8.5: Додавання, віднімання та множення радикальних виразів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59642

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

Додавання і віднімання радикальних виразів
Множення радикальних виразів
Використовуйте множення поліномів для множення радикальних виразів

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Додати:$3x^{2}+9x−5−(x^{2}−2x+3)$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.5.
Спростити:$(2+a)(4−a)$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.28.
Спростити:$(9−5y)^{2}$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.31.

Додавання та віднімання радикальних виразів

Додавання радикальних виразів з тим же індексом і тим самим радикандом - це так само, як додавання подібних термінів. Ми називаємо радикалів з однаковим індексом і таким же радикалом, як радикали, щоб нагадати нам, що вони працюють так само, як і терміни.

Визначення$\PageIndex{1}$: Like Radicals

Подібно радикалам відносяться радикальні вирази з однаковим індексом і тим же радикандом.

Ми додаємо і віднімаємо як радикали так само, як ми додаємо і віднімаємо як терміни. Ми знаємо,$3x+8x$ що$11x$ є.Аналогічно ми додаємо$3 \sqrt{x}+8 \sqrt{x}$ і результат є$11 \sqrt{x}$.

Подумайте про додавання подібних термінів зі змінними, як ви робите наступні кілька прикладів. Коли у вас є подібні радикали, ви просто додаєте або віднімаєте коефіцієнти. Коли радикали не схожі, ви не можете поєднувати терміни.

Приклад$\PageIndex{1}$

Спростити:

$2 \sqrt{2}-7 \sqrt{2}$
$5 \sqrt[3]{y}+4 \sqrt[3]{y}$
$7 \sqrt[4]{x}-2 \sqrt[4]{y}$

Рішення:

а.

$2 \sqrt{2}-7 \sqrt{2}$

Так як радикали схожі, віднімаємо коефіцієнти.

$-5 \sqrt{2}$

б.

$5 \sqrt[3]{y}+4 \sqrt[3]{y}$

Так як радикали схожі, додаємо коефіцієнти.

$9 \sqrt[3]{y}$

$7 \sqrt[4]{x}-2 \sqrt[4]{y}$

Індекси однакові, але радикали різні. Вони не схожі на радикалів. Оскільки радикали не схожі, ми не можемо їх відняти.

Вправа$\PageIndex{1}$

Спростити:

$8 \sqrt{2}-9 \sqrt{2}$
$4 \sqrt[3]{x}+7 \sqrt[3]{x}$
$3 \sqrt[4]{x}-5 \sqrt[4]{y}$

Відповідь

$-\sqrt{2}$
$11 \sqrt[3]{x}$
$3 \sqrt[4]{x}-5 \sqrt[4]{y}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Спростити:

$5 \sqrt{3}-9 \sqrt{3}$
$5 \sqrt[3]{y}+3 \sqrt[3]{y}$
$5 \sqrt[4]{m}-2 \sqrt[3]{m}$

Відповідь

$-4 \sqrt{3}$
$8 \sqrt[3]{y}$
$5 \sqrt[4]{m}-2 \sqrt[3]{m}$

Щоб радикали були схожі, вони повинні мати однаковий індекс і радиканд. Коли радиканди містять більше однієї змінної, до тих пір, поки всі змінні та їх показники ідентичні, радиканди однакові.

Приклад$\PageIndex{2}$

Спростити:

$2 \sqrt{5 n}-6 \sqrt{5 n}+4 \sqrt{5 n}$
$\sqrt[4]{3 x y}+5 \sqrt[4]{3 x y}-4 \sqrt[4]{3 x y}$

Рішення:

а.

$2 \sqrt{5 n}-6 \sqrt{5 n}+4 \sqrt{5 n}$

Так як радикали схожі, ми їх об'єднуємо.

$0 \sqrt{5 n}$

Спростити.

$0$

б.

$\sqrt[4]{3 x y}+5 \sqrt[4]{3 x y}-4 \sqrt[4]{3 x y}$

Так як радикали схожі, ми їх об'єднуємо.

$2 \sqrt[4]{3 x y}$

Вправа$\PageIndex{3}$

Спростити:

$\sqrt{7 x}-7 \sqrt{7 x}+4 \sqrt{7 x}$
$4 \sqrt[4]{5 x y}+2 \sqrt[4]{5 x y}-7 \sqrt[4]{5 x y}$

Відповідь

$-2 \sqrt{7 x}$
$-\sqrt[4]{5 x y}$

Вправа$\PageIndex{4}$

Спростити:

$4 \sqrt{3 y}-7 \sqrt{3 y}+2 \sqrt{3 y}$
$6 \sqrt[3]{7 m n}+\sqrt[3]{7 m n}-4 \sqrt[3]{7 m n}$

Відповідь

$-\sqrt{3 y}$
$3 \sqrt[3]{7 m n}$

Пам'ятайте, що ми завжди спрощуємо радикали, видаляючи з радикалу найбільший фактор, і це сила індексу. Після спрощення кожного радикалу ми можемо вирішити, чи схожі вони на радикалів.

Приклад$\PageIndex{3}$

Спростити:

$\sqrt{20}+3 \sqrt{5}$
$\sqrt[3]{24}-\sqrt[3]{375}$
$\frac{1}{2} \sqrt[4]{48}-\frac{2}{3} \sqrt[4]{243}$

Рішення:

а.

$\sqrt{20}+3 \sqrt{5}$

Спрощуйте радикали, коли це можливо.

$\sqrt{4} \cdot \sqrt{5}+3 \sqrt{5}$

$2 \sqrt{5}+3 \sqrt{5}$

Поєднуйте подібні радикали.

$5 \sqrt{5}$

б.

$\sqrt[3]{24}-\sqrt[3]{375}$

Спрощення радикалів.

$\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{3}$

$2 \sqrt[3]{3}-5 \sqrt[3]{3}$

Поєднуйте подібні радикали.

$-3 \sqrt[3]{3}$

$\frac{1}{2} \sqrt[4]{48}-\frac{2}{3} \sqrt[4]{243}$

Спрощення радикалів.

$\frac{1}{2} \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{3}-\frac{2}{3} \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3}$

$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt[4]{3}-\frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt[4]{3}$

$\sqrt[4]{3}-2 \sqrt[4]{3}$

Поєднуйте подібні радикали.

$-\sqrt[4]{3}$

Вправа$\PageIndex{5}$

Спростити:

$\sqrt{18}+6 \sqrt{2}$
$6 \sqrt[3]{16}-2 \sqrt[3]{250}$
$\frac{2}{3} \sqrt[3]{81}-\frac{1}{2} \sqrt[3]{24}$

Відповідь

$9 \sqrt{2}$
$2 \sqrt[3]{2}$
$\sqrt[3]{3}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Спростити:

$\sqrt{27}+4 \sqrt{3}$
$4 \sqrt[3]{5}-7 \sqrt[3]{40}$
$\frac{1}{2} \sqrt[3]{128}-\frac{5}{3} \sqrt[3]{54}$

Відповідь

$7 \sqrt{3}$
$-10 \sqrt[3]{5}$
$-3 \sqrt[3]{2}$

У наступному прикладі ми видалимо з радикалів як постійні, так і змінні фактори. Тепер, коли ми практикували приймати як парні, так і непарні корені змінних, на даний момент є звичайною практикою для нас припустити, що всі змінні більше або рівні нулю, так що абсолютні значення не потрібні. Ми будемо використовувати це припущення протягом решти цієї глави.

Приклад$\PageIndex{4}$

Спростити:

$9 \sqrt{50 m^{2}}-6 \sqrt{48 m^{2}}$
$\sqrt[3]{54 n^{5}}-\sqrt[3]{16 n^{5}}$

Рішення:

а.

$9 \sqrt{50 m^{2}}-6 \sqrt{48 m^{2}}$

Спрощення радикалів.

$9 \sqrt{25 m^{2}} \cdot \sqrt{2}-6 \sqrt{16 m^{2}} \cdot \sqrt{3}$

$9 \cdot 5 m \cdot \sqrt{2}-6 \cdot 4 m \cdot \sqrt{3}$

$45 m \sqrt{2}-24 m \sqrt{3}$

Радикали не схожі і тому не можуть бути об'єднані.

б.

$\sqrt[3]{54 n^{5}}-\sqrt[3]{16 n^{5}}$

Спрощення радикалів.

$\sqrt[3]{27 n^{3}} \cdot \sqrt[3]{2 n^{2}}-\sqrt[3]{8 n^{3}} \cdot \sqrt[3]{2 n^{2}}$

$3 n \sqrt[3]{2 n^{2}}-2 n \sqrt[3]{2 n^{2}}$

Поєднуйте подібні радикали.

$n \sqrt[3]{2 n^{2}}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Спростити:

$\sqrt{32 m^{7}}-\sqrt{50 m^{7}}$
$\sqrt[3]{135 x^{7}}-\sqrt[3]{40 x^{7}}$

Відповідь

$-m^{3} \sqrt{2 m}$
$x^{2} \sqrt[3]{5 x}$

Вправа$\PageIndex{8}$

Спростити:

$\sqrt{27 p^{3}}-\sqrt{48 p^{3}}$
$\sqrt[3]{256 y^{5}}-\sqrt[3]{32 n^{5}}$

Відповідь

$-p \sqrt{3 p}$
$4 y \sqrt[3]{4 y^{2}}-2 n \sqrt[3]{4 n^{2}}$

Множення радикальних виразів

Ми використали Product Property of Roots для спрощення квадратних коренів шляхом видалення ідеальних квадратних факторів. Ми можемо використовувати Product Property of Roots «навпаки» для розмноження квадратних коренів. Пам'ятайте, ми припускаємо, що всі змінні більше або рівні нулю.

Ми перепишемо Product Property of Roots, щоб ми побачили обидва способи разом.

Визначення$\PageIndex{2}$: Product Property of Roots

Для будь-яких дійсних чисел,$\sqrt[n]{a}$ і$\sqrt[b]{n}$, і для будь-якого цілого числа$n≥2$

$\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \quad \text { and } \quad \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}$

Коли ми множимо два радикали, вони повинні мати однаковий індекс. Як тільки ми множимо радикали, ми потім шукаємо фактори, які є силою індексу, і спрощуємо радикал, коли це можливо.

Множення радикалів з коефіцієнтами багато в чому схоже на множення змінних з коефіцієнтами. Для множення$4x⋅3y$ множимо коефіцієнти разом, а потім змінні. Результат є$12xy$. Майте це на увазі, як ви робите ці приклади.

Приклад$\PageIndex{5}$

Спростити:

$(6 \sqrt{2})(3 \sqrt{10})$
$(-5 \sqrt[3]{4})(-4 \sqrt[3]{6})$

Рішення:

а.

$(6 \sqrt{2})(3 \sqrt{10})$

Множення за допомогою властивості продукту.

$18\sqrt{20}$

Спростити радикал.

$18 \sqrt{4} \cdot \sqrt{5}$

Спростити.

$18 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$

$36 \sqrt{5}$

б.

$(-5 \sqrt[3]{4})(-4 \sqrt[3]{6})$

Множення за допомогою властивості продукту.

$20 \sqrt[3]{24}$

Спростити радикал.

$20 \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3}$

Спростити.

$20 \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{3}$

$40 \sqrt[3]{3}$

Вправа$\PageIndex{9}$

Спростити:

$(3 \sqrt{2})(2 \sqrt{30})$
$(2 \sqrt[3]{18})(-3 \sqrt[3]{6})$

Відповідь

$12 \sqrt{15}$
$-18 \sqrt[3]{2}$

Вправа$\PageIndex{10}$

Спростити:

$(3 \sqrt{3})(3 \sqrt{6})$
$(-4 \sqrt[3]{9})(3 \sqrt[3]{6})$

Відповідь

$27 \sqrt{2}$
$-36 \sqrt[3]{2}$

Ми дотримуємося тих же процедур, коли в радикандах є змінні.

Приклад$\PageIndex{6}$

Спростити:

$\left(10 \sqrt{6 p^{3}}\right)(4 \sqrt{3 p})$
$\left(2 \sqrt[4]{20 y^{2}}\right)\left(3 \sqrt[4]{28 y^{3}}\right)$

Рішення:

а.

$\left(10 \sqrt{6 p^{3}}\right)(4 \sqrt{3 p})$

Помножити.

$40 \sqrt{18 p^{4}}$

Спростити радикал.

$40 \sqrt{9 p^{4}} \cdot \sqrt{2}$

Спростити.

$40 \cdot 3 p^{2} \cdot \sqrt{3}$

$120 p^{2} \sqrt{3}$

б. коли радиканди включають великі числа, часто вигідно враховувати їх, щоб знайти ідеальні сили.

$\left(2 \sqrt[4]{20 y^{2}}\right)\left(3 \sqrt[4]{28 y^{3}}\right)$

Помножити.

$6 \sqrt[4]{4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 7 y^{5}}$

Спростити радикал.

$6 \sqrt[4]{16 y^{4}} \cdot \sqrt[4]{35 y}$

Спростити.

$6 \cdot 2 y \sqrt[4]{35 y}$

Помножити.

$12 y \sqrt[4]{35 y}$

Вправа$\PageIndex{11}$

Спростити:

$\left(6 \sqrt{6 x^{2}}\right)\left(8 \sqrt{30 x^{4}}\right)$
$\left(-4 \sqrt[4]{12 y^{3}}\right)\left(-\sqrt[4]{8 y^{3}}\right)$

Відповідь

$36 x^{3} \sqrt{5}$
$8 y \sqrt[4]{3 y^{2}}$

Вправа$\PageIndex{12}$

Спростити:

$\left(2 \sqrt{6 y^{4}}\right)(12 \sqrt{30 y})$
$\left(-4 \sqrt[4]{9 a^{3}}\right)\left(3 \sqrt[4]{27 a^{2}}\right)$

Відповідь

$144 y^{2} \sqrt{5 y}$
$-36 \sqrt[4]{3 a}$

Використовуйте множення поліномів для множення радикальних виразів

У наступних кількох прикладах ми будемо використовувати властивість Distributive для множення виразів з радикалами. Спочатку ми розподілимо, а потім спростимо радикали, коли це можливо.

Приклад$\PageIndex{7}$

Спростити:

$\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{18})$
$\sqrt[3]{9}(5-\sqrt[3]{18})$

Рішення:

а.

$\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{18})$

Помножити.

$\sqrt{12}+\sqrt{108}$

Спростити.

$\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}+\sqrt{36} \cdot \sqrt{3}$

Спростити.

$2 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}$

Поєднуються як радикали.

$8\sqrt{3}$

б.

$\sqrt[3]{9}(5-\sqrt[3]{18})$

Розподілити.

$5 \sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{162}$

Спростити.

$5 \sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{6}$

Спростити.

$5 \sqrt[3]{9}-3 \sqrt[3]{6}$

Вправа$\PageIndex{13}$

Спростити:

$\sqrt{6}(1+3 \sqrt{6})$
$\sqrt[3]{4}(-2-\sqrt[3]{6})$

Відповідь

$18+\sqrt{6}$
$-2 \sqrt[3]{4}-2 \sqrt[3]{3}$

Вправа$\PageIndex{14}$

Спростити:

$\sqrt{8}(2-5 \sqrt{8})$
$\sqrt[3]{3}(-\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6})$

Відповідь

$-40+4 \sqrt{2}$
$-3-\sqrt[3]{18}$

Коли ми працювали з многочленами, ми множили біноми на біноміали. Пам'ятайте, це дало нам чотири продукти, перш ніж ми поєднали будь-які подібні терміни. Щоб отримати всі чотири продукти, ми організували нашу роботу, як правило, методом FOIL.

Приклад$\PageIndex{8}$

Спростити:

$(3-2 \sqrt{7})(4-2 \sqrt{7})$
$(\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt[3]{x}+4)$

Рішення:

а.

$(3-2 \sqrt{7})(4-2 \sqrt{7})$

Помножити.

$12-6 \sqrt{7}-8 \sqrt{7}+4 \cdot 7$

Спростити.

$12-6 \sqrt{7}-8 \sqrt{7}+28$

Поєднуйте подібні терміни.

$40-14 \sqrt{7}$

б.

$(\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt[3]{x}+4)$

Помножити.

$\sqrt[3]{x^{2}}+4 \sqrt[3]{x}-2 \sqrt[3]{x}-8$

Поєднуйте подібні терміни.

$\sqrt[3]{x^{2}}+2 \sqrt[3]{x}-8$

Вправа$\PageIndex{15}$

Спростити:

$(6-3 \sqrt{7})(3+4 \sqrt{7})$
$(\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt[3]{x}-3)$

Відповідь

$-66+15 \sqrt{7}$
$\sqrt[3]{x^{2}}-5 \sqrt[3]{x}+6$

Вправа$\PageIndex{16}$

Спростити:

$(2-3 \sqrt{11})(4-\sqrt{11})$
$(\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt[3]{x}+3)$

Відповідь

$41-14 \sqrt{11}$
$\sqrt[3]{x^{2}}+4 \sqrt[3]{x}+3$

Приклад$\PageIndex{9}$

Спростити:$(3 \sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+4 \sqrt{5})$

Рішення:

$(3 \sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+4 \sqrt{5})$

Помножити.

$3 \cdot 2+12 \sqrt{10}-\sqrt{10}-4 \cdot 5$

Спростити.

$6+12 \sqrt{10}-\sqrt{10}-20$

Поєднуйте подібні терміни.

$-14+11 \sqrt{10}$

Вправа$\PageIndex{17}$

Спростити:$(5 \sqrt{3}-\sqrt{7})(\sqrt{3}+2 \sqrt{7})$

Відповідь: $1+9 \sqrt{21}$

Вправа$\PageIndex{18}$

Спростити:$(\sqrt{6}-3 \sqrt{8})(2 \sqrt{6}+\sqrt{8})$

Відповідь: $-12-20 \sqrt{3}$

Визнання деяких спеціальних продуктів полегшило нашу роботу, коли ми раніше множили біноміали. Це вірно, коли ми теж множимо радикали. Спеціальні формули продукту, які ми використовували, наведені тут.

Спеціальні продукти

Біноміальні квадрати

$\begin{array}{l}{(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}} \\ {(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}}\end{array}$

добуток кон'югатів

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Ми будемо використовувати спеціальні формули продукту в наступних кількох прикладах. Почнемо з візерунка «Твір біноміальних квадратів».

Приклад$\PageIndex{10}$

Спростити:

$2+\sqrt{3})^{2}$
$(4-2 \sqrt{5})^{2}$

Рішення:

а.

Таблиця 8.4.1
	$.$
Множення за допомогою візерунка добутку біноміальних квадратів.	$.$
Спростити.	$.$
Поєднуйте подібні терміни.	$.$

б.

Таблиця 8.4.2
	$.$
Множинний, використовуючи візерунок добутку біноміальних квадратів.	$.$
Спростити.	$.$
	$.$
Поєднуйте подібні терміни.	$.$

Вправа$\PageIndex{19}$

Спростити:

$(10+\sqrt{2})^{2}$
$(1+3 \sqrt{6})^{2}$

Відповідь

$102+20 \sqrt{2}$
$55+6 \sqrt{6}$

Вправа$\PageIndex{20}$

Спростити:

$(6-\sqrt{5})^{2}$
$(9-2 \sqrt{10})^{2}$

Відповідь

$41-12 \sqrt{5}$
$121-36 \sqrt{10}$

У наступному прикладі ми будемо використовувати візерунок «Продукт кон'югатів». Зверніть увагу, що кінцевий продукт не має радикалу.

Приклад$\PageIndex{11}$

Спростити:$(5-2 \sqrt{3})(5+2 \sqrt{3})$

Рішення:

Таблиця 8.4.3
	$.$
Множення за допомогою візерунка добутку кон'югатів.	$.$
Спростити.	$.$
	$.$

Вправа$\PageIndex{21}$

Спростити:$(3-2 \sqrt{5})(3+2 \sqrt{5})$

Відповідь: $-11$

Вправа$\PageIndex{22}$

Спростити:$(4+5 \sqrt{7})(4-5 \sqrt{7})$

Відповідь: $-159$

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткових інструкцій та практики з додаванням, відніманням та множенням радикальних виразів.

Множення додавання віднімання радикалів
Множення спеціальних продуктів: квадратні біноми, що містять квадратні корені
Множення кон'югатів

Ключові поняття

Властивість продукту коренів
- Для будь-яких дійсних чисел,$\sqrt[n]{a}$ і$\sqrt[n]{b}$, і для будь-якого цілого числа$n≥2$$\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ і$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}$
Спеціальні продукти

$\begin{array}{c c}{\text { Binomial Squares }}& {\text{Product of Conjugates}} \\ {(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}} & {(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}} \\ {(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}}\end{array}$

Глосарій

як радикали: Подібно радикалам відносяться радикальні вирази з однаковим індексом і тим же радикандом.

Визначення\(\PageIndex{1}\): Like Radicals

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{21}\)

Вправа\(\PageIndex{22}\)