8.2: Спрощення виразів за допомогою коренів
- Page ID
- 59624
До кінця цього розділу ви зможете:
- Спрощення виразів за допомогою коренів
- Оцінка і приблизні корені
- Спрощення змінних виразів за допомогою коренів
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Спрощення: a.\((−9)^{2}\) b.\(-9^{2}\) c.\((−9)^{3}\)
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.21. - \(3.846\)Округлити до найближчої сотої.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.34. - Спрощення: a.\(x^{3} \cdot x^{3}\) b.\(y^{2} \cdot y^{2} \cdot y^{2}\) c.\(z^{3} \cdot z^{3} \cdot z^{3} \cdot z^{3}\)
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.12.
Спрощення виразів за допомогою коренів
У Фундаментах ми коротко розглянули квадратні корені. Пам'ятайте, що коли\(n\) дійсне число множиться на себе, ми пишемо\(n^{2}\) і читаємо його «\(n^{2}\)квадратом». Це число називається квадратом\(n\), і\(n\) називається квадратним коренем. Наприклад,
\(13^{2}\)читається "в\(13\) квадраті»
\(169\)називається квадратом\(13\), так як\(13^{2}=169\)
\(13\)квадратний корінь\(169\)
Квадрат
Якщо\(n^{2}=m\), то\(m\) це квадрат\(n\).
Квадратний корінь
Якщо\(n^{2}=m\), то\(n\) це квадратний корінь з\(m\).
Зверніть увагу\((−13)^{2} = 169\) також, так само\(−13\) є квадратний корінь\(169\). Тому обидва\(13\) і\(−13\) є квадратними корінням\(169\).
Отже, кожне додатне число має два квадратних кореня - один позитивний і один негативний. Що робити, якщо ми хотіли тільки позитивний квадратний корінь позитивного числа? Використовуємо знак радикала, і пишемо\(\sqrt{m}\), який позначає позитивний квадратний корінь з\(m\). Позитивний квадратний корінь також називають основним квадратним коренем.
Ми також використовуємо знак радикала для квадратного кореня нуля. Тому що\(0^{2}=0, \sqrt{0}=0\). Зверніть увагу, що нуль має тільки один квадратний корінь.
\(\sqrt{m}\)читається «квадратний корінь»\(m\).
Якщо\(n^{2}=m\), то\(n=\sqrt{m}\), для\(n\geq 0\).
Ми знаємо, що кожне позитивне число має два квадратних кореня, а знак радикалу вказує на позитивний. Пишемо\(\sqrt{169}=13\). Якщо ми хочемо знайти негативний квадратний корінь числа, ми ставимо негативний перед знаком радикала. Наприклад,\(-\sqrt{169}=-13\).
Спростити:
- \(\sqrt{144}\)
- \(-\sqrt{289}\)
Рішення:
а.
\(\sqrt{144}\)
Так як\(12^{2}=144\).
\(12\)
б.
\(-\sqrt{289}\)
Так як\(17^{2}=289\) і негатив знаходиться перед радикальним знаком.
\(-17\)
Спростити:
- \(-\sqrt{64}\)
- \(\sqrt{225}\)
- Відповідь
-
- \(-8\)
- \(15\)
Спростити:
- \(\sqrt{100}\)
- \(-\sqrt{121}\)
- Відповідь
-
- \(10\)
- \(-11\)
Чи можемо ми спростити\(-\sqrt{49}\)? Чи є число, квадрат якого\(-49\)?
\((\)___\( )^{2}=-49\)
Будь-яке додатне число в квадраті є позитивним. Будь-яке негативне число в квадраті є позитивним. Немає дійсного числа, рівного\(\sqrt{-49}\). Квадратний корінь від'ємного числа не є дійсним числом.
Спростити:
- \(\sqrt{-196}\)
- \(-\sqrt{64}\)
Рішення:
а.
\(\sqrt{-196}\)
Немає дійсного числа, квадрат якого дорівнює\(-196\).
\(\sqrt{-196}\)не є дійсним числом.
б.
\(-\sqrt{64}\)
Негативний знаходиться перед радикалом.
\(-8\)
Спростити:
- \(\sqrt{-169}\)
- \(-\sqrt{81}\)
- Відповідь
-
- не дійсне число
- \(-9\)
Спростити:
- \(-\sqrt{49}\)
- \(\sqrt{-121}\)
- Відповідь
-
- \(-7\)
- не дійсне число
Поки ми говорили лише про квадрати та квадратні корені. Давайте тепер продовжимо нашу роботу, включивши вищі сили та вищі коріння.
Давайте спочатку розглянемо деякі словникові запаси.
\(\begin{array}{ll}{\text { We write: }} & {\text { We say: }} \\ {n^{2}} & {n \text { squared }} \\ {n^{3}} & {n \text { cubed }} \\ {n^{4}} & {n \text { to the fourth power }} \\ {n^{5}} & {n \text { to the fifth power }}\end{array}\)
Терміни «квадрат» та «куб» походять від формул для площі квадрата та об'єму куба.
Буде корисно мати таблицю степенів цілих чисел від\(−5\) до\(5\). Див. Малюнок 8.1.2
Зверніть увагу на знаки в таблиці. Всі сили позитивних чисел, звичайно, позитивні. Але коли ми маємо негативне число, парні сили є позитивними, а непарні - негативними. Ми скопіюємо рядок з повноваженнями,\(−2\) щоб допомогти вам побачити це.
Тепер ми продовжимо визначення квадратного кореня до вищих коренів.
Якщо\(b^{n}=a\), то\(b\) є\(n^{th}\) корінь\(a\).
Основний\(n^{th}\) корінь\(a\) написано\(\sqrt[n]{a}\).
\(n\)Називається індекс радикала.
Так само, як ми використовуємо слово «куб» для\(b^{3}\), ми використовуємо термін «куб корінь» для\(\sqrt[3]{a}\).
Ми можемо звернутися до малюнка 8.1.2, щоб допомогти знайти вищі коріння.
\(\begin{aligned} 4^{3} &=64 & \sqrt[3]{64}&=4 \\ 3^{4} &=81 & \sqrt[4]{81}&=3 \\(-2)^{5} &=-32 & \sqrt[5]{-32}&=-2 \end{aligned}\)
Чи можемо ми мати парний корінь негативного числа? Ми знаємо, що квадратний корінь від'ємного числа не є дійсним числом. Те ж саме справедливо і для будь-якого рівного кореня. Парні корені від'ємних чисел не є дійсними числами. Непарні корені від'ємних чисел є дійсними числами.
Властивості\(\sqrt[n]{a}\)
Коли\(n\) парне число і
- \(a \geq 0\), то\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом.
- \(a<0\), то не\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом.
Коли\(n\) є непарним числом,\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом для всіх значень\(a\).
Ці властивості ми будемо застосовувати в наступних двох прикладах.
Спростити:
- \(\sqrt[3]{64}\)
- \(\sqrt[4]{81}\)
- \(\sqrt[5]{32}\)
Рішення:
а.
\(\sqrt[3]{64}\)
Так як\(4^{3}=64\).
\(4\)
б.
\(\sqrt[4]{81}\)
Так як\((3)^{4}=81\).
\(3\)
c.
\(\sqrt[5]{32}\)
Так як\((2)^{5}=32\).
\(2\)
Спростити:
- \(\sqrt[3]{27}\)
- \(\sqrt[4]{256}\)
- \(\sqrt[5]{243}\)
- Відповідь
-
- \(3\)
- \(4\)
- \(3\)
Спростити:
- \(\sqrt[3]{1000}\)
- \(\sqrt[4]{16}\)
- \(\sqrt[5]{243}\)
- Відповідь
-
- \(10\)
- \(2\)
- \(3\)
У цьому прикладі будьте уважні до негативних знаків, а також парних і непарних повноважень.
Спростити:
- \(\sqrt[3]{-125}\)
- \(\sqrt[4]{16}\)
- \(\sqrt[5]{-243}\)
Рішення:
а.
\(\sqrt[3]{-125}\)
Так як\((-5)^{3}=-125\).
\(-5\)
б.
\(\sqrt[4]{16}\)
Подумайте,\((?)^{4}=-16\). Жодне дійсне число, підняте до четвертої степені, не є негативним.
Чи не дійсне число.
c.
\(\sqrt[5]{-243}\)
Так як\((-3)^{5}=-243\).
\(-3\)
Спростити:
- \(\sqrt[3]{-27}\)
- \(\sqrt[4]{-256}\)
- \(\sqrt[5]{-32}\)
- Відповідь
-
- \(-3\)
- не реальний
- \(-2\)
Спростити:
- \(\sqrt[3]{-216}\)
- \(\sqrt[4]{-81}\)
- \(\sqrt[5]{-1024}\)
- Відповідь
-
- \(-6\)
- не реальний
- \(-4\)
Оцінка та приблизні корені
Коли ми бачимо число зі знаком радикала, ми часто не замислюємося про його числове значення. У той час як ми, напевно\(\sqrt{4}=2\), знаємо, що те, що таке значення\(\sqrt{21}\) або\(\sqrt[3]{50}\)? У деяких ситуаціях швидка оцінка має сенс, а в інших зручно мати десяткове наближення.
Щоб отримати числову оцінку квадратного кореня, ми шукаємо ідеальні квадратні числа, найближчі до радиканда. Щоб знайти оцінку\(\sqrt{11}\), ми бачимо\(11\) знаходиться між ідеальними квадратними числами\(9\) і\(16\), ближче до\(9\). Його квадратний корінь тоді буде між\(3\) і\(4\), але ближче до\(3\).
Аналогічно, щоб оцінити\(\sqrt[3]{91}\), ми бачимо\(91\) знаходиться між ідеальними числами куба\(64\) і\(125\). Корінь куба тоді буде між\(4\) і\(5\).
Оцініть кожен корінь між двома послідовними цілими числами:
- \(\sqrt{105}\)
- \(\sqrt[3]{43}\)
Рішення:
а Подумайте про ідеальні квадратні числа, найближчі до\(105\). Складіть невеликий стіл з цих ідеальних квадратів і їх квадратів коріння.
| \(\sqrt{105}\) | |
 |
|
| Знайдіть\(105\) між двома послідовними ідеальними квадратами. | \(100<\color{red}105 \color{black} <121\) |
| \(\sqrt{105}\)знаходиться між їх квадратними корінням. | \(10< \color{red}\sqrt{105}< \color{black}11\) |
б Аналогічно ми знаходимо\(43\) між двома ідеальними кубовими числами.
| \(\sqrt[3]{43}\) | |
 |
|
| Знайдіть\(43\) між двома послідовними ідеальними кубами. |  |
| \(\sqrt[3]{43}\)знаходиться між їх кубічними коренями. |  |
Оцініть кожен корінь між двома послідовними цілими числами:
- \(\sqrt{38}\)
- \(\sqrt[3]{93}\)
- Відповідь
-
- \(6<\sqrt{38}<7\)
- \(4<\sqrt[3]{93}<5\)
Оцініть кожен корінь між двома послідовними цілими числами:
- \(\sqrt{84}\)
- \(\sqrt[3]{152}\)
- Відповідь
-
- \(9<\sqrt{84}<10\)
- \(5<\sqrt[3]{152}<6\)
Існують математичні методи наближення квадратних коренів, але в даний час більшість людей використовують калькулятор для пошуку квадратних коренів. Щоб знайти квадратний корінь, ви будете використовувати\(\sqrt{x}\) ключ на калькуляторі. Щоб знайти кубічний корінь, або будь-який корінь з більш високим індексом, ви будете використовувати\(\sqrt[y]{x}\) ключ.
При використанні цих клавіш виходить приблизне значення. Це наближення, точне до кількості цифр, показаних на дисплеї вашого калькулятора. Символ для наближення є\(≈\) і він читається «приблизно».
Припустимо, ваш калькулятор має\(10\) цифрове відображення. Ви б побачили, що
\(\sqrt{5} \approx 2.236067978\)округлений до двох знаків після коми\(\sqrt{5} \approx 2.24\)
\(\sqrt[4]{93} \approx 3.105422799\)округлений до двох знаків після коми\(\sqrt[4]{93} \approx 3.11\)
Звідки ми знаємо, що ці значення є наближеннями, а не точними значеннями? Подивіться, що відбувається, коли ми їх квадратуємо:
\(\begin{aligned}(2.236067978)^{2} &=5.000000002 &(3.105422799)^{4}&=92.999999991 \\(2.24)^{2} &=5.0176 & (3.11)^{4}&=93.54951841 \end{aligned}\)
Їх квадрати близькі до\(5\), але точно не рівні\(5\). Четверті повноваження близькі\(93\), але не рівні\(93\).
Округлення до двох знаків після коми:
- \(\sqrt{17}\)
- \(\sqrt[3]{49}\)
- \(\sqrt[4]{51}\)
Рішення:
а.
\(\sqrt{17}\)
Скористайтеся калькулятором квадратного кореневого ключа.
\(4.123105626 \dots\)
Округлення до двох знаків після коми.
\(4.12\)
\(\sqrt{17} \approx 4.12\)
б.
\(\sqrt[3]{49}\)
Скористайтеся\(\sqrt[y]{x}\) клавішею калькулятора.
\(3.659305710 \ldots\)
Округлення до двох знаків після коми.
\(3.66\)
\(\sqrt[3]{49} \approx 3.66\)
c.
\(\sqrt[4]{51}\)
Скористайтеся\(\sqrt[y]{x}\) клавішею калькулятора.
\(2.6723451177 \ldots\)
Округлення до двох знаків після коми.
\(2.67\)
\(\sqrt[4]{51} \approx 2.67\)
Округлення до двох знаків після коми:
- \(\sqrt{11}\)
- \(\sqrt[3]{71}\)
- \(\sqrt[4]{127}\)
- Відповідь
-
- \(\approx 3.32\)
- \(\approx 4.14\)
- \(\approx 3.36\)
Округлення до двох знаків після коми:
- \(\sqrt{13}\)
- \(\sqrt[3]{84}\)
- \(\sqrt[4]{98}\)
- Відповідь
-
- \(\approx 3.61\)
- \(\approx 4.38\)
- \(\approx 3.15\)
Спрощення змінних виразів за допомогою коренів
Непарний корінь числа може бути як позитивним, так і негативним. Наприклад,
Але як щодо рівного кореня? Ми хочемо, щоб основний корінь, так\(\sqrt[4]{625}=5\).
Але зверніть увагу,
Як ми можемо переконатися, що четвертий корінь\(−5\) піднятий до четвертої влади\(5\)? Ми можемо використовувати абсолютне значення. \(|−5|=5\). Тож ми говоримо, що\(n\) коли навіть\(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\). Це гарантує, що основний корінь є позитивним.
Для будь-якого цілого числа\(n\geq 2\)
коли індекс\(n\) непарний\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\)
коли індекс\(n\) парний\(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\)
Ми повинні використовувати знаки абсолютного значення, коли беремо парний корінь виразу зі змінною в радикалі.
Спростити:
- \(\sqrt{x^{2}}\)
- \(\sqrt[3]{n^{3}}\)
- \(\sqrt[4]{p^{4}}\)
- \(\sqrt[5]{y^{5}}\)
Рішення:
a Ми використовуємо абсолютне значення, щоб бути впевненим, щоб отримати позитивний корінь.
\(\sqrt{x^{2}}\)
Так як індекс\(n\) парний,\(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\).
б Це непарний індексований корінь, тому немає необхідності в знаку абсолютного значення.
\(\sqrt[3]{m^{3}}\)
Так як індекс\(n\) непарний,\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\).
\(m\)
c.
\(\sqrt[4]{p^{4}}\)
Так як індекс\(n\) парний\(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\).
\(|p|\)
д.
\(\sqrt[5]{y^{5}}\)
Так як індекс\(n\) непарний,\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\).
\(y\)
Спростити:
- \(\sqrt{b^{2}}\)
- \(\sqrt[3]{w^{3}}\)
- \(\sqrt[4]{m^{4}}\)
- \(\sqrt[5]{q^{5}}\)
- Відповідь
-
- \(|b|\)
- \(w\)
- \(|m|\)
- \(q\)
Спростити:
- \(\sqrt{y^{2}}\)
- \(\sqrt[3]{p^{3}}\)
- \(\sqrt[4]{z^{4}}\)
- \(\sqrt[5]{q^{5}}\)
- Відповідь
-
- \(|y|\)
- \(p\)
- \(|z|\)
- \(q\)
А як щодо квадратних коренів вищих сил змінних? Власне властивість експонентів говорить\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\). Так що\(a^{m}\), якщо ми квадрат, показник стане\(2m\).
\(\left(a^{m}\right)^{2}=a^{2 m}\)
Дивлячись тепер на квадратний корінь.
\(\sqrt{a^{2 m}}\)
Так як\(\left(a^{m}\right)^{2}=a^{2 m}\).
\(\sqrt{\left(a^{m}\right)^{2}}\)
Так\(n\) як навіть\(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\).
\(\left|a^{m}\right|\)
Отже\(\sqrt{a^{2 m}}=\left|a^{m}\right|\).
Ми застосовуємо це поняття в наступному прикладі.
Спростити:
- \(\sqrt{x^{6}}\)
- \(\sqrt{y^{16}}\)
Рішення:
а.
\(\sqrt{x^{6}}\)
Так як\(\left(x^{3}\right)^{2}=x^{6}\).
\(\sqrt{\left(x^{3}\right)^{2}}\)
Так як індекс\(n\) парний\(\sqrt{a^{n}}=|a|\).
\(\left|x^{3}\right|\)
б.
\(\sqrt{y^{16}}\)
Так як\(\left(y^{8}\right)^{2}=y^{16}\).
\(\sqrt{\left(y^{8}\right)^{2}}\)
Так як індекс\(n\) парний\(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\).
\(y^{8}\)
У цьому випадку знак абсолютного значення не потрібен, оскільки\(y^{8}\) є позитивним.
Спростити:
- \(\sqrt{y^{18}}\)
- \(\sqrt{z^{12}}\)
- Відповідь
-
- \(|y^{9}|\)
- \(z^{6}\)
Спростити:
- \(\sqrt{m^{4}}\)
- \(\sqrt{b^{10}}\)
- Відповідь
-
- \(m^{2}\)
- \(|b^{5}|\)
Наступний приклад використовує ту ж ідею для вищих коренів.
Спростити:
- \(\sqrt[3]{y^{18}}\)
- \(\sqrt[4]{z^{8}}\)
Рішення:
а.
\(\sqrt[3]{y^{18}}\)
Так як\(\left(y^{6}\right)^{3}=y^{18}\).
\(\sqrt[3]{\left(y^{6}\right)^{3}}\)
Так як\(n\) це непарно,\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\).
\(y^{6}\)
б.
\(\sqrt[4]{z^{8}}\)
Так як\(\left(z^{2}\right)^{4}=z^{8}\).
\(\sqrt[4]{\left(z^{2}\right)^{4}}\)
Оскільки\(z^{2}\) позитивний, нам не потрібен знак абсолютного значення.
\(z^{2}\)
Спростити:
- \(\sqrt[4]{u^{12}}\)
- \(\sqrt[3]{v^{15}}\)
- Відповідь
-
- \(|u^{3}|\)
- \(v^{5}\)
Спростити:
- \(\sqrt[5]{c^{20}}\)
- \(\sqrt[6]{d^{24}}\)
- Відповідь
-
- \(c^{4}\)
- \(d^{4}\)
У наступному прикладі ми тепер маємо коефіцієнт перед змінною. Концепція\(\sqrt{a^{2 m}}=\left|a^{m}\right|\) працює приблизно так само.
\(\sqrt{16 r^{22}}=4\left|r^{11}\right|\)тому що\(\left(4 r^{11}\right)^{2}=16 r^{22}\).
Але зверніть увагу\(\sqrt{25 u^{8}}=5 u^{4}\) і жоден знак абсолютного значення не потрібен, як\(u^{4}\) завжди позитивний.
Спростити:
- \(\sqrt{16 n^{2}}\)
- \(-\sqrt{81 c^{2}}\)
Рішення:
а.
\(\sqrt{16 n^{2}}\)
Так як\((4 n)^{2}=16 n^{2}\).
\(\sqrt{(4 n)^{2}}\)
Так як індекс\(n\) парний\(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\).
\(4|n|\)
б.
\(-\sqrt{81 c^{2}}\)
Так як\((9 c)^{2}=81 c^{2}\).
\(-\sqrt{(9 c)^{2}}\)
Так як індекс\(n\) парний\(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\).
\(-9|c|\)
Спростити:
- \(\sqrt{64 x^{2}}\)
- \(-\sqrt{100 p^{2}}\)
- Відповідь
-
- \(8|x|\)
- \(-10|p|\)
Спростити:
- \(\sqrt{169 y^{2}}\)
- \(-\sqrt{121 y^{2}}\)
- Відповідь
-
- \(13|y|\)
- \(-11|y|\)
Цей приклад просто бере ідею далі, оскільки вона має коріння вищого індексу.
Спростити:
- \(\sqrt[3]{64 p^{6}}\)
- \(\sqrt[4]{16 q^{12}}\)
Рішення:
а.
\(\sqrt[3]{64 p^{6}}\)
Перепишіть\(64p^{6}\) як\(\left(4 p^{2}\right)^{3}\).
\(\sqrt[3]{\left(4 p^{2}\right)^{3}}\)
Візьміть кубик кореня.
\(4p^{2}\)
б.
\(\sqrt[4]{16 q^{12}}\)
Перепишіть радиканд як четвертий ступінь.
\(\sqrt[4]{\left(2 q^{3}\right)^{4}}\)
Візьміть четвертий корінь.
\(2|q^{3}|\)
Спростити:
- \(\sqrt[3]{27 x^{27}}\)
- \(\sqrt[4]{81 q^{28}}\)
- Відповідь
-
- \(3x^{9}\)
- \(3|q^{7}|\)
Спростити:
- \(\sqrt[3]{125 q^{9}}\)
- \(\sqrt[5]{243 q^{25}}\)
- Відповідь
-
- \(5p^{3}\)
- \(3q^{5}\)
Наступні приклади мають дві змінні.
Спростити:
- \(\sqrt{36 x^{2} y^{2}}\)
- \(\sqrt{121 a^{6} b^{8}}\)
- \(\sqrt[3]{64 p^{63} q^{9}}\)
Рішення:
а.
\(\sqrt{36 x^{2} y^{2}}\)
Так як\((6 x y)^{2}=36 x^{2} y^{2}\)
\(\sqrt{(6 x y)^{2}}\)
Візьміть квадратний корінь.
\(6|xy|\)
б.
\(\sqrt{121 a^{6} b^{8}}\)
Так як\(\left(11 a^{3} b^{4}\right)^{2}=121 a^{6} b^{8}\)
\(\sqrt{\left(11 a^{3} b^{4}\right)^{2}}\)
Візьміть квадратний корінь.
\(11\left|a^{3}\right| b^{4}\)
c.
\(\sqrt[3]{64 p^{63} q^{9}}\)
Так як\(\left(4 p^{21} q^{3}\right)^{3}=64 p^{63} q^{9}\)
\(\sqrt[3]{\left(4 p^{21} q^{3}\right)^{3}}\)
Візьміть кубик кореня.
\(4p^{21}q^{3}\)
Спростити:
- \(\sqrt{100 a^{2} b^{2}}\)
- \(\sqrt{144 p^{12} q^{20}}\)
- \(\sqrt[3]{8 x^{30} y^{12}}\)
- Відповідь
-
- \(10|ab|\)
- \(12p^{6}q^{10}\)
- \(2x^{10}y^{4}\)
Спростити:
- \(\sqrt{225 m^{2} n^{2}}\)
- \(\sqrt{169 x^{10} y^{14}}\)
- \(\sqrt[3]{27 w^{36} z^{15}}\)
- Відповідь
-
- \(15|mn|\)
- \(13\left|x^{5} y^{7}\right|\)
- \(3w^{12}z^{5}\)
Отримайте доступ до цього інтернет-ресурсу для додаткової інструкції та практики зі спрощенням виразів з корінням.
- Спрощення змінних експонентів з коренями за допомогою абсолютних значень
Ключові концепції
- Позначення квадратного кореня
- \(\sqrt{m}\)читається «квадратний корінь\(m\)»
- Якщо\(n^{2}=m\), то\(n=\sqrt{m}\), для\(n≥0\).
Малюнок 8.1.1 - Квадратний корінь\(m\),\(\sqrt{m}\), - додатне число, квадрат якого дорівнює\(m\).
- У корені числа
- Якщо\(b^{n}=a\), то\(b\) є\(n^{th}\) корінь\(a\).
- Основний\(n^{th}\) корінь\(a\) написано\(\sqrt[n]{a}\).
- \(n\)називається індексом радикала.
- Властивості\(\sqrt[n]{a}\)
- Коли\(n\) парне число і
- \(a≥0\), то\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом
- \(a<0\), то не\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом
- Коли\(n\) є непарним числом,\(\sqrt[n]{a}\) є дійсним числом для всіх значень\(a\).
- Коли\(n\) парне число і
- Спрощення непарних і парних коренів
- Для будь-якого цілого числа\(n≥2\)
- коли\(n\) непарна\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\)
- \(n\)коли навіть\(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\)
- Ми повинні використовувати знаки абсолютного значення, коли беремо парний корінь виразу зі змінною в радикалі.
- Для будь-якого цілого числа\(n≥2\)
Глосарій
- квадрат числа
- Якщо\(n^{2}=m\), то\(m\) це квадрат\(n\).
- квадратний корінь числа
- Якщо\(n^{2}=m\), то\(n\) це квадратний корінь з\(m\).