Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.3: Оцініть та графуйте експоненціальні функції

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59646

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    До кінця цього розділу ви зможете:

    • Графік експоненціальних функцій
    • Вирішити експоненціальні рівняння
    • Використання експоненціальних моделей у додатках

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    1. Спростити:\(\left(\frac{x^{3}}{x^{2}}\right)\).
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.13.
    2. Оцініть: а.\(2^{0}\) б\(\left(\frac{1}{3}\right)^{0}\).
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.14.
    3. Оцініть: а.\(2^{−1}\) б\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\).
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.15.

    Графік експоненціальних функцій

    Функції, які ми вивчили до цих пір, не дають нам моделі для багатьох природних явищ. Від зростання популяцій та поширення вірусів до радіоактивного розпаду та посилення інтересу моделі сильно відрізняються від того, що ми вивчали досі. Ці моделі передбачають експоненціальні функції.

    Експоненціальна функція - це функція виду\(f(x)=a^{x}\) де\(a>0\) і\(a≠1\).

    Визначення\(\PageIndex{1}\)

    Експоненціальна функція\(a≠1\), де\(a>0\) і, - функція виду

    \(f(x)=a^{x}\)

    Зверніть увагу, що в цій функції змінна є показником. У наших функціях до цих пір змінні були базовими.

    На цьому малюнку показано три функції: f x дорівнює негативному 3x плюс 4, який позначений як лінійний; f x дорівнює 2x у квадраті плюс 5x мінус 3, який позначений як квадратичний; і f x дорівнює 6 до потужності x, яка позначена експоненціальною. Для функцій, позначених лінійними та квадратичними, x є основою. Для функції, позначеної експоненціальною, x є показником для основи 6.
    Малюнок 10.2.1

    Наше визначення говорить\(a≠1\). Якщо ми пустимо\(a=1\), то\(f(x)=a^{x}\) стане\(f(x)=1^{x}\). Так як\(1^{x}=1\) для всіх дійсних чисел,\(f(x)=1\). Це постійна функція.

    Наше визначення також говорить\(a>0\). Якщо ми дозволимо базу бути негативним, скажімо\(−4\), то не\(f(x)=(−4)^{x}\) є дійсним числом, коли\(x=\frac{1}{2}\).

    \(\begin{aligned} f(x) &=(-4)^{x} \\ f\left(\frac{1}{2}\right) &=(-4)^{\frac{1}{2}} \\ f\left(\frac{1}{2}\right) &=\sqrt{-4} \text { not a real number } \end{aligned}\)

    Насправді, не\(f(x)=(−4)^{x}\) буде дійсним числом будь-який час\(x\) є дріб з парним знаменником. Так що наше визначення вимагає\(a>0\).

    Намалювавши кілька експоненціальних функцій, ми зможемо побачити їх унікальні властивості.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    На тій же системі координат граф\(f(x)=2^{x}\) і\(g(x)=3^{x}\).

    Рішення:

    Ми будемо використовувати точкове побудова графіків для графіка функцій.

    Ця таблиця має сім рядків і п'ять стовпців. Перший рядок є рядком заголовка і читає х, f з х дорівнює 2 до потужності x, (x, f x), g x дорівнює 3 до потужності x, і (x, g x). Другий рядок читає негативні 2, 2 до негативного 2 влади дорівнює 1 ділиться на 2 в квадраті, що дорівнює 1 над 4, (негативний 2, 1 над 4), 3 до негативного 2 влади дорівнює 1 ділиться на 3 в квадраті, що дорівнює 1 над 9, (негативний 2, 1 над 9). Третій рядок читає негативні 1, 2 до негативного 1 влада дорівнює 1 ділиться на 2 до першої влади, яка дорівнює 1 над 2, (негативний 1, 1 над 2), 3 до негативного 1 влада дорівнює 1 ділиться на 3 до першої влади, яка дорівнює 1 над 3, (негативний 1, 1 над 3). Четвертий ряд читає 0, 2 до 0 потужність дорівнює 1, (0, 1), 3 до 0 потужність дорівнює 1, (0, 1). П'ятий ряд читає 1, 2 до потужності 1 дорівнює 2, (1, 2), 3 до потужності 1 дорівнює 9, (1, 3). Шостий ряд читає 2, 2 до потужності 2 дорівнює 4, (2, 4), 3 до потужності 2 дорівнює 9, (2, 9). Сьомий ряд читає 3, 2 до потужності 3 дорівнює 8, (3, 8), 3 до 3 потужності дорівнює 27, (3, 27).
    Малюнок 10.2.2
    На цьому малюнку показані дві криві. Перша крива позначена синім кольором і проходить через точки (від'ємна 1, 1 над 2), (0, 1) і (1, 2). Друга крива позначена червоним кольором і проходить через точки (негативна 1, 1 над 3), (0, 1), і (1, 3).
    Малюнок 10.2.3
    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Графік:\(f(x)=4^{x}\).

    Відповідь
    На цьому малюнку показана крива, яка швидко нахиляється вгору трохи вище (від'ємний 3, 0) через (0, 1) до (1, 4).
    Малюнок 10.2.4
    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Графік:\(g(x)=5^{x}\)

    Відповідь
    На цьому малюнку показана крива, яка швидко нахиляється вгору трохи вище (від'ємний 3, 0) через (0, 1) до (1, 5).
    Малюнок 10.2.5

    Якщо ми подивимося на графіки з попереднього Прикладу 10.2.1 і Вправи 10.2.1 і 10.2.2, то можна виділити деякі властивості експоненціальних функцій.

    Графіки\(f(x)=2^{x}\) і\(g(x)=3^{x}\), як і графіки\(f(x)=4^{x}\) і\(g(x)=5^{x}\), всі мають однакову основну форму. Це форма, яку ми очікуємо від експоненціальної функції де\(a>1\).

    Зауважимо, що для кожної функції графік містить точку\((0,1)\). Це має сенс, тому що\(a^{0}=1\) для будь-якого\(a\).

    Графік кожної функції,\(f(x)=a^{x}\) також містить точку\((1,a)\). Графік\(f(x)=2^{x}\) міститься\((1,2)\) і графік\(g(x)=3^{x}\) міститься\((1,3)\). Це має сенс як\(a^{1}=a\).

    Зверніть увагу теж, графік кожної функції\(f(x)=a^{x}\) також містить точку\((−1,\frac{1}{a})\). Графік\(f(x)=2^{x}\) міститься\((−1,\frac{1}{2})\) і графік\(g(x)=3^{x}\) міститься.\((−1,\frac{1}{3})\) Це має сенс як\(a^{−1}=\frac{1}{a}\).

    Який домен для кожної функції? З графіків видно, що домен - це сукупність всіх дійсних чисел. Обмежень щодо домену немає. Записуємо домен в інтервальне позначення як\((−∞,∞)\).

    Подивіться на кожен графік. Який діапазон функції? Графік ніколи не потрапляє на\(x\) вісь -. Діапазон - це всі позитивні числа. Запишемо діапазон в інтервальних позначеннях як\((0,∞)\).

    Всякий раз, коли графік функції наближається до лінії, але ніколи не торкається її, ми називаємо цю лінію асимптотою. Для експоненціальних функцій, на які ми дивимося, графік наближається до\(x\) -осі дуже близько, але ніколи не перетинає її, ми називаємо лінію\(y=0\),\(x\) -вісь, горизонтальну асимптоту.

    Властивості графа\(f(x)=a^{x}\) коли\(a>1\)

    Домен \((-\infty, \infty)\)
    Діапазон \((0, \infty)\)
    \(x\)-перехопити Жоден
    \(y\)-перехопити \((0,1)\)
    Містить \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\)
    Асимптота \(x\)-вісь, лінія\(y=0\)
    Таблиця 10.2.1
    На цьому малюнку показана крива, яка нахиляється вгору від (від'ємний 1, 1 над a) через (0, 1), до (1, a).
    Малюнок 10.2.6

    Наше визначення експоненціальної функції\(f(x)=a^{x}\) говорить\(a>0\), але приклади та обговорення досі були про функції де\(a>1\). Що станеться\(0<a<1\), коли Наступний приклад вивчить цю можливість.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    На одній і тій же системі координат графа\(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) і\(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\).

    Рішення:

    Ми будемо використовувати точкове побудова графіків для графіка функцій.

    Ця таблиця має сім рядків і п'ять стовпців. Перший рядок є рядком заголовка і читає х, f з х, дорівнює 1 над 2 до x потужності, (х, f х), г х дорівнює 1 над 3 до x потужності, і (х, г х). Другий рядок читає негативні 2, 1 над 2 до негативного 2 влади дорівнює 2 в квадраті, що дорівнює 4, (негативний 2, 4), 3 до негативного 2 влади дорівнює 3 в квадраті, що дорівнює 9, (негативний 2, 9). Третій рядок читає негативний 1, 1 над 2 до негативної потужності 1 дорівнює 2 до першої потужності, яка дорівнює 2, (негативний 1, 2), 1 над 3 до негативного 1 влади дорівнює 3 до першої потужності, яка дорівнює 3, (негативний 1, 3). Четвертий ряд читає 0, 1 над 2 до 0 потужність дорівнює 1, (0, 1), 1 над 3 до 0 потужність дорівнює 1, (0, 1). П'ятий ряд читає 1, 1 над 2 до потужності 1 дорівнює 1 над 2, (1, 1 над 2), 1 над 3 до 1 влади дорівнює 1 над 3, (1, 1 над 3). Шостий ряд читає 2, 1 над 2 до потужності 2 дорівнює 1 над 4, (2, 1 над 4), 1 над 3 до 2 влади дорівнює 1 над 9, (2, 1 над 9). Сьомий рядок читає 3, 1 над 2 до 3 влади дорівнює 1 над 8, (3, 1 над 8), 1 над 3 до 3 влади дорівнює 1 над 27, (3, 1 над 27).
    Малюнок 10.2.7
    На цьому малюнку показані дві криві. Перша крива позначена синім кольором і проходить через точки (негативні 1, 2), (0, 1) і (1, 1 над 2). Друга крива позначена червоним кольором і проходить через точки (негативні 1, 3), (0, 1) і (1, 1 над 3).
    Малюнок 10.2.8
    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Графік:\(f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\).

    Відповідь
    На цьому малюнку показана крива, яка проходить через (негативний 1, 4), (0, 1) до точки трохи вище (3, 0).
    Малюнок 10.2.9
    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Графік:\(g(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\).

    Відповідь
    На цьому малюнку показана крива, яка проходить через (негативний 1, 5), (0, 1) до точки трохи вище (3, 0).
    Малюнок 10.2.10

    Тепер давайте подивимося на графіки з попереднього Прикладу 10.2.2 і Вправи 10.2.3 і 10.2.4, щоб тепер ми можемо визначити деякі властивості експоненціальних функцій де\(0<a<1\).

    Графіки\(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\),\(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) а також графіки\(f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\) і\(g(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\) всі мають однакову основну форму. Хоча це форма, яку ми очікуємо від експоненціальної функції\(0<a<1\), де графіки опускаються зліва направо, тоді як попередні графіки\(a>1\), коли, йшли зверху зліва направо.

    Ми помічаємо, що для кожної функції графік все ще містить точку\((0, 1)\). Це має сенс, тому що\(a^{0}=1\) для будь-якого\(a\).

    Як і раніше, графік кожної функції\(f(x)=a^{x}\), також містить точку\((1,a)\). Графік\(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) міститься\(\left(1, \frac{1}{2}\right)\) і графік\(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) міститься\(\left(1, \frac{1}{3}\right)\). Це має сенс як\(a^{1}=a\).

    Зверніть увагу також, що графік кожної функції\(f(x)=a^{x}\), також містить точку\(\left(-1, \frac{1}{a}\right)\). Графік\(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) міститься\((−1,2)\) і графік\(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) міститься\((−1,3)\). Це має сенс як\(a^{-1}=\frac{1}{a}\).

    Який домен і діапазон для кожної функції? З графіків ми бачимо, що домен - це сукупність всіх дійсних чисел, і ми пишемо домен в інтервальному позначенні як\((−∞,∞)\). Знову ж таки, графік ніколи не потрапляє на\(x\) вісь -. Діапазон - це всі позитивні числа. Запишемо діапазон в інтервальних позначеннях як\((0,∞)\).

    Ми підсумуємо ці властивості на графіку нижче. Які також включають в себе коли\(a>1\).

    Властивості графа\(f(x)=a^{x}\)

    Коли\(a>1\) Коли\(0<a<1\)
    \ (a">1\) ">Домен \((-\infty, \infty)\) \ (0<a<1\) ">Домен \((-\infty, \infty)\)
    \ (a">1\) ">Діапазон \((0, \infty)\) \ (0<a<1\) ">Діапазон \((0, \infty)\)
    \ (a">1\) ">\(x\) -перехоплення жоден \ (0<a<1\) ">\(x\) -перехоплення жоден
    \ (a">1\) ">\(y\) -перехоплення \((0,1)\) \ (0<a<1\) ">\(y\) -перехоплення \((0,1)\)
    \ (a">1\) ">Містить \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\) \ (0<a<1\) ">Містить \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\)
    \ (a">1\) ">Асимптота

    \(x\)-вісь, лінія\(y=0\)

    		 \ (0<a<1\) ">Асимптота \(x\)-вісь, лінія\(y=0\)
    \ (a">1\) ">Базова форма підвищення \ (0<a<1\) ">Базова форма зменшуючись
    Таблиця 10.2.2
    Ця цифра має дві частини. Ліворуч ми маємо криву, яка проходить через (негативний 1, 1 над a) через (0, 1) до (1, a). Праворуч, де a відзначено менше 1, ми маємо криву, яка проходить через (негативний 1, 1 над a) через (0, 1) до (1, a).
    Малюнок 10.2.11

    Нам важливо помітити, що обидва ці графіки є один-на-один, оскільки вони обидва проходять тест горизонтальної лінії. Це означає, що експоненціальна функція матиме зворотну. Ми розглянемо це пізніше.

    Коли ми графували квадратичні функції, ми змогли графувати за допомогою перекладу, а не просто побудови точок. Чи буде це працювати в графіку експоненціальних функцій?

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    На тій же системі координат граф\(f(x)=2^{x}\) і\(g(x)=2^{x+1}\).

    Рішення:

    Ми будемо використовувати точкове побудова графіків для графіка функцій.

    Ця таблиця має сім рядків і п'ять стовпців. Перший рядок є рядком заголовка і читає х, f з х дорівнює 2 до x потужності, (x, f x), g x дорівнює 2 х плюс 1 потужність, і (х, г х). Другий рядок читає негативні 2, 2 до негативного 2 влади дорівнює 1 ділиться на 2 в квадраті, що дорівнює 1 над 4, (негативний 2, 1 над 4), 2 до негативного 2 плюс 1 потужність дорівнює 1 ділиться на 2 до першої влади, яка дорівнює 1 над 2, (негативний 2, 1 над 2). Третій рядок читає негативні 1, 2 до негативного 1 потужність дорівнює 1 ділиться на 2 до першої влади, яка дорівнює 1 над 2, (негативний 1, 1 над 2), 2 до негативного 1 плюс 1 потужність дорівнює 2 до 0 влади, яка дорівнює 1, (негативний 1, 1). Четвертий рядок читає 0, 2 до 0 потужність дорівнює 1, (0, 1), 2 до 0 плюс 1 потужність дорівнює 2 до 1 потужності, яка дорівнює 2, (0, 2). П'ятий ряд читає 1, 2 до 1 потужність дорівнює 2, (1, 2), 2 до 1 плюс 1 потужність дорівнює 2 до другої потужності, яка дорівнює 4, (1, 4). Шостий ряд читає 2, 2 до потужності 2 дорівнює 4, (2, 4), 2 до 2 плюс 1 потужність дорівнює 2 до третьої потужності, яка дорівнює 8, (2, 8). Сьомий ряд читає 3, 2 до 3 потужність дорівнює 8, (3, 8), 2 до 3 плюс 1 потужність дорівнює 2 до четвертої потужності, яка дорівнює 16, (3, 16).
    Малюнок 10.2.12
    На цьому малюнку показані дві криві. Перша крива позначена синім кольором і проходить через точки (негативна 1, 1 над 2), (0, 1) і (1, 2). Друга крива позначена червоним кольором і проходить через точки (негативні 1, 1), (0, 2) і (1, 4).
    Малюнок 10.2.13
    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    На тій же системі координат граф:\(f(x)=2^{x}\) і\(g(x)=2^{x-1}\).

    Відповідь
    На цьому малюнку показані графіки двох функцій. Перша функція f x дорівнює 2 x степеню позначена синім кольором і відповідає кривій, яка проходить через точки (від'ємний 1, 1 над 2), (0, 1) і (1, 2). Друга функція g x дорівнює 2 x мінус 1 потужності позначена червоним кольором і проходить через точки (0, 1 над 2), (1, 1) і (2, 2).
    Малюнок 10.2.14
    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    На одній і тій же системі координат графа\(f(x)=3^{x}\) і\(g(x)=3^{x+1}\).

    Відповідь
    На цьому малюнку показані графіки двох функцій. Перша функція f x дорівнює 3 x степеню позначена синім кольором і відповідає кривій, яка проходить через точки (від'ємний 1, 1 над 3), (0, 1) і (1, 3). Друга функція g x дорівнює 3 x плюс 1 потужність позначена червоним кольором і проходить через точки (від'ємний 2, 1 над 3), (негативний 1, 1) і (0, 3).
    Малюнок 10.2.15

    Дивлячись на графіки функцій\(f(x)=2^{x}\) і\(g(x)=2^{x+1}\) в останньому прикладі, ми бачимо, що додавання одиниці в експоненті викликало горизонтальний зсув на одну одиницю вліво. Розпізнавання цього шаблону дозволяє нам графікувати інші функції з тим самим шаблоном шляхом перекладу.

    Давайте тепер розглянемо іншу ситуацію, яка може бути легше графічна шляхом перекладу, як тільки ми розпізнаємо шаблон.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    На тій же системі координат граф\(f(x)=3^{x}\) і\(g(x)=3^{x}-2\).

    Рішення:

    Ми будемо використовувати точкове побудова графіків для графіка функцій.

    Ця таблиця має п'ять рядків і шість стовпців. Перший рядок є рядком заголовка і читає х, f з х дорівнює 3 до потужності x, (x, f x), g x дорівнює 3 до x потужності мінус 2, і (х, г х). Другий рядок читає негативний 2, 3 до негативного 2 влади дорівнює 1 над 9, (негативний 2, 1 над 9), 3 до негативного 2 потужності мінус 2 дорівнює 1 над 9 мінус 2, що дорівнює негативному 17 над 9, (негативний 2, негативний 17 над 9). Третій рядок читає негативний 1, 3 до негативного 1 влада дорівнює 1 над 3, (негативний 1, 1 над 3), 3 до негативного 1 потужності мінус 2 дорівнює 1 над 3 мінус 2, що дорівнює негативному 5 над 3, (негативний 1, негативний 5 над 3). Четвертий рядок читає 0, 3 до 0 потужність дорівнює 1, (0, 1), 3 до потужності 0 мінус 2 дорівнює 1 мінус 2, що дорівнює негативному 1, (0, негативний 1). П'ятий ряд читає 1, 3 до потужності 1 дорівнює 3, (1, 3), 3 до потужності 1 мінус 2 дорівнює 3 мінус 2, що дорівнює 1, (1, 1). Шостий ряд читає 2, 3 в квадраті дорівнює 9, (2, 9), 3 в квадраті мінус 2 дорівнює 9 мінус 2, що дорівнює 7, (2, 7).
    Малюнок 10.2.16
    На цьому малюнку показані дві криві. Перша крива позначена синім кольором і проходить через точки (від'ємна 1, 1 над 3), (0, 1) і (1, 3). Друга крива позначена червоним кольором і проходить через точки (негативний 1, негативний 5 над 3), (0, негативний 1) і (1, 1).
    Малюнок 10.2.17
    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    На одній і тій же системі координат графа\(f(x)=3^{x}\) і\(g(x)=3^{x}+2\).

    Відповідь
    На цьому малюнку показані графіки двох функцій. Перша функція f x дорівнює 3 x степеню позначена синім кольором і відповідає кривій, яка проходить через точки (від'ємний 1, 1 над 3), (0, 1) і (1, 3). Друга функція g x дорівнює 3 потужності x плюс 2 позначена червоним кольором і проходить через точки (від'ємний 1, 7 над 3), (0, 3) і (1, 5).
    Малюнок 10.2.18
    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    На одній і тій же системі координат графа\(f(x)=4^{x}\) і\(g(x)=4^{x}-2\).

    Відповідь
    На цьому малюнку показані графіки двох функцій. Перша функція f x дорівнює 4 x потужності позначена синім кольором і відповідає кривій, яка проходить через точки (від'ємний 1, 1 над 4), (0, 1) і (1, 4). Друга функція g x дорівнює 4 потужності x мінус 2 позначена червоним кольором і проходить через точки (негативний 1, негативний 7 над 4), (0, негативний 1) і (1, 2).
    Малюнок 10.2.19

    Дивлячись на графіки функцій\(f(x)=3^{x}\) і\(g(x)=3^{x}−2\) в останньому прикладі, ми бачимо, що віднімання\(2\) викликало вертикальний зсув вниз на дві одиниці. Зверніть увагу, що горизонтальна асимптота також зміщується вниз\(2\) одиниць. Розпізнавання цього шаблону дозволяє нам графікувати інші функції з тим самим шаблоном шляхом перекладу.
    Усі наші експоненціальні функції мали або ціле, або раціональне число в якості основи. Зараз ми розглянемо експоненціальну функцію з ірраціональним числом в якості основи.

    Перш ніж ми можемо подивитися на цю експоненціальну функцію, нам потрібно визначити ірраціональне число,\(e\). Це число використовується як основа в багатьох додатках в науках і бізнесі, які моделюються експоненціальними функціями. Число визначається як значення\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) як\(n\) стає все більше і більше. Ми говоримо, як\(n\) наближається нескінченність, або збільшується без обмежень. У таблиці наведено значення\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) для декількох значень\(n\).

    \(n\) \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\)
    \ (n\) ">\(1\) \ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(2\)
    \ (n\) ">\(2\) \ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(2.25\)
    \ (n\) ">\(5\) \ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(2.48832\)
    \ (n\) ">\(10\) \ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(2.59374246\)
    \ (n\) ">\(100\) \ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(2.704813829 \ldots\)
    \ (n\) ">\(1,000\) \ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(2.716923932 \ldots\)
    \ (n\) ">\(10,000\) \ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(2.718145927 \ldots\)
    \ (n\) ">\(100,000\) \ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(2.718268237 \ldots\)
    \ (n\) ">\(1,000,000\) \ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(2.718280469 \ldots\)
    \ (n\) ">\(1,000,000,000\) \ (\ ліворуч (1+\ frac {1} {n}\ праворуч) ^ {n}\) ">\(2.718281827 \ldots\)
    Таблиця 10.2.3

    \(e \approx 2.718281827\)

    Число схоже на число\(π\) в\(e\) тому, що ми використовуємо символ, щоб представити його, оскільки його десяткове подання ніколи не зупиняється або повторюється. Ірраціональне число\(e\) називається природним підставою.

    Визначення\(\PageIndex{2}\)

    Природна основа\(e\)

    Число\(e\) визначається як значення\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\), так як\(n\) збільшується без прив'язки. Ми говоримо, як\(n\) наближається нескінченність,

    \(e \approx 2.718281827\)

    Експоненціальна функція, основою якої є\(e\),\(f(x)=e^{x}\) називається природною експоненціальною функцією.

    Визначення\(\PageIndex{3}\)

    Природна експоненціальна функція

    Природна експоненціальна функція - експоненціальна функція, основою якої є\(e\)

    \(f(x)=e^{x}\)

    Домен є\((−∞,∞)\) і діапазон є\((0,∞)\).

    Давайте намалюємо функцію\(f(x)=e^{x}\) на тій же системі координат, що\(g(x)=2^{x}\) і\(h(x)=3^{x}\).

    На цьому малюнку показані графіки трьох функцій. Перша функція, f з x дорівнює 2 x, позначена червоним кольором і проходить через точки (від'ємний 1, негативний 1 над 2), (0, від'ємний 1) і (2, 1). Друга функція, f x дорівнює 3 потужності x, позначена зеленим кольором і відповідає кривій, яка проходить через точки (від'ємний 1, 1 над 3), (0, 1) і (1, 3). Третя функція, f з x дорівнює e потужності x, позначена синім кольором і відповідає кривій, яка проходить через точки (від'ємний 1, 1 над e), (0, 1) і (0, e).
    Малюнок 10.2.20

    Зверніть увагу, що графік\(f(x)=e^{x}\) знаходиться «між» графіками\(g(x)=2^{x}\) і\(h(x)=3^{x}\) .Чи має це сенс, як\(2<e<3\)?

    Вирішити експоненціальні рівняння

    Рівняння, що включають експоненціальний вираз\(a^{x}\), називаються експоненціальними рівняннями. Для їх вирішення ми використовуємо властивість, яка говорить так довго, як\(a>0\) і\(a≠1\), якщо\(a^{x}=a^{y}\) тоді це правда, що\(x=y\). Іншими словами, в експоненціальному рівнянні, якщо основи рівні, то експоненти рівні.

    Визначення\(\PageIndex{4}\)

    Один-до-одному властивість експоненціальних рівнянь

    Для\(a>0\) і\(a≠1\),

    Якщо\(a^{x}=a^{y}\), то\(x=y\).

    Щоб використовувати цю властивість, ми повинні бути впевнені, що обидві сторони рівняння записані з однаковою базою.

    Приклад\(\PageIndex{5}\) How to Solve an Exponential Equation

    Вирішити:\(3^{2 x-5}=27\).

    Рішення:

    Крок 1: Запишіть обидві сторони рівняння з однаковою основою. Так як ліва сторона має підставу\(3\), правою стороною пишемо підставою\(3\). \(27=3^{3}\) \(3^{2 x-5}=27\)
    \(3^{2 x-5}=3^{3}\)
    Крок 2: Напишіть нове рівняння, встановивши рівні показники. Оскільки основи однакові, показники повинні бути рівними. \(2x-5=3\)
    Крок 3: Вирішіть рівняння.

    Додайте\(5\) в кожну сторону.

    Розділити на\(2\).

    		 \(\begin{aligned} 2 x &=8 \\ x &=4 \end{aligned}\)
    Крок 4: Перевірте рішення. \(x=4\)Підставляємо в вихідне рівняння. \(\begin{aligned} 3^{2 x-5} &=27 \\ 3^{2 \cdot \color{red}{4}\color{black}{-}5} & \stackrel{?}{=} 27 \\ 3^{3} &\stackrel{?}{=}27 \\ 27 &=27 \end{aligned}\)
    Таблиця 10.2.4
    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Вирішити:\(3^{3 x-2}=81\).

    Відповідь

    \(x=2\)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Вирішити:\(7^{x-3}=7\).

    Відповідь

    \(x=4\)

    Кроки підсумовані нижче.

    Як вирішити експоненціальну функцію

    1. Напишіть обидві сторони рівняння з однаковою основою, якщо це можливо.
    2. Напишіть нове рівняння, встановивши рівні показники.
    3. Розв'яжіть рівняння.
    4. Перевірте розчин.

    У наступному прикладі ми будемо використовувати наші властивості на показниках.

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    Вирішити\(\frac{e^{x^{2}}}{e^{3}}=e^{2 x}\).

    Рішення:

      \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{3}}=e^{2 x}\)
    Використовуйте властивість експонентів:\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\). \(e^{x^{2}-3}=e^{2 x}\)
    Напишіть нове рівняння, встановивши рівні показники. \(x^{2}-3=2 x\)
    Розв'яжіть рівняння. \(x^{2}-2 x-3=0\)
      \((x-3)(x+1)=0\)
      \(x=3, x=-1\)
    Перевірте рішення.  
    .  
    Таблиця 10.2.5
    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Вирішити:\(\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{2}\).

    Відповідь

    \(x=-1, x=2\)

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Вирішити:\(\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{6}\).

    Відповідь

    \(x=-2, x=3\)

    Використання експоненціальних моделей у додатках

    Експоненціальні функції моделюють багато ситуацій. Якщо ви володієте банківським рахунком, ви відчули використання експоненціальної функції. Існує дві формули, які використовуються для визначення залишку на рахунку при отриманні відсотків. Якщо основний капітал\(P\), вкладається під процентну ставку\(r\), протягом\(t\) багатьох років, новий баланс, буде залежати від того\(A\), як часто відсотки будуть збільшуватися. Якщо відсотки посилюються\(n\) раз на рік, використовуємо формулу\(A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\). Якщо інтерес посилюється безперервно, використовуємо формулу\(A=Pe^{rt}\). Це формули складних відсотків.

    Визначення\(\PageIndex{5}\)

    Складні відсотки

    Для основного боргу\(P\), вкладеного за процентною ставкою,\(t\) роками, новий баланс\(A\), становить:\(r\)

    \(\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}\)

    Коли ви працюєте з формулами відсотків, часто корисно спочатку визначити значення змінних, а потім підставити їх у формулу.

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    Всього\(10,000\) було вкладено $ в фонд коледжу для нового онука. Якщо процентна ставка дорівнює\(5\)%, скільки буде на рахунку в\(18\) роках по кожному способу складання?

    1. з'єднання щоквартально
    2. з'єднання щомісяця
    3. з'єднання безперервно

    Рішення:

    Визначте значення кожної змінної в формулах. Не забудьте висловити відсоток у вигляді десяткової коми.

    \(\begin{aligned} A &=? \\ P &=\$ 10,000 \\ r &=0.05 \\ t &=18 \text { years } \end{aligned}\)

    а. для квартального складання,\(n=4\). Є\(4\) квартали в рік.

    \(A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\)

    Підставляємо значення в формулу.

    \(A=10,000\left(1+\frac{0.05}{4}\right)^{4 \cdot 18}\)

    Обчислити суму. Будьте уважні, враховуйте порядок операцій, коли ви вводите вираз у свій калькулятор.

    \(A=\$ 24,459.20\)

    б. для щомісячного складання,\(n=12\) .Є\(12\) місяці в році.

    \(A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\)

    Підставляємо значення в формулу.

    \(A=10,000\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{12 \cdot 18}\)

    Обчислити суму.

    \(A=\$ 24,550.08\)

    c Для безперервного компаундування

    \(A=P e^{r t}\)

    Підставляємо значення в формулу.

    \(A=10,000 e^{0.05 \cdot 18}\)

    Обчислити суму.

    \(A=\$ 24,596.03\)

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Анжела\(15,000\) інвестувала $ на ощадний рахунок. Якщо процентна ставка дорівнює\(4\)%, скільки буде на рахунку в\(10\) роках по кожному способу складання?

    1. з'єднання щоквартально
    2. з'єднання щомісяця
    3. з'єднання безперервно
    Відповідь
    1. $\(22,332.96\)
    2. $\(22,362.49\)
    3. $\(22,377.37\)
    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Аллан інвестував $\(10,000\) в пайовий фонд. Якщо процентна ставка дорівнює\(5\)%, скільки буде на рахунку в\(15\) роках по кожному способу складання?

    1. з'єднання щоквартально
    2. з'єднання щомісяця
    3. з'єднання безперервно
    Відповідь
    1. $\(21,071.81\)
    2. $\(21,137.04\)
    3. $\(21,170.00\)

    Інші теми, які моделюються експоненціальними функціями, включають зростання та занепад. Обидва також використовують формулу, яку\(A=Pe^{rt}\) ми використовували для зростання грошей. Для зростання і розпаду, як правило, ми використовуємо\(A_{0}\), як початкову суму замість того, щоб називати її\(P\), принципал. Ми бачимо, що експоненціальне зростання має позитивні темпи зростання, а експоненціальний занепад має негативні темпи зростання.

    Визначення\(\PageIndex{6}\)

    Експоненціальне зростання і занепад

    Для початкової суми\(A_{0}\), яка росте або розпадається зі швидкістю\(r\), за певний час\(t\), остаточна сума\(A\), становить:

    \(A=A_{0} e^{r t}\)

    Експоненціальне зростання, як правило, спостерігається при зростанні популяцій людей або тварин або бактерій. Наступний наш приклад розглядає зростання вірусу.

    Приклад\(\PageIndex{8}\)

    Кріс є дослідником Центру контролю та профілактики захворювань, і він намагається зрозуміти поведінку нового і небезпечного вірусу. Він починає свій експеримент\(100\) з вірусом, який росте зі швидкістю\(25\)% на годину. Він перевірить на вірус через\(24\) години. Скільки вірусів він знайде?

    Рішення:

    Визначте значення кожної змінної в формулах. Обов'язково ставимо відсотки в десятковому вигляді. Переконайтеся, що одиниці збігаються — швидкість вказана на годину, а час у годині.

    \(\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ r &=0.25 / \text { hour } \\ t &=24 \text { hours } \end{aligned}\)

    Підставляємо значення в формулу:\(A=A_{0} e^{r t}\).

    \(A=100 e^{0.25 \cdot 24}\)

    Обчислити суму.

    \(A=40,342.88\)

    Округлити до найближчого цілого вірусу.

    \(A=40,343\)

    Дослідник знайде\(40,343\) віруси.

    Вправа\(\PageIndex{15}\)

    Інший дослідник Центру контролю та профілактики захворювань Ліза вивчає ріст бактерії. Вона починає свій експеримент\(50\) з бактеріями, які ростуть зі швидкістю\(15\)% на годину. Він буде перевіряти на бактерії\(8\) щогодини. Скільки бактерій він знайде за\(8\) години?

    Відповідь

    Вона знайде\(166\) бактерії.

    Вправа\(\PageIndex{16}\)

    Марія, біолог спостерігає за схемою росту вірусу. Вона починається з\(100\) вірусу, який росте зі швидкістю\(10\)% на годину. Вона перевірить на вірус через\(24\) години. Скільки вірусів вона знайде?

    Відповідь

    Вона знайде\(1,102\) віруси.

    Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткових інструкцій та практики з оцінкою та графіком експоненціальних функцій.

    Ключові концепції

    • Властивості графа\(f(x)=a^{x}\):
    Коли\(a>1\) Коли\(0<a<1\)
    \ (a">1\) ">Домен \((-\infty, \infty)\) \ (0<a<1\) ">Домен \((-\infty, \infty)\)
    \ (a">1\) ">Діапазон \((0, \infty)\) \ (0<a<1\) ">Діапазон \((0, \infty)\)
    \ (a">1\) ">\(x\) -перехоплення жоден \ (0<a<1\) ">\(x\) -перехоплення жоден
    \ (a">1\) ">\(y\) -перехоплення \((0,1)\) \ (0<a<1\) ">\(y\) -перехоплення \((0,1)\)
    \ (a">1\) ">Містить \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\) \ (0<a<1\) ">Містить \((1, a),\left(-1, \frac{1}{a}\right)\)
    \ (a">1\) ">Асимптота

    \(x\)-вісь, лінія\(y=0\)

    		 \ (0<a<1\) ">Асимптота \(x\)-вісь, лінія\(y=0\)
    \ (a">1\) ">Базова форма підвищення \ (0<a<1\) ">Базова форма зменшуючись
    Таблиця 10.2.2
    Ця цифра має дві частини. Ліворуч у нас є крива, яка проходить через (негативний 1, 1 над a) через (0, 1) до (1, a). Праворуч, де a відзначено менше 1, ми маємо криву, яка проходить через (негативний 1, 1 над a) через (0, 1) до (1, a).
    Малюнок 10.2.11
    • Один-до-одному властивість експоненціальних рівнянь:
      For\(a>0\) і\(a≠1\),

      \(A=A_{0} e^{r t}\)

    • Як розв'язати експоненціальне рівняння
      1. Напишіть обидві сторони рівняння з однаковою основою, якщо це можливо.
      2. Напишіть нове рівняння, встановивши рівні показники.
      3. Розв'яжіть рівняння.
      4. Перевірте розчин.
    • Складні відсотки: Для основного боргу\(P\), інвестованого за процентною ставкою\(r\),\(t\) протягом багатьох років, новий баланс,\(A\),,
      \(\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}\)
    • Експоненціальний ріст і занепад: Для початкової суми,\(A_{0}\) яка росте або розпадається зі швидкістю\(r\), протягом певного часу\(t\) остаточна сума\(A\), є\(A=A_{0}e^{rt}\).

    Глосарій

    асимптота
    Лінія, до якої графік функції наближається тісно, але ніколи не торкається.
    експоненціальна функція
    Експоненціальна функція, де\(a>0\) і\(a≠1\), є функцією форми\(f(x)=a^{x}\).
    натуральна основа
    Число\(e\) визначається як значення\((1+\frac{1}{n})^{n}\), так як\(n\) стає все більше і більше. Ми говоримо, як\(n\) збільшується без прив'язки,\(e≈2.718281827...\)
    природна експоненціальна функція
    Природна експоненціальна функція - це експоненціальна функція, основою якої є\(e\):\(f(x)=e^{x}\). Домен є\((−∞,∞)\) і діапазон є\((0,∞)\).