.

Розв'язувати логарифмічні рівняння за допомогою властивостей логарифмів

У розділі про логарифмічні функції ми розв'язали деякі рівняння шляхом перезапису рівняння в експоненціальній формі. Тепер, коли ми маємо властивості логарифмів, у нас є додаткові методи, які ми можемо використовувати для вирішення логарифмічних рівнянь.

Якщо наше рівняння має два логарифми ми можемо використовувати властивість, яка говорить, що якщо$\log _{a} M=\log _{a} N$ тоді це правда, що$M=N$. Це властивість «один-до-одному» логарифмічних рівнянь.

Визначення$\PageIndex{1}$

Один-до-одному властивість логарифмічних рівнянь

Для$M>0,N>0,a>0$, і$a≠1$ є будь-яке дійсне число:

Якщо$\log _{a} M=\log _{a} N,$ тоді$M=N$.

Щоб використовувати цю властивість, ми повинні бути впевнені, що обидві сторони рівняння записані з однаковою базою.

Пам'ятайте, що логарифми визначаються тільки для позитивних дійсних чисел. Перевірте свої результати в оригінальному рівнянні. Можливо, ви отримали результат, який дає логарифм нулю або від'ємне число.

Приклад$\PageIndex{1}$

Вирішити:$2 \log _{5} x=\log _{5} 81$.

Рішення:

$2 \log _{5} x=\log _{5} 81$

Використовуйте властивість Power.

$\log _{5} x^{2}=\log _{5} 81$

Використовуйте властивість «Один до одного», якщо$\log _{a} M=\log _{a} N$, то$M=N$.

$x^{2}=81$

Вирішіть, використовуючи властивість квадратного кореня.

$x=\pm 9$

Ми усуваємо$x=-9$, оскільки не можемо взяти логарифм від'ємного числа.

$x=9, \cancel{x=-9}$

Перевірте. $x=9$

$\begin{aligned}2 \log _{5} x&=\log _{5} 81 \\ 2 \log _{5} 9 &\stackrel{?}{=} \log _{5} 81 \\ \log _{5} 9^{2} & \stackrel{?}{=}\log _{5} 81 \\ \log _{5} 81 & =\log _{5} 81\end{aligned}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Вирішити:$2 \log _{3} x=\log _{3} 36$

Відповідь: $x=6$

Вправа$\PageIndex{2}$

Вирішити:$3 \log x=\log 64$

Відповідь: $x=4$

Інша стратегія, яку слід використовувати для вирішення логарифмічних рівнянь, полягає в згущенні сум або відмінностей в один логарифм.

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішити:$\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2$.

Рішення:

$\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2$

Використовуйте властивість продукту,$\log _{a} M+\log _{a} N=\log _{a} M \cdot N$.

$\log _{3} x(x-8)=2$

Перепишіть в експоненціальній формі.

$3^{2}=x(x-8)$

Спростити.

$9=x^{2}-8 x$

Відніміть$9$ з кожного боку.

$0=x^{2}-8 x-9$

Фактор.

$0=(x-9)(x+1)$

Використовувати властивість нульового продукту

$x-9=0, \quad x+1=0$

Вирішіть кожне рівняння.

$x=9, \quad \cancel{x=-1}$

Перевірте. $x=-1$

$\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8)&=2 \\ \log _{3}(-1)+\log _{3}(-1-8) &\stackrel{?}{=}2\end{aligned}$

Ми не можемо взяти журнал від'ємного числа.

Перевірте. $x=9$

$\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8) &=2 \\ \log _{3} 9+\log _{3}(9-8) & \stackrel{?}{=} 2 \\ 2+0 &\stackrel{?}{=}2 \\ 2 &=2 \end{aligned}$

Вправа$\PageIndex{3}$

Вирішити:$\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3$

Відповідь: $x=4$

Вправа$\PageIndex{4}$

Вирішити:$\log _{2} x+\log _{2}(x-6)=4$

Відповідь: $x=8$

Коли є логарифми з обох сторін, ми конденсуємо кожну сторону в один логарифм. Не забудьте використовувати властивість живлення в міру необхідності.

Приклад$\PageIndex{3}$

Вирішити:$\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x$.

Рішення:

$\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x$

Використовуйте властивість Quotient з лівого боку та PowerProperty праворуч.

$\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} x^{-1}$

Перепишіть$x^{-1}=\frac{1}{x}$.

$\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} \frac{1}{x}$

Використовуйте властивість «Один до одного», якщо$\log _{a} M=\log _{a} N$, то$M=N$.

$\frac{x+6}{2 x+5}=\frac{1}{x}$

Розв'яжіть раціональне рівняння.

$x(x+6)=2 x+5$

Розподілити.

$x^{2}+6 x=2 x+5$

Пишіть в стандартній формі.

$x^{2}+4 x-5=0$

Фактор.

$(x+5)(x-1)=0$

Використовуйте властивість нульового продукту.

$x+5=0, \quad x-1=0$

Вирішіть кожне рівняння.

$\cancel{x=-5}, \quad x=1$

Перевірте.

Ми залишаємо чек для вас.

Вправа$\PageIndex{5}$

Вирішити:$\log (x+2)-\log (4 x+3)=-\log x$.

Відповідь: $x=3$

Вправа$\PageIndex{6}$

Вирішити:$\log (x-2)-\log (4 x+16)=\log \frac{1}{x}$.

Відповідь: $x=8$

Приклад$\PageIndex{4}$ Solve Exponential Equations Using Logarithms

Вирішити$5^{x}=11$. Знайдіть точну відповідь, а потім наблизьте її до трьох знаків після коми.

Рішення:

$5^{x}=11$

Так як експоненціальна ізольована, візьміть логарифм обох сторін.

$\log 5^{x}=\log 11$

Використовуйте властивість Power, щоб отримати$x$ як коефіцієнт, а не показник.

$x \log 5=\log 11$

Вирішити для$x$. Знайдіть точну відповідь.

$x=\frac{\log 11}{\log 5}$

Приблизна відповідь.

$x \approx 1.490$

З тих пір$5^{1}=5$ і$5^{2}=25$, чи має сенс, що$5^{1.490}≈11$?

Вправа$\PageIndex{7}$

Вирішити$7^{x}=43$. Знайдіть точну відповідь, а потім наблизьте її до трьох знаків після коми.

Відповідь: $x=\frac{\log 43}{\log 7} \approx 1.933$

Вправа$\PageIndex{8}$

Вирішити$8^{x}=98$. Знайдіть точну відповідь, а потім наблизьте її до трьох знаків після коми.

Відповідь: $x=\frac{\log 98}{\log 8} \approx 2.205$

Коли ми візьмемо логарифм обох сторін, ми отримаємо однаковий результат, чи використовуємо загальний або натуральний логарифм (спробуйте використовувати натуральний журнал в останньому прикладі. Ви отримали такий же результат?) Коли експоненціальна має підставу$e$, ми використовуємо натуральний логарифм.

Приклад$\PageIndex{5}$

Вирішити$3e^{x+2}=24$. Знайдіть точну відповідь, а потім наблизьте її до трьох знаків після коми.

Рішення:

$3 e^{x+2}=24$

Ізолюйте експоненціальну, розділивши обидві сторони на$3$.

$e^{x+2}=8$

Візьміть натуральний логарифм обох сторін.

$\ln e^{x+2}=\ln 8$

Використовуйте властивість Power, щоб отримати$x$ як коефіцієнт, а не показник.

$(x+2) \ln e=\ln 8$

Використовуйте властивість$\ln e=1$ для спрощення.

$x+2=\ln 8$

Розв'яжіть рівняння. Знайдіть точну відповідь.

$x=\ln 8-2$

Приблизна відповідь.

$x \approx 0.079$

Вправа$\PageIndex{9}$

Вирішити$2e^{x−2}=18$. Знайдіть точну відповідь, а потім наблизьте її до трьох знаків після коми.

Відповідь: $x=\ln 9+2 \approx 4.197$

Вправа$\PageIndex{10}$

Вирішити$5e^{2x}=25$. Знайдіть точну відповідь, а потім наблизьте її до трьох знаків після коми.

Відповідь: $x=\frac{\ln 5}{2} \approx 0.805$

Використання експоненціальних моделей у додатках

У попередніх розділах нам вдалося вирішити деякі програми, які були змодельовані за допомогою експоненціальних рівнянь. Тепер, коли у нас є набагато більше варіантів вирішення цих рівнянь, ми можемо вирішити більше додатків.

Ми знову будемо використовувати складні процентні формули, і тому ми перерахуємо їх тут для довідки.

Визначення$\PageIndex{2}$

Складні відсотки

Для основного боргу$P$, вкладеного за процентною ставкою,$t$ роками новий баланс,$A$ становить:$r$

$\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}$

Приклад$\PageIndex{6}$

Батьки Джермаеля вклали $$10,000$ в інвестиції для його витрат на коледж на його перший день народження. Вони сподіваються, що інвестиції коштуватимуть $,$50,000$ коли він повернеться$18$. Якщо відсотки постійно зростають, приблизно які темпи зростання їм знадобляться для досягнення своєї мети?

Рішення:

Визначте змінні в формулі.

$\begin{aligned} A &=\$ 50,000 \\ P &=\$ 10,000 \\ r &=? \\ t &=17 \text { years } \\ A &=P e^{r t} \end{aligned}$

Підставте значення в формулу.

$50,000=10,000 e^{r \cdot 17}$

Вирішити для$r$. Розділіть кожну сторону на$10,000$.

$5=e^{17 r}$

Візьміть натуральне колоду з кожного боку.

$\ln 5=\ln e^{17 r}$

Використовуйте властивість Power.

$\ln 5=17 r \ln e$

Спростити.

$\ln 5=17 r$

Розділіть кожну сторону на$17$.

$\frac{\ln 5}{17}=r$

Приблизна відповідь.

$r \approx 0.095$

Перетворити на відсоток.

$r \approx 9.5 \%$

Їм потрібно, щоб швидкість зростання була приблизно$9.5$%.

Вправа$\PageIndex{11}$

Гектор інвестує $$10,000$ у віці$21$. Він сподівається, що інвестиції коштуватимуть $,$150,000$ коли він повернеться$50$. Якщо відсотки постійно зростають, приблизно які темпи зростання йому знадобляться для досягнення своєї мети?

Відповідь: $r \approx 9.3 \%$

Вправа$\PageIndex{12}$

Рейчел інвестує $$15,000$ у віці$25$. Вона сподівається, що інвестиції коштуватимуть $,$90,000$ коли вона повернеться$40$. Якщо відсотки постійно зростають, приблизно які темпи зростання їй знадобляться для досягнення своєї мети?

Відповідь: $r \approx 11.9 \%$

Ми бачили, що зростання і занепад моделюються експоненціальними функціями. Для зростання і гниття використовуємо формулу$A=A_{0} e^{k t}$. Експоненціальне зростання має позитивну швидкість зростання або постійну зростання$k$, а експоненціальний розпад має негативну швидкість зростання або константу розпаду,$k$.

Визначення$\PageIndex{3}$

Експоненціальне зростання і занепад

Для початкової суми$A_{0}$, яка росте або розпадається зі швидкістю$k$, за певний час$t$, остаточна сума$A$, становить:

$A=A_{0} e^{k t}$

Тепер ми можемо вирішувати додатки, які дають нам достатньо інформації для визначення темпів зростання. Потім ми можемо використовувати ці темпи зростання для прогнозування інших ситуацій.

Приклад$\PageIndex{7}$

Дослідники зафіксували, що певна популяція бактерій росла від$100$ до$300$$3$ годин. При такій швидкості росту скільки бактерій буде$24$ годин від початку експерименту?

Рішення:

Ця проблема вимагає двох основних етапів. Спочатку ми повинні знайти невідому швидкість,$k$. Тоді ми використовуємо це значення,$k$ щоб допомогти нам знайти невідому кількість бактерій.

Визначте змінні в формулі.

$\begin{aligned} A &=300 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=3 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

Підставляємо значення в формулу.

$300=100 e^{k \cdot 3}$

Вирішити для$k$. Розділіть кожну сторону на$100$.

$3=e^{3 k}$

Візьміть натуральне колоду з кожного боку.

$\ln 3=\ln e^{3 k}$

Використовуйте властивість Power.

$\ln 3=3 k \ln e$

Спростити.

$\ln 3=3 k$

Розділіть кожну сторону на$3$.

$\frac{\ln 3}{3}=k$

Приблизна відповідь.

$k \approx 0.366$

Ми використовуємо цю швидкість росту, щоб передбачити кількість бактерій, що там буде в$24$ годині.

$\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 3}{3} \\ t &=24 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

Підставляємо в значення.

$A=100 e^{\frac{\ln 3}{3} \cdot 24}$

Оцінити.

$A \approx 656,100$

При такій швидкості росту їх можуть очікувати$656,100$ бактерії.

Вправа$\PageIndex{13}$

Дослідники зафіксували, що певна популяція бактерій росла від$100$ до$500$$6$ годин. При такій швидкості росту скільки бактерій буде$24$ годин від початку експерименту?

Відповідь: Будуть$62,500$ бактерії.

Вправа$\PageIndex{14}$

Дослідники зафіксували, що популяція певних бактерій скоротилася від$700,000$ до$400,000$$5$ години після введення ліків. При такій швидкості гниття скільки бактерій буде$24$ годин від початку експерименту?

Відповідь: Будуть$5,870,061$ бактерії.

Радіоактивні речовини розпадаються або розкладаються за формулою експоненціального розпаду. Кількість часу, необхідний для розпаду речовини до половини його початкової кількості називається період напіврозпаду речовини.

Подібно до попереднього прикладу, ми можемо використовувати дану інформацію для визначення константи розпаду, а потім використовувати цю константу для відповіді на інші питання.

Приклад$\PageIndex{8}$

Період напіввиведення радію-226 становить$1,590$ роки. Скільки$100$ мг зразка залишиться в$500$ роках?

Рішення:

Ця проблема вимагає двох основних етапів. Спочатку ми повинні знайти константу розпаду$k$. Якщо ми почнемо з$100$ -mg, в період напіврозпаду буде$50$ -mg, що залишився. Ми будемо використовувати цю інформацію для пошуку$k$. Тоді ми використовуємо це значення,$k$ щоб допомогти нам знайти кількість зразка, який залишиться через$500$ роки.

Визначте змінні в формулі.

$\begin{aligned} A &=50 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=1590 \text { years } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

Підставляємо значення в формулу.

$50=100 e^{k \cdot 1590}$

Вирішити для$k$. Розділіть кожну сторону на$100$.

$0.5=e^{1590 k}$

Візьміть натуральне колоду з кожного боку.

$\ln 0.5=\ln e^{1590 k}$

Використовуйте властивість Power.

$\ln 0.5=1590 k \ln e$

Спростити.

$\ln 0.5=1590 k$

Розділіть кожну сторону на$1590$.

$\frac{\ln 0.5}{1590}=k$точну відповідь

Ми використовуємо цей темп зростання, щоб прогнозувати суму, яка залишиться через$500$ роки.

$\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 0.5}{1590} \\ t &=500\: \mathrm{years} \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

Підставляємо в значення.

$A=100 e^{\frac{1 \mathrm{n} 0.5}{1500} \cdot 500}$

Оцінити.

$A \approx 80.4 \mathrm{mg}$

У$500$ роки залишилося б приблизно$80.4$ мг.

Вправа$\PageIndex{15}$

Період напіввиведення магнію-27 становить$9.45$ хвилини. Скільки зразка$10$ -mg залишиться за$6$ лічені хвилини?

Відповідь: Залишиться$6.43$ mg.

Вправа$\PageIndex{16}$

Період напіввиведення радіоактивного йоду становить$60$ добу. Скільки зразка$50$ -mg залишиться в$40$ днях?

Відповідь: Залишиться$31.5$ mg.

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткових інструкцій та практики з розв'язуванням експоненціальних та логарифмічних рівнянь.

Ключові концепції

Один-до-одному властивість логарифмічних рівнянь:$M>0, N>0, a>0$ For, і$a≠1$ є будь-яким дійсним числом:
Якщо$\log _{a} M=\log _{a} N,$ тоді$M=N$
Складні відсотки:
Для основної суми$P$, вкладеної за процентною ставкою$r$,$t$ протягом багатьох років, новий баланс$A$, становить:
$\begin{array}{ll}{A} & {=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A} & {=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}$
Експоненціальний ріст і занепад: Для початкової суми,$A_{0}$ яка росте або розпадається зі швидкістю$r$, протягом певного часу$t$ остаточна сума$A$, є$A=A_{0} e^{r t}$.

Визначення\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Визначення\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Визначення\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)