Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.2E: Вправи

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59631

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Практика робить досконалим

    Вправа\(\PageIndex{19}\) Find and Evaluate Composite Functions

    У наступних вправах знайдіть

    1. \((f \circ g)(x)\)
    2. \((g \circ f)(x)\)
    3. \((f \cdot g)(x)\)
    1. \(f(x)=4 x+3\)і\(g(x)=2 x+5\)
    2. \(f(x)=3 x-1\)і\(g(x)=5 x-3\)
    3. \(f(x)=6 x-5\)і\(g(x)=4 x+1\)
    4. \(f(x)=2 x+7\)і\(g(x)=3 x-4\)
    5. \(f(x)=3 x\)і\(g(x)=2 x^{2}-3 x\)
    6. \(f(x)=2 x\)і\(g(x)=3 x^{2}-1\)
    7. \(f(x)=2 x-1\)і\(g(x)=x^{2}+2\)
    8. \(f(x)=4 x+3\)і\(g(x)=x^{2}-4\)
    Відповідь

    1.

    1. \(8x+23\)
    2. \(8x+11\)
    3. \(8 x^{2}+26 x+15\)

    3.

    1. \(24x+1\)
    2. \(24x-19\)
    3. \(24x^{2}+19x-5\)

    5.

    1. \(6 x^{2}-9 x\)
    2. \(18 x^{2}-9 x\)
    3. \(6 x^{3}-9 x^{2}\)

    7.

    1. \(2 x^{2}+3\)
    2. \(4 x^{2}-4 x+3\)
    3. \(2 x^{3}-x^{2}+4 x-2\)
    Вправа\(\PageIndex{20}\) Find and Evaluate Composite Functions

    У наступних вправах знайдіть описані значення.

    1. Для функцій\(f(x)=2 x^{2}+3\) і\(g(x)=5x-1\), знайдіть
      1. \((f \circ g)(-2)\)
      2. \((g \circ f)(-3)\)
      3. \((f \circ f)(-1)\)
    2. Для функцій\(f(x)=5 x^{2}-1\) і\(g(x)=4x−1\), знайдіть
      1. \((f \circ g)(1)\)
      2. \((g \circ f)(-1)\)
      3. \((f \circ f)(2)\)
    3. Для функцій\(f(x)=2x^{3}\) і\(g(x)=3x^{2}+2\), знайдіть
      1. \((f \circ g)(-1)\)
      2. \((g \circ f)(1)\)
      3. \((g \circ g)(1)\)
    4. Для функцій\(f(x)=3 x^{3}+1\) і\(g(x)=2 x^{2}=3\), знайдіть
      1. \((f \circ g)(-2)\)
      2. \((g \circ f)(-1)\)
      3. \((g \circ g)(1)\)
    Відповідь

    1.

    1. \(245\)
    2. \(104\)
    3. \(53\)

    3.

    1. \(250\)
    2. \(14\)
    3. \(77\)
    Вправа\(\PageIndex{21}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    У наступних вправах визначте, чи є набір впорядкованих пар функцію, і якщо так, то є функцією один до одного.

    1. \(\begin{array}{l}{\{(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0)}, {(1,1),(2,4),(3,9) \}}\end{array}\)
    2. \(\begin{array}{l}{\{(9,-3),(4,-2),(1,-1),(0,0)}, {(1,1),(4,2),(9,3) \}}\end{array}\)
    3. \(\begin{array}{l}{\{(-3,-5),(-2,-3),(-1,-1)}, {(0,1),(1,3),(2,5),(3,7) \}}\end{array}\)
    4. \(\begin{array}{l}{\{(5,3),(4,2),(3,1),(2,0)}, {(1,-1),(0,-2),(-1,-3) \}}\end{array}\)
    Відповідь

    1. Функція; не один до одного

    3. Функція «один-на-один»

    Вправа\(\PageIndex{22}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    У наступних вправах визначте, чи є кожен графік графіком функції, і якщо так, то чи є він один до одного.

    1.


    1. На цьому малюнку зображений графік кола з центром у початку і радіусом 3.
      Малюнок 10.1.65

    2. На цьому малюнку показаний графік параболи, що відкривається вгору з вершиною в (0k, 2).
      Малюнок 10.1.66

    2.


    1. На цьому малюнку показана парабола, що відкривається праворуч з вершиною в (від'ємний 2, 0).
      Малюнок 10.1.67

    2. Ця цифра показує графік полінома з непарним порядком, так що він починається в третьому квадранті, збільшується до початку, а потім продовжує збільшуватися через перший квадрант.
      Малюнок 10.1.68

    3.


    1. Цей малюнок показує графік кривої, яка починається з (негативний 6 негативний 2) збільшується до початку, а потім продовжує повільно збільшуватися до (6, 2).
      Малюнок 10.1.69

    2. На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вгору з вершиною в (0, від'ємний 4).
      Малюнок 10.1.70

    4.


    1. На цьому малюнку показаний відрізок прямої лінії, що зменшується від (від'ємний 4, 6) до (2, 0), після чого він збільшується від (2, 0) до (6, 4).
      Малюнок 10.1.71

    2. На цьому малюнку зображено коло з радіусом 4 і центром у початку.
      Малюнок 10.1.72
    Відповідь

    1.

    1. Чи не є функцією
    2. Функція; не один до одного

    3.

    1. Функція «один-на-один»
    2. Функція; не один до одного
    Вправа\(\PageIndex{23}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    У наступних вправах знайдіть зворотну кожну функцію. Визначте область і діапазон оберненої функції.

    1. \(\{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)\}\)
    2. \(\{(6,2),(9,5),(12,8),(15,11)\}\)
    3. \(\{(0,-2),(1,3),(2,7),(3,12)\}\)
    4. \(\{(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\}\)
    5. \(\{(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3)\}\)
    6. \(\{(5,3),(4,2),(3,1),(2,0)\}\)
    Відповідь

    1. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\} . \text { Domain: }\{1,2,3,4\} . \text { Range: }} {\{2,4,6,8\} .}\end{array}\)

    3. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(-2,0),(3,1),(7,2),(12,3)\} . \text { Domain: }\{-2,3,7,12\} \text { . }} {\text { Range: }\{0,1,2,3\}}\end{array}\)

    5. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(-3,-2),(-1,-1),(1,0),(3,1)\} . \text { Domain: }} {\{-3,-1,1,3\} . \text { Range: }\{-2,-1,0,1\}}\end{array}\)

    Вправа\(\PageIndex{24}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    У наступних вправах графік, на тій же системі координат, зворотна показана функція один до одного.


    1. Цей малюнок показує ряд відрізків лінії від (від'ємний 4, негативний 3) до (негативний 3, 0) потім до (негативний 1, 2), а потім до (3, 4).
      Малюнок 10.1.73

    2. Цей малюнок показує ряд відрізків лінії від (від'ємний 4, негативний 4) до (негативний 3, 1) потім до (0, 2), а потім до (2, 4).
      Малюнок 10.1.74

    3. Цей малюнок показує ряд відрізків лінії від (від'ємний 4, 4) до (0, 3) потім до (3, 2) і потім до (4, негативний 1).
      Малюнок 10.1.75

    4. Ця цифра показує ряд відрізків лінії від (негативний 4, негативний 4) до (негативний 1, негативний 3) потім до (0, 1), потім до (1, 3), а потім до (4, 4).
      Малюнок 10.1.76
    Відповідь

    1.

    Ця цифра показує ряд відрізків лінії від (негативний 3, негативний 4) до (0, негативний 3) потім до (2, негативний 1), а потім до (4, 3).
    Малюнок 10.1.77

    3.

    На цьому малюнку показана серія відрізків лінії від (від'ємний 1, 4) до (2, 3) потім до (3, 0), а потім до (4, негативний 4).
    Малюнок 10.1.78
    Вправа\(\PageIndex{25}\) Determine Whether the given functions are inverses

    У наступних вправах визначте, чи є дані функції зворотними.

    1. \(f(x)=x+8\)і\(g(x)=x-8\)
    2. \(f(x)=x-9\)і\(g(x)=x+9\)
    3. \(f(x)=7 x\)і\(g(x)=\frac{x}{7}\)
    4. \(f(x)=\frac{x}{11}\)і\(g(x)=11 x\)
    5. \(f(x)=7 x+3\)і\(g(x)=\frac{x-3}{7}\)
    6. \(f(x)=5 x-4\)і\(g(x)=\frac{x-4}{5}\)
    7. \(f(x)=\sqrt{x+2}\)і\(g(x)=x^{2}-2\)
    8. \(f(x)=\sqrt[3]{x-4}\)і\(g(x)=x^{3}+4\)
    Відповідь

    1. \(g(f(x))=x,\)і\(f(g(x))=x,\) тому вони зворотні.

    3. \(g(f(x))=x,\)і\(f(g(x))=x,\) тому вони зворотні.

    5. \(g(f(x))=x,\)і\(f(g(x))=x,\) тому вони зворотні.

    7. \(g(f(x))=x,\)і\(f(g(x))=x,\) тому вони зворотні (для ненегативних\(x )\)

    Вправа\(\PageIndex{26}\) Determine the inverse of a function

    У наступних вправах знайдіть зворотну кожну функцію.

    1. \(f(x)=x-12\)
    2. \(f(x)=x+17\)
    3. \(f(x)=9 x\)
    4. \(f(x)=8 x\)
    5. \(f(x)=\frac{x}{6}\)
    6. \(f(x)=\frac{x}{4}\)
    7. \(f(x)=6 x-7\)
    8. \(f(x)=7 x-1\)
    9. \(f(x)=-2 x+5\)
    10. \(f(x)=-5 x-4\)
    11. \(f(x)=x^{2}+6, x \geq 0\)
    12. \(f(x)=x^{2}-9, x \geq 0\)
    13. \(f(x)=x^{3}-4\)
    14. \(f(x)=x^{3}+6\)
    15. \(f(x)=\frac{1}{x+2}\)
    16. \(f(x)=\frac{1}{x-6}\)
    17. \(f(x)=\sqrt{x-2}, x \geq 2\)
    18. \(f(x)=\sqrt{x+8}, x \geq-8\)
    19. \(f(x)=\sqrt[3]{x-3}\)
    20. \(f(x)=\sqrt[3]{x+5}\)
    21. \(f(x)=\sqrt[4]{9 x-5}, x \geq \frac{5}{9}\)
    22. \(f(x)=\sqrt[4]{8 x-3}, x \geq \frac{3}{8}\)
    23. \(f(x)=\sqrt[5]{-3 x+5}\)
    24. \(f(x)=\sqrt[5]{-4 x-3}\)
    Відповідь

    1. \(f^{-1}(x)=x+12\)

    3. \(f^{-1}(x)=\frac{x}{9}\)

    5. \(f^{-1}(x)=6 x\)

    7. \(f^{-1}(x)=\frac{x+7}{6}\)

    9. \(f^{-1}(x)=\frac{x-5}{-2}\)

    11. \(f^{-1}(x)=\sqrt{x-6}\)

    13. \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+4}\)

    15. \(f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-2\)

    17. \(f^{-1}(x)=x^{2}+2, x \geq 0\)

    19. \(f^{-1}(x)=x^{3}+3\)

    21. \(f^{-1}(x)=\frac{x^{4}+5}{9}, x \geq 0\)

    23. \(f^{-1}(x)=\frac{x^{5}-5}{-3}\)

    Вправа\(\PageIndex{27}\) Writing Exercises
    1. Поясніть, як графік зворотної функції пов'язаний з графіком функції.
    2. Поясніть, як знайти обернену функцію з її рівняння. Скористайтеся прикладом, щоб продемонструвати кроки.
    Відповідь

    1. Відповіді будуть відрізнятися.

    Самостійна перевірка

    а Після виконання вправ скористайтеся цим контрольним списком, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

    Ця таблиця складається з чотирьох рядків і чотирьох стовпців. Перший рядок, який служить заголовком, читає I can…, Впевнено, З деякою допомогою, і No※ Я don’ т отримати його. Перший стовпець під рядком заголовка читає Знайти та оцінити складові функції, визначити, чи є функція один до одного, і знайти зворотну функцію. Решта осередків порожні.
    Малюнок 10.1.79

    б Якщо більшість ваших перевірок були:

    ... впевнено. Вітаємо! Ви досягли цілей у цьому розділі. Подумайте про навички навчання, які ви використовували, щоб ви могли продовжувати їх використовувати. Що ви зробили, щоб стати впевненим у своїй здатності робити ці речі? Будьте конкретні.

    ... з деякою допомогою. Це потрібно вирішувати швидко, оскільки теми, які ви не освоюєте, стають вибоїнами на вашому шляху до успіху. У математиці кожна тема будується на попередній роботі. Важливо переконатися, що у вас міцний фундамент, перш ніж рухатися далі. До кого можна звернутися за допомогою? Ваші колеги-однокласники та інструктор - хороші ресурси. Чи є в кампусі місце, де доступні репетитори з математики? Чи можна вдосконалити свої навички навчання?

    ... Ні—я цього не розумію! Це попереджувальний знак, і ви не повинні його ігнорувати. Ви повинні отримати допомогу відразу ж, інакше ви швидко будете перевантажені. Зверніться до інструктора, як тільки зможете обговорити вашу ситуацію. Разом ви можете придумати план, щоб отримати вам необхідну допомогу.