10.4: Оцінити і граф логарифмічні функції
- Page ID
- 59665
До кінця цього розділу ви зможете:
- Перетворення між експоненціальною та логарифмічною формою
- Оцініть логарифмічні функції
- Логарифмічні функції графа
- Розв'язувати логарифмічні рівняння
- Використання логарифмічних моделей у додатках
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Вирішити:\(x^{2}=81\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 6.46. - Оцініть:\(3^{−2}\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.15. - Вирішити:\(2^{4}=3x−5\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.2.
Ми витратили деякий час на пошук зворотного багатьох функцій. Він добре працює, щоб «скасувати» операцію з іншою операцією. Віднімання «скасовує» додавання, множення «скасовує» ділення, беручи квадратний корінь «скасовує» квадрат.
Коли ми вивчали експоненціальну функцію, ми побачили, що вона є один до одного, оскільки її графіки проходять тест горизонтальної лінії. Це означає, що експоненціальна функція має зворотну. Якщо ми спробуємо наш алгебраїчний метод для пошуку зворотного, ми зіткнемося з проблемою.
\(f(x)=a^{x}\)
Перепишіть с\(y=f(x)\).
\(y=a^{x}\)
Обмін змінними\(x\) і\(y\).
\(x=a^{y}\)
Вирішити для\(y\).
Упс! У нас немає можливості вирішити\(y\)!
Для цього ми визначимо функцію логарифму з основою a, яка буде оберненою експоненціальною функцією\(f(x)=a^{x}\). Ми використовуємо позначення\(f^{−1}(x)=log_{a}x\) і скажемо, що обернена функція експоненціальної функції - логарифмічна функція.
\(f(x)=\log_{a}x\)Функція - логарифмічна функція з основою\(a\), де\(a>0,x>0\), і\(a≠1\).
\(y=\log _{a} x\)еквівалентний\(x=a^{y}\)
Перетворення між експоненціальною та логарифмічною формою
Так як рівняння\(y=\log _{a} x\) і\(x=a^{y}\) рівнозначні, ми можемо переходити туди-сюди між ними. Це часто буде метод вирішення деяких експоненціальних і логарифмічних рівнянь. Щоб допомогти з перетворенням вперед і назад, давайте уважно розглянемо рівняння. Див. Малюнок 10.3.1. Зверніть увагу на позиції показника і бази.
Якщо ми розуміємо, що логарифм є показником, це полегшує перетворення. Можливо, ви захочете повторити: «база до експоненти дайте нам число».
Перетворити в логарифмічну форму:
- \(2^{3}=8\)
- \(5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\)
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{16}\)
Рішення:
Перетворити в логарифмічну форму:
- \(3^{2}=9\)
- \(7^{\frac{1}{2}}=\sqrt{7}\)
- \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=\frac{1}{27}\)
- Відповідь
-
- \(\log _{3} 9=2\)
- \(\log _{7} \sqrt{7}=\frac{1}{2}\)
- \(\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}=x\)
Перетворити в логарифмічну форму:
- \(4^{3}=64\)
- \(4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}\)
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{32}\)
- Відповідь
-
- \(\log _{4} 64=3\)
- \(\log _{4} \sqrt[3]{4}=\frac{1}{3}\)
- \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}=x\)
У наступному прикладі ми робимо зворотне перетворення логарифмічної форми в експоненціальну форму.
Перетворити на експоненціальну форму:
- \(2=\log _{8} 64\)
- \(0=\log _{4} 1\)
- \(-3=\log _{10} \frac{1}{1000}\)
Рішення:
Перетворити на експоненціальну форму:
- \(3=\log _{4} 64\)
- \(0=\log _{x} 1\)
- \(-2=\log _{10} \frac{1}{100}\)
- Відповідь
-
- \(64=4^{3}\)
- \(1=x^{0}\)
- \(\frac{1}{100}=10^{-2}\)
Перетворити на експоненціальну форму:
- \(3=\log _{3} 27\)
- \(0=\log _{x} 1\)
- \(-1=\log _{10} \frac{1}{10}\)
- Відповідь
-
- \(27=3^{3}\)
- \(1=x^{0}\)
- \(\frac{1}{10}=10^{-1}\)
Оцініть логарифмічні функції
Ми можемо розв'язувати та оцінювати логарифмічні рівняння за допомогою методу перетворення рівняння в його еквівалентне експоненціальне рівняння.
Знайдіть значення\(x\):
- \(\log _{x} 36=2\)
- \(\log _{4} x=3\)
- \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=x\)
Рішення:
а.
\(\log _{x} 36=2\)
Перетворити на експоненціальну форму.
\(x^{2}=36\)
Розв'яжіть квадратичну.
\(x=6, \quad \cancel{x=-6}\)
Основа логарифмічної функції повинна бути позитивною, тому ми усуваємо\(x=−6\).
\(x=6 \quad\)Тому,\(\log _{6} 36=2\)
б.
\(\log _{4} x=3\)
Перетворити на експоненціальну форму.
\(4^{3}=x\)
Спростити.
\(x=64 \quad\)Тому\(, \log _{4} 64=3\)
c.
\(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=x\)
Перетворити на експоненціальну форму.
\(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{8}\)
Перепишіть\(\frac{1}{8}\) як\(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\).
\(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\)
При однаковій основі показники повинні бути рівними.
\(x=3 \quad\)Тому\(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=3\)
Знайдіть значення\(x\):
- \(\log _{x} 64=2\)
- \(\log _{5} x=3\)
- \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}=x\)
- Відповідь
-
- \(x=8\)
- \(x=125\)
- \(x=2\)
Знайдіть значення\(x\):
- \(\log _{x} 81=2\)
- \(\log _{3} x=5\)
- \(\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}=x\)
- Відповідь
-
- \(x=9\)
- \(x=243\)
- \(x=3\)
Коли бачимо такий вираз\(log_{3}27\), як, ми можемо знайти його точне значення двома способами. Інспекцією ми усвідомлюємо це означає «\(3\)якій владі буде\(27\)»? Так як\(3^{3}=27\), ми знаємо\(log_{3}27=3\). Альтернативний спосіб - встановити вираз рівним,\(x\) а потім перетворити його в експоненціальне рівняння.
Знайдіть точне значення кожного логарифма без використання калькулятора:
- \(\log _{5} 25\)
- \(\log _{9} 3\)
- \(\log _{2} \frac{1}{16}\)
Рішення:
а.
\(\log _{5} 25\)
\(5\)до якої влади буде\(25\)?
\(\log _{5} 25=2\)
Або
Встановіть вираз рівним\(x\).
\(\log _{5} 25=x\)
Перехід на експоненціальну форму.
\(5^{x}=25\)
Перепишіть\(25\) як\(5^{2}\).
\(5^{x}=5^{2}\)
При однаковій основі показники повинні бути рівними.
\(x=2 \quad\)Тому\(, \log _{5} 25=2\).
б.
\(\log _{9} 3\)
Встановіть вираз рівним\(x\).
\(\log _{9} 3=x\)
Перехід на експоненціальну форму.
\(9^{x}=3\)
Перепишіть\(9\) як\(3^{2}\).
\(\left(3^{2}\right)^{x}=3^{1}\)
Спростіть показники.
\(3^{2 x}=3^{1}\)
При однаковій основі показники повинні бути рівними.
\(2 x=1\)
Розв'яжіть рівняння.
\(x=\frac{1}{2} \quad\)Тому\(, \log _{9} 3=\frac{1}{2}\).
c.
\(\log _{2} \frac{1}{16}\)
Встановіть вираз рівним\(x\).
\(\log _{2} \frac{1}{16}=x\)
Перехід на експоненціальну форму.
\(2^{x}=\frac{1}{16}\)
Перепишіть\(16\) як\(2^{4}\).
\(2^{x}=\frac{1}{2^{4}}\)
\(2^{x}=2^{-4}\)
При однаковій основі показники повинні бути рівними.
\(x=-4 \quad\)Тому\(, \log _{2} \frac{1}{16}=-4\).
Знайдіть точне значення кожного логарифма без використання калькулятора:
- \(\log _{12} 144\)
- \(\log _{4} 2\)
- \(\log _{2} \frac{1}{32}\)
- Відповідь
-
- \(2\)
- \(\frac{1}{2}\)
- \(-5\)
Знайдіть точне значення кожного логарифма без використання калькулятора:
- \(\log _{9} 81\)
- \(\log _{8} 2\)
- \(\log _{3} \frac{1}{9}\)
- Відповідь
-
- \(2\)
- \(\frac{1}{3}\)
- \(-2\)
Логарифмічні функції графа
Для побудови графіка логарифмічної функції\(y=log_{a}x\) найпростіше перетворити рівняння в його експоненціальну форму\(x=a^{y}\). Як правило, коли ми шукаємо впорядковані пари для графіка функції, ми зазвичай вибираємо\(x\) -значення, а потім визначаємо відповідне\(y\) значення. У цьому випадку вам може бути простіше вибрати\(y\) -values, а потім визначити відповідне\(x\) значення.
Графік\(y=\log _{2} x\).
Рішення:
Для графіка функції спочатку перепишемо логарифмічне рівняння\(y=\log _{2} x\), в експоненціальній формі\(2^{y}=x\).
Ми будемо використовувати точкове побудова графіка для графіка функції. Буде простіше почати зі значень,\(y\) а потім отримати\(x\).
| \(y\) | \(2^{y}=x\) | \((x,y)\) |
|---|---|---|
| \ (y\) ">\(-2\) | \ (2^ {y} =х\) ">\(2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}\) | \ (x, y)\) ">\((\frac{1}{4},2)\) |
| \ (y\) ">\(-1\) | \ (2^ {y} =х\) ">\(2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}\) | \ (x, y)\) ">\((\frac{1}{2},-1)\) |
| \ (y\) ">\(0\) | \ (2^ {y} =х\) ">\(2^{0}=1\) | \ (x, y)\) ">\((1,0)\) |
| \ (y\) ">\(1\) | \ (2^ {y} =х\) ">\(2^{1}=2\) | \ (x, y)\) ">\((2,1)\) |
| \ (y\) ">\(2\) | \ (2^ {y} =х\) ">\(2^{2}=4\) | \ (x, y)\) ">\((4,2)\) |
| \ (y\) ">\(3\) | \ (2^ {y} =х\) ">\(2^{3}=8\) | \ (x, y)\) ">\((8,3)\) |
Графік:\(y=\log _{3} x\).
- Відповідь
-
Малюнок 10.3.5
Графік:\(y=\log _{5} x\).
- Відповідь
-
Малюнок 10.3.6
Графіки\(y=\log _{2} x, y=\log _{3} x\), і\(y=\log _{5} x\) є форма, яку ми очікуємо від логарифмічної функції де\(a>1\).
Ми помічаємо, що для кожної функції графік містить точку\((1,0)\). Це має сенс, тому що\(0=log_{a}1\) означає\(a^{0}=1\), що вірно для будь-якого\(a\).
Графік кожної функції, також містить точку\((a,1)\). Це має сенс як\(1=\log _{a} a\) засіб\(a^{1}=a\). Що вірно для будь-якого\(a\).
Зверніть увагу теж, графік кожної функції\(y=\log _{a} x\) також містить точку\(\left(\frac{1}{a},-1\right)\). Це має сенс як\(-1=\log _{a} \frac{1}{a}\) засіб\(a^{-1}=\frac{1}{a}\), що вірно для будь-якого\(a\).
Подивіться на кожен графік ще раз. Тепер ми побачимо, що багато характеристик логарифмової функції є просто «дзеркальними зображеннями» характеристик відповідної експоненціальної функції.
Що таке область функції? Графік ніколи не потрапляє на\(y\) вісь -. Домен - це всі позитивні числа. Записуємо домен в інтервальне позначення як\((0,∞)\).
Який діапазон для кожної функції? З графіків ми бачимо, що діапазон - це набір всіх дійсних чисел. Обмежень по дальності немає. Запишемо діапазон в інтервальних позначеннях як\((−∞,∞)\).
Коли графік наближається до\(y\) -осі так близько, але ніколи не перетинає її, ми називаємо лінію\(x=0\),\(y\) -вісь, вертикальну асимптоту.
| Домен | \((0, \infty)\) |
| Діапазон | \((-\infty, \infty)\) |
| \(x\)-перехопити | \((1,0)\) |
| \(y\)-перехопити | Жоден |
| Містить | \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) |
| Асимптота | \(y\)-вісь |
Наступний наш приклад розглядає графік\(y=log_{a}x\) коли\(0<a<1\).
Графік\(y=\log _{\frac{1}{3}} x\).
Рішення:
Для графіка функції спочатку перепишемо логарифмічне рівняння\(y=\log _{\frac{1}{3}} x\), в експоненціальній формі\(\left(\frac{1}{3}\right)^{y}=x\).
Ми будемо використовувати точкове побудова графіка для графіка функції. Буде простіше почати зі значень,\(y\) а потім отримати\(x\).
| \(y\) | \(\left(\frac{1}{3}\right)^{y}=x\) | \((x,y)\) |
|---|---|---|
| \ (y\) ">\(-2\) | \ (\ ліворуч (\ frac {1} {3}\ праворуч) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^{2}=9\) | \ (x, y)\) ">\((9,-2)\) |
| \ (y\) ">\(-1\) | \ (\ ліворуч (\ frac {1} {3}\ праворуч) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3^{1}=3\) | \ (x, y)\) ">\((3,-1)\) |
| \ (y\) ">\(0\) | \ (\ ліворуч (\ frac {1} {3}\ праворуч) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{0}=1\) | \ (x, y)\) ">\((1,0)\) |
| \ (y\) ">\(1\) | \ (\ ліворуч (\ frac {1} {3}\ праворуч) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{1}=\frac{1}{3}\) | \ (x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{3}, 1\right)\) |
| \ (y\) ">\(2\) | \ (\ ліворуч (\ frac {1} {3}\ праворуч) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}\) | \ (x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{9}, 2\right)\) |
| \ (y\) ">\(3\) | \ (\ ліворуч (\ frac {1} {3}\ праворуч) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}\) | \ (x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{27}, 3\right)\) |
Графік:\(y=\log _{\frac{1}{2}} x\).
- Відповідь
-
Графік:\(y=\log _{\frac{1}{4}} x\).
- Відповідь
-
Тепер, давайте подивимося на графіки\(y=\log _{\frac{1}{2}} x, y=\log _{\frac{1}{3}} x\) і\(y=\log _{\frac{1}{4}} x\), так що ми можемо визначити деякі властивості логарифмічних функцій де\(0<a<1\).
Графіки всіх мають однакову основну форму. Хоча це форма, яку ми очікуємо від логарифмічної функції де\(0<a<1\).
Ми помічаємо, що для кожної функції знову, графік містить точки,\((1,0),(a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\). Це має сенс з тих же причин, про які ми стверджували вище.
Ми помічаємо, що домен і діапазон також однакові - домен є\((0,∞)\) і діапазон є\((−∞,∞)\). \(y\)-вісь знову вертикальна асимптота.
Ми підсумуємо ці властивості на графіку нижче. Які також включають в себе коли\(a>1\).
| Коли\(a>1\) | Коли\(0<a<1\) | ||
|---|---|---|---|
| \ (a">1\) ">Домен | \((0, \infty)\) | \ (0<a<1\) ">Домен | \((0, \infty)\) |
| \ (a">1\) ">Діапазон | \((-\infty, \infty)\) | \ (0<a<1\) ">Діапазон | \((-\infty, \infty)\) |
| \ (a">1\) ">\(x\) -перехоплення | \((1,0)\) | \ (0<a<1\) ">\(x\) -перехоплення | \((1,0)\) |
| \ (a">1\) ">\(y\) -перехоплення | Жоден | \ (0<a<1\) ">\(y\) -перехоплення | Жоден |
| \ (a">1\) ">Містить | \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) | \ (0<a<1\) ">Містить | \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) |
| \ (a">1\) ">Асимптота | \(y\)-вісь | \ (0<a<1\) ">Асимптота | \(y\)-вісь |
| \ (a">1\) ">Базова форма | Збільшення | \ (0<a<1\) ">Базова форма | Зниження |
Ми говорили раніше про те, як логарифмічна функція\(f^{-1}(x)=\log _{a} x\) є оберненою експоненціальної функції\(f(x)=a^{x}\). Графіки на малюнку 10.3.12 показують як експоненціальні (сині), так і логарифмічні (червоні) функції на одному графіку для обох\(a>1\) і\(0<a<1\).
Зверніть увагу, як графіки є відображенням один одного через лінію\(y=x\). Ми знаємо, що це справедливо для зворотних функцій. Зберігаючи візуальний у вашій увазі ці графіки допоможе вам запам'ятати область та діапазон кожної функції. Зверніть увагу, що\(x\) -вісь - це горизонтальна асимптота для експоненціальних функцій, а\(y\) -вісь - вертикальна асимптота для логарифмічних функцій.
Розв'язувати логарифмічні рівняння
Коли ми говорили про експоненціальні функції, ми ввели число\(e\). Так само, як\(e\) була базою для експоненціальної функції, він може бути використаний як база для логарифмічних функцій теж. Логарифмічна функція з основою\(e\) називається природною логарифмічною функцією. \(f(x)=\log _{e} x\)Функція, як правило, написана,\(f(x)=\ln x\) і ми читаємо її як «el en of»\(x\).
Функція\(f(x)=\ln x\) - це натуральна логарифмічна функція з основою\(e\), де\(x>0\).
\(y=\ln x\)еквівалентний\(x=e^{y}\)
Коли основою функції логарифма є\(10\), ми називаємо її загальною логарифмічною функцією і база не показана. Якщо основа\(a\) логарифма не показана, ми припускаємо, що це так\(10\).
Функція\(f(x)=\log x\) є загальною логарифмічною функцією з базою\(10\), де\(x>0\).
\(y=\log x\)еквівалентний\(x=10^{y}\)
Для вирішення логарифмічних рівнянь одна стратегія полягає в тому, щоб змінити рівняння в експоненціальну форму, а потім вирішити експоненціальне рівняння, як ми робили раніше. Коли ми вирішуємо логарифмічні рівняння\(y=log_{a}x\), нам потрібно пам'ятати, що для основи\(a\),\(a>0\) і\(a≠1\). Також домен є\(x>0\). Так само, як і у випадку з радикальними рівняннями, ми повинні перевірити наші рішення, щоб усунути будь-які сторонні рішення.
Вирішити:
- \(\log _{a} 49=2\)
- \(\ln x=3\)
Рішення:
а.
\(\log _{a} 49=2\)
Перепишіть в експоненціальній формі.
\(a^{2}=49\)
Розв'яжіть рівняння, використовуючи властивість квадратного кореня.
\(a=\pm 7\)
База не може бути негативною, тому ми усуваємо\(a=-7\).
\(a=7, \quad \cancel{a=-7}\)
Перевірка. \(a=7\)
\(\begin{aligned} \log _{a} 49&=2 \\ \log_{7}49&\stackrel{?}{=}2 \\ 7^{2}&\stackrel{?}{=}49 \\ 49&=49 \end{aligned}\)
б.
\(\ln x=3\)
Перепишіть в експоненціальній формі.
\(e^{3}=x\)
Перевірка. \(x=e^{3}\)
\(\begin{aligned} \ln x &=3 \\ \ln e^{3} & \stackrel{?}{=} 3 \\ e^{3} &=e^{3} \end{aligned}\)
Вирішити:
- \(\log _{a} 121=2\)
- \(\ln x=7\)
- Відповідь
-
- \(a=11\)
- \(x=e^{7}\)
Вирішити:
- \(\log _{a} 64=3\)
- \(\ln x=9\)
- Відповідь
-
- \(a=4\)
- \(x=e^{9}\)
Вирішити:
- \(\log _{2}(3 x-5)=4\)
- \(\ln e^{2 x}=4\)
Рішення:
а.
\(\log _{2}(3 x-5)=4\)
Перепишіть в експоненціальній формі.
\(2^{4}=3 x-5\)
Спростити.
\(16=3 x-5\)
Розв'яжіть рівняння.
\(21=3 x\)
\(7=x\)
Перевірка. \(x=7\)
\(\begin{aligned} \log _{2}(3 x-5)&=4 \\ \log_{2}(3\cdot7-5)&\stackrel{?}{=}4\\ \log_{2}(16)&\stackrel{?}{=}4 \\ 2^{4}& \stackrel{?}{=}16 \\ 16&=16 \end{aligned}\)
б.
\(\ln e^{2 x}=4\)
Перепишіть в експоненціальній формі.
\(e^{4}=e^{2 x}\)
Оскільки основи однакові, показники рівні.
\(4=2 x\)
Розв'яжіть рівняння.
\(2=x\)
Перевірка. \(x=2\)
\(\begin{aligned} \ln e^{2 x} &=4 \\ \ln e^{2 \cdot 2} & \stackrel{?}{=} 4 \\ \ln e^{4} &=4 \\ e^{4} &=e^{4} \end{aligned}\)
Вирішити:
- \(\log _{2}(5 x-1)=6\)
- \(\ln e^{3 x}=6\)
- Відповідь
-
- \(x=13\)
- \(x=2\)
Вирішити:
- \(\log _{3}(4 x+3)=3\)
- \(\ln e^{4 x}=4\)
- Відповідь
-
- \(x=6\)
- \(x=1\)
Використання логарифмічних моделей у додатках
Існує багато додатків, які моделюються логарифмічними рівняннями. Спочатку ми розглянемо логарифмічне рівняння, яке дає децибел (дБ) рівень звуку. Децибели варіюються від\(0\), що ледь чутно до\(160\), що може розірвати барабанну перетинку. \(10^{−12}\)У формулі представлена інтенсивність звуку, який ледь чутний.
Рівень звуку в децибелах
Рівень гучності\(D\), вимірюваний в децибелах, звуку інтенсивності\(I\), вимірюваний у ватах на квадратний дюйм, становить
\(D=10 \log \left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\)
Розширений вплив шуму, який вимірює\(85\) дБ, може спричинити постійне пошкодження внутрішнього вуха, що призведе до втрати слуху. Який рівень децибел музики, що надходить через навушники з інтенсивністю\(10^{−2}\) ват на квадратний дюйм?
Рішення:
 |
|
| Підставляємо за рівнем інтенсивності,\(I\). |  |
| Спростити. |  |
| Так як\(\log 10^{10}=10\). |  |
| Помножити. |  |
| Рівень децибел музики, що надходить через навушники, становить\(100\) дБ. |
Який рівень децибел однієї з нових тихих посудомийних машин інтенсивністю\(10^{−7}\) ват на квадратний дюйм?
- Відповідь
-
Тихі посудомийні машини мають рівень децибел\(50\) дБ.
Який рівень децибел інтенсивний міський трафік з інтенсивністю\(10^{−3}\) ват на квадратний дюйм?
- Відповідь
-
Рівень децибел інтенсивного трафіку -\(90\) дБ.
Величина\(R\) землетрусу вимірюється логарифмічною шкалою, яка називається шкалою Ріхтера. Модель є\(R=\log I\), де\(I\) знаходиться інтенсивність ударної хвилі. Ця модель забезпечує спосіб вимірювання інтенсивності землетрусу.
Величина\(R\) землетрусу вимірюється тим\(R=\log I\), де\(I\) знаходиться інтенсивність його ударної хвилі.
У 1906 році Сан-Франциско пережив інтенсивний землетрус магнітудою\(7.8\) за шкалою Ріхтера. Понад\(80\)% міста було знищено внаслідок пожеж. У 2014 році Лос-Анджелес пережив помірний землетрус, який\(5.1\) вимірювався за шкалою Ріхтера і завдав збитку на\(108\) мільйон доларів. Порівняйте інтенсивності двох землетрусів.
Рішення:
Щоб порівняти інтенсивності, спочатку потрібно перетворити величини в інтенсивності за допомогою формули журналу. Потім ми встановимо співвідношення для порівняння інтенсивностей.
Перетворіть величини в інтенсивності.
\(R=\log I\)
Землетрус 1906 року
\(7.8=\log I\)
Перетворити на експоненціальну форму.
\(I=10^{7.8}\)
землетрус 2014 року
\(5.1=\log I\)
Перетворити на експоненціальну форму.
\(I=10^{5.1}\)
Сформувати співвідношення інтенсивностей.
\(\frac{\text { Intensity for } 1906}{\text { Intensity for } 2014}\)
Підставляємо в значення.
\(\frac{10^{7.8}}{10^{5.1}}\)
Ділимо шляхом віднімання показників.
\(10^{2.7}\)
Оцініть.
\(501\)
Інтенсивність землетрусу 1906 року приблизно в\(501\) рази перевищувала інтенсивність землетрусу 2014 року.
У 1906 році Сан-Франциско пережив інтенсивний землетрус магнітудою\(7.8\) за шкалою Ріхтера. У 1989 році землетрус Лома-Прієта торкнувся також району Сан-Франциско, і вимірювався\(6.9\) за шкалою Ріхтера. Порівняйте інтенсивності двох землетрусів.
- Відповідь
-
Інтенсивність землетрусу 1906 року приблизно в\(8\) рази перевищувала інтенсивність землетрусу 1989 року.
У 2014 році Чилі пережила сильний землетрус магнітудою\(8.2\) за шкалою Ріхтера. У 2014 році Лос-Анджелес також пережив землетрус, який вимірювався\(5.1\) за шкалою Ріхтера. Порівняйте інтенсивності двох землетрусів.
- Відповідь
-
Інтенсивність землетрусу в Чилі приблизно в\(1,259\) рази перевищувала інтенсивність землетрусу в Лос-Анджелесі.
Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткової інструкції та практики з оцінкою та графіком логарифмічних функцій.
Ключові поняття
- Властивості графа\(y=\log _{a} x\):
| Коли\(a>1\) | Коли\(0<a<1\) | ||
|---|---|---|---|
| \ (a">1\) ">Домен | \((0, \infty)\) | \ (0<a<1\) ">Домен | \((0, \infty)\) |
| \ (a">1\) ">Діапазон | \((-\infty, \infty)\) | \ (0<a<1\) ">Діапазон | \((-\infty, \infty)\) |
| \ (a">1\) ">\(x\) -перехоплення | \((1,0)\) | \ (0<a<1\) ">\(x\) -перехоплення | \((1,0)\) |
| \ (a">1\) ">\(y\) -перехоплення | Жоден | \ (0<a<1\) ">\(y\) -перехоплення | Жоден |
| \ (a">1\) ">Містить | \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) | \ (0<a<1\) ">Містить | \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) |
| \ (a">1\) ">Асимптота | \(y\)-вісь | \ (0<a<1\) ">Асимптота | \(y\)-вісь |
| \ (a">1\) ">Базова форма | Збільшення | \ (0<a<1\) ">Базова форма | Зниження |
- Рівень звуку в децибелах: Рівень гучності\(D\), вимірюваний в децибелах, звуку інтенсивності\(I\), вимірюваний у ватах на квадратний дюйм, становить\(D=10 \log \left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\).
- Інтенсивність\(R\) землетрусу: магнітуда землетрусу вимірюється\(I\) тим\(R=\log I\), де інтенсивність його ударної хвилі.
Глосарій
- загальна логарифмічна функція
- Функція\(f(x)=\log x\) є загальною логарифмічною функцією з базою\(10\), де\(x>0\).
\(y=\log x\)еквівалентний\(x=10^{y}\)
- логарифмічна функція
- \(f(x)=\log _{a} x\)Функція - логарифмічна функція з основою\(a\), де\(a>0,x>0\), і\(a≠1\).
\(y=\log _{a} x\)еквівалентний\(x=a^{y}\)
- природна логарифмічна функція
- Функція\(f(x)=\ln x\) - це натуральна логарифмічна функція з основою\(e\), де\(x>0\).
\(y=\ln x\)еквівалентний\(x=e^{y}\)