10.2: Пошук композиційних та обернених функцій
- Page ID
- 59625
До кінця цього розділу ви зможете:
- Пошук і оцінка складових функцій
- Визначте, чи є функція один-на-один
- Знайти обернену функцію
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Якщо\(f(x)=2 x-3\) і\(g(x)=x^{2}+2 x-3\), знайдіть\(f(4)\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.48. - Вирішити для\(x\),\(3x+2y=12\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.31. - Спростити:\(5 \frac{(x+4)}{5}-4\).
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.25.
У цьому розділі ми представимо два нових типи функцій, експоненціальні функції та логарифмічні функції. Ці функції широко використовуються в бізнесі та науках, як ми побачимо.
Пошук та оцінка складових функцій
Перш ніж вводити функції, нам потрібно подивитися на іншу операцію над функціями, яка називається композицією. За складом виходом однієї функції є вхід другої функції. Для функцій\(f\) і\(g\), склад пишеться\(f∘g\) і визначається по\((f∘g)(x)=f(g(x))\).
Ми читаємо\(f(g(x))\) як «\(f\)\(g\)з»\(x\).
Щоб зробити композицію, вихід першої функції\(g(x)\), стає входом другої функції\(f\), і тому ми повинні бути впевнені, що вона є частиною області\(f\).
Склад функцій\(f\) і\(g\) пишеться\(f \cdot g\) і визначається
\((f \circ g)(x)=f(g(x))\)
Читаємо\(f(g(x))\)\(f\)\(g\) станом на\(x\).
Ми фактично використовували композицію без використання позначення багато разів раніше. Коли ми графували квадратичні функції за допомогою перекладів, ми складали функції. Наприклад, якщо ми спочатку графували\(g(x)=x^{2}\) як параболу, а потім зрушили її вниз по вертикалі чотири одиниці, ми використовували композицію, визначену\((f∘g)(x)=f(g(x))\) де\(f(x)=x−4\).
Для функцій\(f(x)=4x-5\) і\(g(x)=2x+3\), знайдіть
- \((f \circ g)(x)\)
- \((g \circ f)(x)\)
- \((f \cdot g)(x)\)
Рішення:
-
Скористайтеся визначенням\((f \circ g)(x)\). 
Розподілити. 
Спростити. 
Таблиця 10.1.1 -
Скористайтеся визначенням\((f \circ g)(x)\). 
Розподілити. 
Спростити. 
Таблиця 10.1.2
Зверніть увагу на різницю в результаті в частині a. і частини b.
c Зверніть увагу, що\((f \cdot g)(x)\) відрізняється від\((f \circ g)(x)\). У частині a. ми зробили склад функцій. Тепер в частині c. ми їх не складаємо, ми їх множимо.
Скористайтеся визначенням\((f \cdot g)(x)\).
\((f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)\)
Замінник\(f(x)=4 x-5\) і\(g(x)=2 x+3\).
\((f \cdot g)(x)=(4 x-5) \cdot(2 x+3)\)
Помножити.
\((f \cdot g)(x)=8 x^{2}+2 x-15\)
Для функцій\(f(x)=3x-2\) і\(g(x)=5x+1\), знайдіть
- \((f \circ g)(x)\)
- \((g \circ f)(x)\)
- \((f \cdot g)(x)\)
- Відповідь
-
- \(15x+1\)
- \(15x-9\)
- \(15 x^{2}-7 x-2\)
Для функцій\(f(x)=4 x-3\), і\(g(x)=6x-5\), знайти
- \((f \circ g)(x)\)
- \((g \circ f)(x)\)
- \((f \cdot g)(x)\)
- Відповідь
-
- \(24 x-23\)
- \(24 x-23\)
- \(24 x^{2}-38 x+15\)
У наступному прикладі ми оцінимо композицію за певним значенням.
Для функцій\(f(x)=x^{2}-4\), і\(g(x)=3 x+2\), знайдіть:
- \((f \circ g)(-3)\)
- \((g \circ f)(-1)\)
- \((f \circ f)(2)\)
Рішення:
-
Скористайтеся визначенням\((f \circ g)(-3)\). 
Спростити. 
Спростити. 
Таблиця 10.1.3 -
Скористайтеся визначенням\((g \circ f)(-1)\). 
Спростити. 
Спростити. 
Таблиця 10.1.4 -
Скористайтеся визначенням\((f \circ f)(2)\). 
Спростити. 
Спростити. 
Таблиця 10.1.5
Для функцій\(f(x)=x^{2}-9\), і\(g(x)=2x+5\), знайти
- \((f \circ g)(-2)\)
- \((g \circ f)(-3)\)
- \((f \circ f)(4)\)
- Відповідь
-
- \(-8\)
- \(5\)
- \(40\)
Для функцій\(f(x)=x^{2}+1\), і\(g(x)=3x-5\), знайти
- \((f \circ g)(-1)\)
- \((g \circ f)(2)\)
- \((f \circ f)(-1)\)
- Відповідь
-
- \(65\)
- \(10\)
- \(5\)
Визначте, чи є функція один-на-один
Коли ми вперше ввели функції, ми сказали, що функція - це відношення, яке присвоює кожному елементу в своїй області рівно один елемент в діапазоні. Для кожної впорядкованої пари у відношенні кожне\(x\) -значення збігається лише з одним\(y\) -значенням.
Ми використовували приклад дня народження, щоб допомогти нам зрозуміти визначення. У кожної людини день народження, але ніхто не має двох днів народження, і це нормально для двох людей, щоб розділити день народження. Оскільки кожна людина має рівно один день народження, це відношення є функцією.
Функція є один до одного, якщо кожне значення в діапазоні має рівно один елемент у домені. Для кожної впорядкованої пари у функції кожне y -значення збігається лише з одним\(x\) -значенням.
Наш приклад відношення до дня народження не є функцією один до одного. Двоє людей можуть розділити один день народження. Значення діапазону 2 серпня - день народження Ліз та червня, і тому одне значення діапазону має два значення домену. Тому функція не один-на-один.
Функція є один до одного, якщо кожне значення в діапазоні відповідає одному елементу в області. Для кожної впорядкованої пари у функції кожне\(y\) -значення збігається лише з одним\(x\) -значенням. Немає повторюваних\(y\) -значень.
Для кожного набору впорядкованих пар визначте, чи представляє він функцію і, якщо так, якщо функція є один до одного.
- \(\{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\}\)
- \(\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}\)
Рішення:
- \(\{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\}\)
Кожне\(x\) -значення збігається тільки з одним\(y\) -value. Таким чином, це відношення є функцією.
Але кожне\(y\) -значення не в парі тільки з одним\(x\) -значенням\((3,27)\),\((−3,27)\) а, наприклад. Так що ця функція не один до одного.
- \(\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}\)
Кожне\(x\) -значення збігається тільки з одним\(y\) -value. Таким чином, це відношення є функцією.
Оскільки кожне\(y\) -значення поєднується лише з одним\(x\) -значенням, ця функція є один-до-одному.
Для кожного набору впорядкованих пар визначте, чи є він функцією, і якщо так, то є функцією один до одного.
- \(\{(-3,-6),(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)\}\)
- \(\{(-4,8),(-2,4),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,4),(4,8)\}\)
- Відповідь
-
- Функція «один-на-один»
- Функція; не один-на-один
Для кожного набору впорядкованих пар визначте, чи є він функцією, і якщо так, то є функцією один до одного.
- \(\{(27,-3),(8,-2),(1,-1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)\}\)
- \(\{(7,-3),(-5,-4),(8,0),(0,0),(-6,4),(-2,2),(-1,3)\}\)
- Відповідь
-
- Не є функцією
- Функція; не один-на-один
Щоб допомогти нам визначити, чи є відношення функцією, ми використовуємо тест вертикальної лінії. Набір точок прямокутної системи координат - це графік функції, якщо кожна вертикальна лінія перетинає графік не більше ніж в одній точці. Крім того, якщо будь-яка вертикальна лінія перетинає графік більше ніж в одній точці, графік не представляє функцію.
Вертикальна лінія представляє\(x\) значення -value, і ми перевіряємо, що вона перетинає графік лише в одному\(y\) -значенні. Тоді це функція.
Щоб перевірити, чи є функція один-на-один, ми використовуємо подібний процес. Використовуємо горизонтальну лінію і перевіряємо, щоб кожна горизонтальна лінія перетинала графік тільки в одній точці. Горизонтальна лінія представляє\(y\) значення -value, і ми перевіряємо, що вона перетинає графік тільки в одному\(x\) -значенні. Якщо кожна горизонтальна лінія перетинає графік функції не більше ніж в одній точці, це функція один-на-один. Це тест горизонтальної лінії.
Тест горизонтальної лінії
Якщо кожна горизонтальна лінія перетинає графік функції не більше ніж в одній точці, це функція один-на-один.
Ми можемо перевірити, чи є граф відношення функцією, використовуючи тест вертикальної лінії. Потім ми можемо сказати, чи функція один до одного, застосувавши тест горизонтальної лінії.
Визначте
- чи є кожен граф графіком функції і, якщо так,
- чи є це один-на-один
Рішення:
Малюнок 10.1.40
Оскільки будь-яка вертикальна лінія перетинає графік не більше ніж в одній точці, графік є графіком функції. Оскільки будь-яка горизонтальна лінія перетинає графік не більше ніж в одній точці, графік є графіком функції один до одного.
б.
Оскільки будь-яка вертикальна лінія перетинає графік не більше ніж в одній точці, графік є графіком функції. Горизонтальна лінія, показана на графіку, перетинає її в двох точках. Цей графік не представляє функцію один до одного.
Визначте
- чи є кожен граф графіком функції і, якщо так,
- чи є це один-на-один
- Відповідь
-
- Не є функцією
- Функція «один-на-один»
Визначте
- чи є кожен граф графіком функції і, якщо так,
- чи є це один-на-один
- Відповідь
-
- Функція; не один-на-один
- Функція «один-на-один»
Знайти обернену функцію
Давайте розглянемо функцію один до одного\(f\), представлену впорядкованими парами\(\{(0,5),(1,6),(2,7),(3,8)\}\). Для кожного\(x\) -value,\(f\) додає,\(5\) щоб отримати\(y\) -value. Щоб 'скасувати' додавання\(5\), ми віднімаємо\(5\) з кожного\(y\) -value і повертаємося до початкового\(x\) -value. Ми можемо назвати це «беручи обернене\(f\)» і назвати функцію\(f^{−1}\).
Зверніть увагу, що впорядковані пари\(f\) і\(f^{−1}\) мають свої\(x\) -значення і\(y\) -значення зворотні. Домен\(f\) - це діапазон,\(f^{−1}\) а домен\(f^{−1}\) - діапазон\(f\).
Обернена функція, визначена впорядкованими парами
Якщо\(f(x)\) є функцією один до одного, впорядковані пари якої мають вигляд\((x,y)\), то її обернена функція\(f^{−1}(x)\) - це множина впорядкованих пар\((y,x)\).
У наступному прикладі ми знайдемо зворотну функцію, визначену впорядкованими парами.
Знайдіть обернену функцію\(\{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)\}\). Визначте область і діапазон оберненої функції.
Рішення:
Ця функція є один до одного, оскільки кожне\(x\) -значення поєднується з рівно одним\(y\) -значенням.
Щоб знайти зворотне, ми повертаємо\(x\) -значення та\(y\) -значення в впорядкованих парах функції.
\(\begin{array}{ll} {\text{Function}}&{\{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)\}} \\ {\text{Inverse Function}}& {\{(3,0), (5,1), (7,2), (9,3)\}} \\ {\text{Domain of Inverse Function}}&{\{3, 5, 7, 9\}} \\ {\text{Range of Inverse Function}}&{\{0, 1, 2, 3\}} \end{array}\)
Знайдіть зворотне\(\{(0,4),(1,7),(2,10),(3,13)\}\). Визначте область і діапазон оберненої функції.
- Відповідь
-
Зворотна функція:\(\{(4,0),(7,1),(10,2),(13,3)\}\). Домен:\(\{4,7,10,13\}\). Діапазон:\(\{0,1,2,3\}\).
Знайдіть зворотне\(\{(-1,4),(-2,1),(-3,0),(-4,2)\}\). Визначте область і діапазон оберненої функції.
- Відповідь
-
Зворотна функція:\(\{(4,-1),(1,-2),(0,-3),(2,-4)\}\). Домен:\(\{0,1,2,4\}\). Діапазон:\(\{-4,-3,-2,-1\}\).
Ми щойно зазначили, що якщо\(f(x)\) є функцією один до одного, впорядковані пари якої мають вигляд\((x,y)\), то її обернена функція\(f^{−1}(x)\) - це набір впорядкованих пар\((y,x)\).
Так що якщо точка\((a,b)\) знаходиться на графіку функції\(f(x)\), то впорядкована пара\((b,a)\) знаходиться на графіку\(f^{−1}(x)\). Див. Малюнок 10.1.43.
Відстань між будь-якими двома парами\((a,b)\) і\((b,a)\) скорочується навпіл по лінії\(y=x\). Так ми говоримо, що точки є дзеркальним відображенням один одного через лінію\(y=x\).
Оскільки кожна точка на графіку функції\(f(x)\) є дзеркальним відображенням точки на графіку\(f^{−1}(x)\), ми говоримо, що графіки є дзеркальними зображеннями один одного через лінію\(y=x\). Ми будемо використовувати цю концепцію для графування зворотної функції в наступному прикладі.
Графік, на тій же системі координат, зворотна показана функція один до одного.
Рішення:
Ми можемо використовувати точки на графіку, щоб знайти точки на зворотному графіку. Деякі пункти на графіку:\((−5,−3),(−3,−1),(−1,0),(0,2),(3,4)\).
Отже, обернена функція буде містити точки:\((−3,−5),(−1,−3),(0,−1),(2,0),(4,3)\).
Зверніть увагу, як графік вихідної функції та графік обернених функцій є дзеркальними зображеннями через лінію\(y=x\).
Графік, на одній і тій же системі координат, зворотний функції один до одного.
- Відповідь
-
Малюнок 10.1.49
Графік, на одній і тій же системі координат, зворотний функції один до одного.
- Відповідь
-
Малюнок 10.1.51
Коли ми почали обговорення зворотної функції, ми говорили про те, як обернена функція «скасовує» те, що зробила вихідна функція зі значенням у своїй області, щоб повернутися до початкового\(x\) -значення.
Зворотні функції
\(f^{-1}(f(x))=x\), для всіх\(x\) у домені\(f\)
\(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\), для всіх\(x\) у домені\(f^{-1}\)
Ми можемо використовувати цю властивість, щоб перевірити, що дві функції обертаються один від одного.
Переконайтеся, що\(f(x)=5x−1\) і\(g(x)=\frac{x+1}{5}\) є зворотними функціями.
Рішення:
Функції обертаються один від одного, якщо\(g(f(x))=x\) і\(f(g(x))=x\).
 |
|
| Заміна\(5x-1\) на\(f(x)\). |  |
 |
 |
| Спростити. |  |
| Спростити. | 
|
| Замінник\(\frac{x+1}{5}\) для\(g(x)\). |  |
 |
 |
| Спростити. |  |
| Спростити. |  |
Оскільки обидва\(g(f(x))=x\) і\(f(g(x))=x\) є істинними, то функції\(f(x)=5x−1\) і\(g(x)=\frac{x+1}{5}\) є зворотними функціями. Тобто вони є оберненнями один одного.
Переконайтеся, що функції є оберненими функціями. \(f(x)=4 x-3\)і\(g(x)=\frac{x+3}{4}\).
- Відповідь
-
\(g(f(x))=x\), І\(f(g(x))=x\), таким чином, вони зворотні.
Переконайтеся, що функції є оберненими функціями. \(f(x)=2 x+6\)і\(g(x)=\frac{x-6}{2}\)
- Відповідь
-
\(g(f(x))=x,\)і\(f(g(x))=x,\) тому вони зворотні.
Ми знайшли зворотні функції, визначені впорядкованими парами та з графіка. Ми зараз розглянемо, як знайти зворотне за допомогою алгебраїчного рівняння. Метод використовує ідею, що якщо\(f(x)\) є функцією один до одного з впорядкованими парами\((x,y)\), то її обернена функція\(f^{−1}(x)\) - це множина впорядкованих пар\((y,x)\).
Якщо ми перевернемо\(x\) і\(y\) в функції, а потім вирішити для\(y\), ми отримаємо нашу зворотну функцію.
Знайдіть зворотне\(f(x)=4 x+7\).
Рішення:
| Крок 1. Замінник\(y\) для\(f(x)\). | \(f(x)\)Замінити на\(y\). | \(\begin{aligned} f(x) &=4 x+7 \\ y &=4 x+7 \end{aligned}\) |
| Крок 2: Обмін змінними\(x\) і\(y\). | \(x\)Замініть на,\(y\) а потім\(y\) на\(x\). | \(x=4y+7\) |
| Крок 3: Вирішіть для\(y\). |
Відніміть\(7\) з кожного боку. Розділити на\(4\). |
\(x-7=4 y\) \(\frac{x-7}{4}=y\) |
| Крок 4:\(f^{-1}(x)\) Замінюємо\(y\). | \(y\)Замінити на\(f^{-1}(x)\). | \(\frac{x-7}{4}=f^{-1}(x)\) |
| Крок 5: Переконайтеся, що функції зворотні. |
Показати\(f^{-1}(f(x))=x\) і\(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\) |
\(\begin{aligned} f^{-1}(f(x)) & \stackrel{?}{=} x \\f^{-1}(4x+7)&\stackrel{?}{=}x\\ \frac{(4x+7)-7}{4}&\stackrel{?}{=}x \\ \frac{4x}{4}&\stackrel{?}{=}x\\x&=x \\ \\f(f^{-1}(x))&\stackrel{?}{=}x \\f \left(\frac{x-7}{4} \right)&\stackrel{?}{=}x \\ 4\left(\frac{x-7}{4} \right) + 7 &\stackrel{?}{=}x \\ x-7+7&\stackrel{?}{=}x \\x&=x \end{aligned}\) |
Знайдіть обернену функцію\(f(x)=5x-3\).
- Відповідь
-
\(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{5}\)
Знайдіть обернену функцію\(f(x)=8 x+5\).
- Відповідь
-
\(f^{-1}(x)=\frac{x-5}{8}\)
Підсумовуємо кроки нижче.
Як знайти обернену функцію «один до одного»
- Замінник\(y\) для\(f(x)\).
- Обмін змінними\(x\) і\(y\).
- Вирішити для\(y\).
- Замінник\(f^{−1}(x)\) для\(y\).
- Переконайтеся, що функції зворотні.
Знайдіть зворотне\(f(x)=\sqrt[5]{2 x-3}\).
Рішення:
\(f(x)=\sqrt[5]{2 x-3}\)
Замінник\(y\) для\(f(x)\).
\(y=\sqrt[5]{2 x-3}\)
Обмін змінними\(x\) і\(y\).
\(x=\sqrt[5]{2 y-3}\)
Вирішити для\(y\).
\(\begin{aligned}(x)^{5} &=(\sqrt[5]{2 y-3})^{5} \\ x^{5} &=2 y-3 \\ x^{5}+3 &=2 y \\ \frac{x^{5}+3}{2} &=y \end{aligned}\)
Замінник\(f^{-1}(x)\) для\(y\).
\(f^{-1}(x)=\frac{x^{5}+3}{2}\)
Переконайтеся, що функції зворотні.
\(\begin{array}{rr} {f^{-1}(f(x)) \stackrel{?}{=} x} & {f\left(f^{-1}(x)\right) \stackrel{?}{=} x} \\ {f^{-1}(\sqrt[5]{2x-3})\stackrel{?}{=}x}&{f\left(\frac{x^{5}+3}{2} \right)}\stackrel{?}{=}x \\ {\frac{(\sqrt[5]{2x-3})^{5}+3}{2}\stackrel{?}{=}x}&{\sqrt[5]{2\left(\frac{x^{5}+3}{2} \right)-3}\stackrel{?}{=}x} \\ {\frac{2x-3+3}{2}\stackrel{?}{=}x}&{\sqrt[5]{x^{5}+3-3}\stackrel{?}{=}x}\\ {\frac{2x}{2}\stackrel{?}{=}x}&{\sqrt[5]{x^{5}}\stackrel{?}{=}x} \\ {x=x}&{x=x} \end{array}\)
Знайдіть обернену функцію\(f(x)=\sqrt[5]{3 x-2}\).
- Відповідь
-
\(f^{-1}(x)=\frac{x^{5}+2}{3}\)
Знайдіть обернену функцію\(f(x)=\sqrt[4]{6 x-7}\).
- Відповідь
-
\(f^{-1}(x)=\frac{x^{4}+7}{6}\)
Ключові поняття
- Склад функцій: Склад функцій\(f\) і\(g\), пишеться\(f∘g\) і визначається
\((f \circ g)(x)=f(g(x))\)
Читаємо\(f(g(x))\)\(f\)\(g\) станом на\(x\). - Тест горизонтальної лінії: Якщо кожна горизонтальна лінія перетинає графік функції в найбільш одній точці, це функція один до одного.
- Зворотна функція, визначена впорядкованими парами: Якщо\(f(x)\) є функцією один до одного, впорядковані пари якої мають вигляд\((x,y)\), то її обернена функція\(f^{−1}(x)\) є набором впорядкованих пар\((y,x)\).
- Зворотні функції: Для кожного\(x\) в області функції один до одного\(f\) і\(f^{−1}\),
\(f^{-1}(f(x))=x\)
\(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\) - Як знайти обернену функцію «один до одного»:
- Замінник\(y\) для\(f(x)\).
- Обмін змінними\(x\) і\(y\).
- Вирішити для\(y\).
- Замінник\(f^{−1}(x)\) для\(y\).
- Переконайтеся, що функції зворотні.
Глосарій
- функція один-на-один
- Функція є один до одного, якщо кожне значення в діапазоні має рівно один елемент у домені. Для кожної впорядкованої пари у функції кожне\(y\) -значення збігається лише з одним\(x\) -значенням.